2025届新高考数学冲刺精准复习导数的综合应用

2025届新高考数学冲刺精准复习导数的综合应用01课前自学02课堂导学目录【课时目标】通过实例了解导数概念的实际背景；通过函数图象直观

理解导数的几何意义；掌握导数的基本运算规则；能利用基本初等函数

的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单复合

函数[仅限于形如

y

＝

f

（

ax

＋

b

）的复合函数]的导数；能利用导数研究

函数的单调性、极值和最值，并会解决方程、不等式的有关问题；能利

用导数解决某些简单的优化问题.重点提升数学抽象、数学运算、直观

想象、数学建模和逻辑推理素养.【考情概述】在新高考中，导数的核心地位毋庸置疑，通常以选择

题、填空题、解答题的形式进行考查，占比较大，难度较大.选择题、

填空题通常考查图象与性质，侧重于数形结合思想的考查，解答题侧重

于考查代数推理的能力.热点问题包括恒成立问题、极值点问题，涉及

函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等重要的数学思想方

法，对综合素养有着较高的要求.

常用结论1.常见的同构：

2.洛必达法则求极限：

A.

f

（

a

）＜

f

（

b

）B.

f

（

a

）＝

f

（

b

）C.

f

（

a

）＞

f

（

b

）D.

f

（

a

），

f

（

b

）的大小关系无法确定C2.（RA选二教参P151第2题）已知函数

f

（

x

）的导数

y

＝f'（

x

）的图象

如图所示，则下列对于函数

f

（

x

）的描述正确的是（

C

）A.在区间（－∞，0）上单调递减B.在

x

＝0处取得最大值C.

在区间（4，＋∞）上单调递减D.在

x

＝2处取得最小值C3.（多选）（RA选二教参P152第10题改编）已知函数

f

（

x

）＝2

x

3＋3

ax

2＋1（

a

∈R），则

f

（

x

）在区间[0，2]上的最小值可能为

（

ABD

）A.1B.

a

3＋1C.5

a

3＋1D.12

a

＋17ABD4.（RA选二教参P152第8题）已知函数

f

（

x

）＝

x

2＋

a

ln（

x

＋1）有两

个不同的极值点

x

1，

x

2，且

x

1＜

x

2，则实数

a

的取值范围是

⁠.5.（RA选二P104复习参考题5第13题改编）已知曲线

y

＝

x

＋ln

x

在点

（1，1）

处的切线与曲线

y

＝

ax

2＋（

a

＋2）

x

＋1相切，则

a

＝

⁠.

8

考点一

恒成立与有解问题考向1

恒成立问题例1（2022·石家庄模考）已知函数

f

（

x

）＝

ax

e

x

－（

a

＋1）（2

x

－

1），当

x

＞0时，

f

（

x

）≥0恒成立，求实数

a

的取值范围.

[变式演练]1.已知函数

f

（

x

）＝

ax

e

x

－（

a

＋1）（2

x

－1），则对任意的正数

a

，

是否存在

x

0＞0，使得

f

（

x

0）＜

a

＋1？解：由题意，得f'（

x

）＝

a

（

x

＋1）e

x

－2（

a

＋1），则

f

″（

x

）＝

a

（

x

＋2）e

x

.又

a

＞0，

x

＞0，所以

f

″（

x

）＞0恒成立.所以f'（

x

）在

区间（0，＋∞）上单调递增.又f'（0）＝－

a

－2＜0，

f

（0）＝

a

＋1，

所以存在

x

0＞0，使得

f

（

x

0）＜

a

＋1.考向2

有解问题例2已知函数

f

（

x

）＝

ax

－ln

x

.

总结提炼

根据不等式恒成立或有解求参数的取值范围的关键是将恒成立问

题或有解问题转化为最值问题，如：（1）

f

（

x

）≥

a

恒成立，则

f

（

x

）

min

≥

a

，然后利用最值确定参数满

足的不等式，解不等式即得参数的取值范围；（2）

f

（

x

）≥

a

能成立（有解），则

f

（

x

）

max

≥

a

，然后利用最值

确定参数满足的不等式，解不等式即得参数的取值范围.

A.

b

＜

c

＜

a

B.

c

＜

b

＜

a

C.

a

＜

c

＜

b

D.

a

＜

b

＜

c

A

A.

c

ln5＞

a

ln2＞

b

ln3B.

a

ln2＞

c

ln5＞

b

ln3C.

b

ln3＞

c

ln5＞

a

ln2D.

a

ln2＞

b

ln3＞

c

ln5A

总结提炼

同构式需要构造一个母函数，即外函数，这个母函数需要满足：

①

指对跨阶；②

单调性和最值易求.

考点三

常见的极值点偏移问题

[变式演练]

解：（1）[

xf

（