134将军饮马-最短路径问题教学设计

134将军饮马——最短路径问题教学设计13.4将军饮马——最短路径问题教学设计一、教学内容解析在生产与经营的实践中，人们为了追求效率与节约成本，常常寻求最佳的解决方案，这便是最短路径问题的起源。在初中数学教学中，我们通常以“两点之间，线段最短”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为理论基础，并结合轴对称、平移、旋转等几何变换进行问题的研究。本节课以数学史上的经典问题——“将军饮马问题”为蓝本，通过变式设计，引导学生深入探讨“最短路径问题”。学生将学习如何将实际问题抽象为数学问题，利用轴对称和平移等变换，将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。通过这一过程，学生不仅能够运用所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，还能够经历从发现问题到提出问题，再到分析问题、解决问题的全过程。这一过程不仅加深了学生对数学知识的理解，还激发了他们对数学研究的兴趣，促进了数学知识与实际生活及其他学科之间的联系。基于以上分析，本节课的教学重点确定为：[教学重点]运用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。二、教学目标解析新课程标准强调，数学教学不仅要传授知识与技能，更要在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面促进学生的发展。因此，本节课的教学目标设定如下：[教学目标]学生能够运用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，理解图形变化在解决最值问题中的作用，领悟转化的数学思想，培养探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自主探究解决问题的成就感。[目标解析]达成目标的标志是：学生能够将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，将最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题。学生能够运用轴对称将直线同侧的两点转化为直线异侧的两点，运用平移将两条线段拼接在一起，从而将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。学生能够通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中体会轴对称、平移的作用，领悟转化的数学思想。三、学生学情诊断八年级的学生正处于从直觉经验型思维向逻辑思维过渡的阶段，他们的抽象思维能力和辩证思维能力尚在发展中。对于最短路径问题，学生在此前的学习中很少接触最值问题，缺乏解决这类问题的数学经验，尤其是面对具有实际背景的最值问题时，可能会感到陌生和困惑。在解决“当点A、B在直线的同侧时，如何在上找点C，使AC与CB的和最小”这一问题时，学生需要将其转化为“直线异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题。这一转化过程，包括为何需要这样转化以及如何通过轴对称实现转化，可能会给一些学生带来理解和操作上的困难。在证明“最短”时，学生需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所求作的线段和。这种思路和方法，一些学生可能还不太熟悉。在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题时，学生需要将它们平移拼接在一起，一些学生可能想不到这种方法。在教学时，教师可以引导学生思考“直线的异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题，给予学生启发。在证明“最短”时，教师可以提示学生选择一个参考量，通过与所求量进行比较来证明，同时让学生体会“任意”的作用。因此，本节课的教学难点确定为：[教学难点]如何运用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。四、教学策略分析建构主义理论认为，知识不是被动接受的，而是认知主体积极建构的。根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式，鼓励学生开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生的创新思维与想象能力。教师的教法：突出解题方法的引导与启发，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台。通过对“将军饮马问题”的改编与设计，增强数学课堂的趣味性，相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题。同时，利用现代信息技术，直观地展示图形的变化过程，提高学生的学习兴趣与热情。学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取知识与能力。五、教学基本流程探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知——课外思考六、教学过程设计（一）探索新知1、建立模型问题1：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”。诗中隐含着一个有趣的数学问题。如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到军营B地，他应该如何选择饮马的地点，以使他所走的路线全程最短？追问1：这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线。追问2：你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B地；（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的一个动点，上面的问题转化为：当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小。［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增长了学生们的数学底蕴，提升了其人文思想。同时引导学生分析题意，画出图形。将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题。2、解决问题问题2：如图点A、B在直线的同侧，点C位直线上的一个动点，当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示。如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？由此受到什么启发呢？（2）如图，如何将点B“移”到的另一侧B´处，且满足直线上的任意一点C，都保持CB与CB´的长度相等？学生在老师的启发引导下，完成作图。［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想。3、证明“最短”问题3：为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程。证明：如图，在直线上任取一点Cˊ。连接AC´、BC´、B´C´。由轴对称的性质可知：BC=B´CBC´.=B´C´∴XXX=AB´AC´+BC´=AC´+B´C´当C´与C不重合时AB´＜AC´+C´B´∴AC+BC＜AC´+C´B当C´与C重合时AC+BC=AC´+C´B总之，AC+BC≤AC´+C´B即AC+BC最短［设计意图］利用现代信息技术，通过移动点C´的位置，可以发现：当C´与C不重合时，AC+BC＜AC´+C´B，当C´与C重合时，XXX让学生很容易知道AC+BC最短，消除学生的疑虑，发挥了多媒体的作用，让学生进一步体会作法的正确性，提高了逻辑思维能力。4、小结新知回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？师生活动：学生回答，并相互补充。［设计意图］让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的研究探究做准备。（二）运用新知问题4：如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径。师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径。［设计意图］对前面所学的解题方法与思路得以巩固，让学生形成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生上台操作演示，提高他们的学习兴趣与实践能力，体会成功的高兴，激发他们进一步探究问题的欲望。（三）拓展新知问题5：有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？师生活动：1、老师首先解释行走一定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。2、分组讨论，师生共同分析。3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别。［设计意图］本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编，有造桥选址问题的影子，既增强了课堂教学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得。教学由问题引领，