直线与平面垂直（第一课时）高一下学期数学人教A版（2019）必修二

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.2直线与平面垂直（第一课时）

导学习目标1、理解直线与平面垂直的意义与直线与平面所成角的概念；2、探索并理解直线和平面垂直的判定定理,并解决问题.导复习旧知1、空间中直线与平面的位置关系有哪些？直线在平面内：直线在平面外：线面相交：线面平行：有且只有一个公共点有无数公共点.

斜交垂直直观感知导直观感知导思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？类比线面平行——空间问题平面化观察：如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？ABCB'直线AB与其影子BC所在直线始终保持垂直追问：对于地面上不过点B的任意一条直线B'C'，旗杆AB会与之垂直吗？结论:旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直.思概念生成

线面垂直定义lPα平面α的垂线直线l的垂面垂足思概念辨析

√××理解1：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线。（线面垂直⇒线线垂直）理解2：如果平面内有一条直线与已知直线不垂直，则线面不垂直。(比萨斜塔)思概念生成思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条?结论：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条α

P.O.l垂线段点到平面的距离“点面距”PABCO.PO为锥体的高思⁠

⁠概念生成探究：如何检测被吹斜的旗杆是否被扶正？（探究线面垂直的充分条件）测量旗杆与地面内每一条直线是否都为直角追问：“测量每一条”的工作量太大，有没有其他更为简便的判定方法？探究

不一定当AD⊥BC时折痕AD与桌面垂直.思⁠

⁠概念生成如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.线面垂直的判定定理图形语言符号语言线线垂直线面垂直推出思⁠

⁠典例解析BDCSA证明：课本P152思⁠

⁠典例解析

证明：如图，在平面α内取两条相交直线m，n.∵a⊥α，∴a⊥m，

a⊥n.又∵a//b，∴b⊥m，

b⊥n.又m⊂α，n⊂α，且m,n是两条相交直线.∴b⊥α.可做结论用思概念生成

平面的斜线思考：如图，当线面相交时，“线”歪的程度明显不同，怎么刻画这种不同？用“角”度量思概念生成平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).简称线面角.直线和平面所成的角

斜线垂线斜线在平面上的射影斜足垂足

规定:①若直线垂直平面，则直线和平面所成的

角为90°②若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0°直线和平面所成角的取值范围为:思概念生成思考：如果AB是平面α内任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？平面的斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与平面所成的角最小．

思典例解析

例3：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1B1与面BB1C1C所成的角（1）0o（2）45o思⁠

⁠典例解析例3：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（3）A1B与面ABC1D1所成的角（4）A1B与面A1DCB1所成的角（4）30o（3）90oO思⁠

⁠典例解析O解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.

设正方体的棱长为a.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，∴BC1⊥平面A1DCB1.∴A1O是A1B在平面A1DCB1内的射影.∴∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.∴A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.∴BO=A1B，∠BA1O=30°.在Rt△A1BO中，

A1B=a，BO=a.（4）A1B与面A1DCB1所成的角思⁠

⁠方法归纳1.构造：作垂线→作射影→作平面角2.证明：证明