离散数学 课件 第6章 代数系统

第6章 代数系统第一节代数运算第二节 代数系统的一般概念第三节 同态和同构第四节 同余关系第五节 商代数和积代数第六节 典型的代数系统第一节代数运算一、基本概念二、二元运算的性质三、二元运算中的特异元素一、基本概念1、二元运算2、n元运算3、二元运算的封闭性1、二元运算X:集合f:X2→X的映射f为X中的二元运算解释：一个运算符联系着两个运算分量f(<x,y>)=z 运算符运算分量运算分量运算结果xfy=zx,y,z∈Xz∈X封闭性2、n元运算X:集合f:Xn→X的映射f为X中的n元运算运算的阶<x1,x2,…,xn>f=xx1,x2,…,xn,x

X2、二元运算的封闭性注意：任意一个二元运算必须满足封闭性A:集合f:A2→B的映射B

A二元运算是封闭的二元运算举例设A={x|x=2n,nN}问：乘法运算是否封闭？对加法运算呢？乘法运算：对于任意的2r

、2sA2r

2s=2r+sA∴乘法运算在A上封闭；加法运算：21+22=6

A∴加法运算在A上不封闭；举例判断乘法运算是否在下列各N的子集上封闭？(1)A1={0,1}(2)A2={1,2}(3)A3={x|x为素数}(4)A4={x|x为偶数}(5)A5={x|x为奇数}√×√√×2

2=4A22

3=6A3定理*:X中的二元运算S1

XS2

X*在S1和S2上是封闭的*在S1∩S2上也封闭证明对任意的两个元素x,y

S1∩S2

x,y

S1∧x,y

S2*在S1和S2上封闭

x*y

S1∧x*y

S2

x*y

S1∩S2

*在S1∩S2上也封闭二、二元运算的性质1、封闭性（通性）2、交换性3、可结合性4、可分配性5、吸收律1、封闭性（通性）*:X中的二元运算对于任意的x,y∈Xx*y∈X在集合X上满足封闭性2、交换性*:X中的二元运算对于任意的x,y∈Xx*y=y*x*运算是可交换的3、可结合性*:X中的二元运算对于任意的x,y,z∈Xx*y*z=x*(y*z)=(x*y)*z*运算是可结合的二元运算性质举例

设Q是有理数集合，Q上的二元运算定义为：

a*b=a+b-ab a,b∈Q问*是否可交换？可结合？解答(1)交换性：b*a=b+a-ba=a+b-ab=a*b∴*运算满足交换律(2)结合性：a*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-ac-bc+abc(a*b)*c=(a+b-ab)*c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=a+b+c-ab-ac-bc+abc=a*(b*c)∴*运算满足结合律解答二元运算性质举例 A是非空集合，*是A上的二元运算，并定义为：a*b=b,证明*是可结合的。a*(b*c)*是可结合的(a*b)*c=c=a*c=b*c=c4、可分配性*,△

:X中的二元运算对于任意的x,y,z∈Xx*(y△z)=(x*y)△(x*z)(y△z)*x=(y*x)△(z*x)*对△可分配5、吸收律*,△

:X中的可交换的二元运算对于任意的x,y∈Xx*(x△y)=x△(x*y)=xx*和△满足吸收律二元运算性质举例

在N上定义两个二元运算*和△，对任意的x,y∈N，有：

x*y=max(x,y)x△y=min(x,y)验证：*和△满足吸收律。解答x*(x△y)=x*(min(x,y))=max(x,min(x,y))=x>yx=yx<ymax(x,y)=max(x,x)=max(x,x)=xxxx△(x*y)=x△(max(x,y))=min(x,max(x,y))=x>yx=yx<ymin(x,x)=xmin(x,x)=xmin(x,y)=x*和△满足吸收律三、二元运算中的特异元素1、幺元e（左幺元el

、右幺元er

）2、零元θ（左零元θl

、右零元θr

）3、逆元（左逆元xl

、右逆元xr

）4、等幂元5、可约的（可消去的）6、由运算表求特异元素1、幺元e（左幺元el

、右幺元er

）*

:X中的二元运算(

x)(→)x∈X(

el

)(∧)el∈Xel*x=x左幺元(

x)(→)x∈X(

er

)(∧)er∈Xx*er=x右幺元定理*

:X中的二元运算如果X对运算*同时存在el和erel=er=e(

x)(→)x∈X(

e)(∧)e∈Xx*e=xe*x=幺元单位元素e若存在则必唯一证明(1)el=er=ex*e=e*x=xel*er

el是*的左幺元=erer是*的右幺元=el=ex*e=e*x=xx∴e是*唯一的幺元(2)幺元是唯一的证明(续)假设e′是*的另一个幺元e≠e′e*e′=ee*e′=e′e′是幺元e是幺元e=e′幺元举例

问实数集合R上的加法运算和乘法运算的幺元各是什么？实数集合R上的加法运算：幺元是0实数集合R上的乘法运算：幺元是12、零元θ（左零元θl

、右零元θr

）*

:X中的二元运算(

x)(→)x∈X(

θl

)(∧)θl∈Xθl*x=θl左零元(

x)(→)x∈X(

θr

)(∧)θr∈Xx*θr=θr右零元定理*

:X中的二元运算如果X对运算*同时存在θl和θrθl=θr=θ(

x)(→)x∈X(

θ)(∧)θ∈Xx*θ=θθ*x=零元θ若存在则必唯一零元举例

问实数集合R上的加法运算和乘法运算的零元各是什么？实数集合R上的加法运算：实数集合R上的乘法运算：无零元零元是03、逆元（左逆元xl

、右逆元xr

）*

:X中的二元运算*运算存在幺元ex∈X(

xl)(∧)xl

∈Xexl

*x=x的左逆元左可逆的(

xr)(∧)xr

∈Xex*xr

=x的右逆元右可逆的x是左可逆的x是右可逆的x是可逆的定理*

:X中的二元运算*运算存在幺元e*运算可结合元素x∈X是可逆的xl=xr=x-1x的逆元x-1若存在则必唯一证明(1)左逆元等于右逆元xl*x*xr*是可结合的=(xl*x)*xrxl*x=e=e*xr=xrxl*x*xr*是可结合的=xl*(x*xr)x*xr=e

=xl*e=xlxl=xr证明(2)xl=xr=x-1唯一幺元e的逆元是其本身，零元不可逆假设x1-1和x2-1是x的两个逆元x1-1

≠x2-1x1-1

=x1-1*ex2-1是x的逆元=x1-1*(x*x2-1)*是可结合的=(x1-1*x)*x2-1x1-1是x的逆元=e*x2-1=x2-1举例 (1)实数集合R上的加法运算：求每个实数的逆元

(2)实数集合R上的乘法运算：求每个实数的逆元解答实数集合R上的加法运算无零元e=0x+(-x)=0=ex-1=-x实数集合R上的乘运算e=1θ＝0x

1/x=1=ex-1=1/xx≠04、等幂元x*x幺元和零元都是等幂元*

:X中的二元运算x∈X=x等幂元5、可约的*

:X中的二元运算a∈X对每一个x,y∈X(a*x=a*y)

x=y或者(x*a=y*a)

x=y可约的可消去的定理*

:X中的二元运算*运算可结合a∈Xa是可逆的a是可约的证明a*x=a*yx=ya是可逆的,a的逆元为a-1a-1*(a*x)*是可结合的=(a-1*a)*x=e*x=xa-1*(a*x)a*x=a*y=a-1*(a*y)*是可结合的=(a-1*a)*y=e*y=yx=ya是可约的6、由运算表求特异元素左幺元:右幺元:某一个元素使得某一行不改变；某一个元素使得某一列不改变；左零元:右零元:某一个元素使得某一行均为该元素；某一个元素使得某一列均为该元素；逆元:幺元所对应的元素互为逆元；等幂元:只考虑主对角线上的元素举例

已知二元运算∆、⊕的运算表，求各运算的特异元素。

解答(1)第1行没改变，所以α为左幺元；第1列没改变，所以α为右幺元；∴

α为幺元(2)无左、右零元；(3)α-1＝α;β-1＝β;γ-1＝γ;(4)α为等幂元。解答(1)第1行没改变，所以α为左幺元；第1列没改变，所以α为右幺元；∴

α为幺元(2)无左、右零元；(3)α-1＝α;β-1＝γ;γ-1＝β;δ-1

＝ε;ε-1=δ;(4)α、δ为等幂元。举例I:整数集合g:I×I→I，且：

g<x,y>=x*y=x+y-xy求出幺元，并指出每个元素的逆元。解答(1)求幺元e：对任意的x∈Ix*y=x+y-xyx*e=x+e-xe幺元的定义=xe=0解答(2)求x的逆元x-1

：x*x-1x*y=x+y-xy=x+x-1-xx-1=0x-1=x/(x-1)∈Ix=0时：x=2时：x-1=0∈Ix-1=2∈I第二节 代数系统的一般概念1、代数系统的定义2、代数系统满足的条件3、子代数系统4、同类型的代数系统1、代数系统的定义X:非空集合Ω:X上运算的非空集合V=<X,Ω>:代数系统{ω1，ω2，…，ωn}<X,ω1，ω2，…，ωn>有限代数系统|X|为V的阶解释：一个非空集合X,连同若干个定义在该集合上的运算ω1，ω2，…，ωn所组成的系统称为代数系统。2、代数系统满足的条件（1）非空集合X；（2）有一些建立在集合X上的运算；（3）这些运算在集合X上是封闭的。代数系统举例<I+，+><ρ(S)，∪，∩>是是代数系统举例N4={0，1，2，3},i+4j=(i+j)(mod4)问：<N4

，+4>是代数系统吗？+401230123验证+4在N4集合上是否满足封闭性0123123023013012由运算表可知运算满足封闭性<N4

，+4>是代数系统3、子代数系统V=<S，Ω>:代数系统S′≠φS′

S每一个运算ω∈Ω在S′上均封闭V′=<S′，Ω>是一个代数系统V′为V的子代数系统子系统或子代数子代数系统举例<I,+>是一个代数系统设E：偶数集合则：<E,+>是<I,+>的子代数系统。4、同类型的代数系统V1=<S1，Ω1>:代数系统V2=<S2，Ω2>:代数系统存在一个双射函数f:Ω1→Ω2每一个ω∈Ω1和f(ω)∈Ω2具有相同的阶同元运算V1和V2是同类型的代数系统类型映射ωf同类型的代数系统举例V1=<Nm,+m,

m>和V2=<R,+,

>是同类型的代数系统吗？其中：i+mj=(i+j)(modm)i

mj=(i

j)(modm)解答双射函数（类型映射）f:f(+m)=+,f(

m)=

且+m和+、

m和

均为二元运算所以：V1=<Nm,+m,

m>和V2=<R,+,

>是同类型的代数系统。同类型的代数系统举例V1=<Nm,+m>和V2=<I,+,

>是同类型的代数系统吗？V1=<I,+，-

>和V2=<R,+,

>是同类型的代数系统吗？其中：“-”为取负运算。（不是）（不是）不存在双射函数不是同元运算不是同元运算第三节 同态和同构一、同态二、同构一、同态1、同态的定义2、同态的特点3、满同态、单一同态、自同态1、同态的定义<A，∘><B，*>同类型的代数系统A上的二元运算B上的二元运算存在一个映射g：A→B对任意的a,b∈Ag(a∘b)=g(a)g(b)*运算的象象的运算从<A，∘>到<B，*>的一个同态映射<A，∘>与<B，*>同态解释两个代数系统同态：（1）两个代数系统同类型；（2）运算的象=象的运算2、同态的特点（1）g映射可以是内射、单射、满射、双射；（2）g(S1)

S2

像点集单一同态满同态同构同态示意图S1x1x2x3S2gg(x1)=y1g(x2)=y1g(x3)=y3y1y3g(x1∘x3)=g(x1)*g(x3)=x1∘x3y1*y3y1*y3g(x2∘x3)=g(x2)*g(x3)=y1*y3x2∘x3g(S1)同态举例其中：g:N→{0,1}，且定义为：g(n)=0(n

N)证明：<N，×><{0，1}，×>同态证明（1）显然<N,×>与<{0,1},×>同类型；（2）运算的象=象的运算对任意的m,n

N运算的象=g(m×n)=0象的运算=g(m)×g(n)=0×0=0所以：<N，×>与<{0，1}，×>同态3、满同态、单一同态、自同态(1)如果g为满射函数，则称g为关于类型映射f的满同态；(2)如果g为单射函数，则称g为关于类型映射f的单一同态；(3)若V1=V2，且类型映射f为恒等函数，则称g为关于类型映射f的自同态。自同态举例其中：g:I→I，且定义为：g(n)=3n(n

I)证明：<I，+><I，+>自同态证明(1)显然<I，+>与<I，+>同类型,且f(+)=+；(2)运算的象=象的运算对任意的m,n

N运算的象=g(m+n)=3(m+n)=3m+3n=g(m)+g(n)=象的运算所以：<I，+>与<I，+>同态,且是自同态。满同态的特点满同态对性质的保持是单方向的，即： <X,∘>与<Y,*>满同态<X,∘>的性质，<Y,*>均保持交换律结合律分配律吸收律幺元零元逆元等幂元交换律、结合律设<X,∘>与<Y,*>满同态，则：（1）若∘运算可交换，则*运算也可交换；（2）若∘运算可结合，则*运算也可结合；分配律V1=<S1，Ω1>V2=<S2，Ω2>满同态f:类型映射*

Ω1∆

Ω1*对∆可分配f(*)对f(∆)也可分配

Ω2幺元、零元、逆元设<X,∘>与<Y,*>满同态，则：(1)若∘有幺元e，则*有幺元g(e);(2)若∘有零元

，则*有零元g(

);(3)若xX有逆元x-1,则g(x)Y有逆元g(x-1)满同态的特点举例<I,+,

>和<N3,+3,

3>满同态，则：(1)＋可交换，f(＋)=+3也可交换；(2)

可交换，f(

)=

3也可交换；(3)＋可结合，则f(+)＝+3也可结合；(4)

可结合，则f(

)＝

3也可结合；满同态举例（续）(5)对“＋”存在e=0,则:对“+3”存在e=g(0)=0;(6)对“

”存在e=1,则:对“

3”存在e=g(1)=1;(7)对“

”存在零元

=0,则:对“

3”存在零元=g(0)=0;(8)对“＋”，8的逆元是-8,则:对“+3”g(8)=2g(-8)=g(-9+1)=(-9+1)(mod3)=1(mod3)=1满同态举例（续）2+31=(2+1)(mod3)=0=e2和1互为逆元单一同态举例证明：<R，＋><R，

>单一同态实数集合g:R→R对于xRg(x)=2x证明(1)显然<R,+>和<R,

>同类型(2)运算的象=象的运算对于任意的x,y

R，有：g(x+y)=2x+y=2x

2y=g(x)

g(y)(3)g映射是单射函数y=2x二、同构1、同构的定义2、同构的特点3、自同构1、同构的定义<A，∘><B，*>同类型的代数系统A上的二元运算B上的二元运算存在一个双射映射g：A→B对任意的a,b∈Ag(a∘b)=g(a)g(b)*运算的象象的运算从<A，∘>到<B，*>的一个同构映射<A，∘>与<B，*>同构同构满足的条件（1）同类型（2）g为双射函数（|S1|＝|S2|）（3）运算的象＝象的运算同构举例S={a,b,c,d},运算∘见表(a)P={1,2,3,4},运算*见表(b)则<S,∘>与<P,*>同构。∘abcdadabdbdbcdcadccdabaa表(a)*123412224211423323141134表(b)解答（1）显然<S,∘>与<P,*>同类型；（2）寻找双射函数g：S→P由表(a)的第4行和表(b)的第1行可知：g(a)=2,g(b)=4在<S,∘>中c是等幂元在<P,*>中3是等幂元g(c)=3g(a)=2,g(b)=4,g(c)=3,g(d)=1变换运算表g1,2列交换2,4列交换1,2行交换2,4行交换一致2、同构的特点（1）g为双射函数；（2）g(X)=YS1x1x2S2gx1∘x2g(x1)*g(x1)g(x1)g(x2)同构对运算保持相同的性质设<X,∘>与<Y,*>同构，则：(1)若∘有幺元e,则*有幺元g(e),反之亦然；(2)若∘有零元

,则*有零元g(

),反之亦然；(3)若xX有逆元x-1,则g(x)Y有逆元g(x-1),反之亦然；(4)若∘运算可交换,则*运算也可交换,反之亦然；(5)若∘运算可结合,则*运算也可结合,反之亦然；3、自同构

若V1=V2，且类型映射f为恒等函数，则称g为关于类型映射f的自同构。同构举例证明：<R+,

><R,+>同构给定：g:R+→R,g(x)=lnx证明(1)显然<R+,

>和<R,+>同类型；(2)g(x)=lnx是双射函数；(3)运算的象＝象的运算:对于任意的a,b

R+g(a

b)=ln(a

b)=lna+lnb=g(a)+g(b)所以：<R+,

>和<R,+>同构。第三节 同余关系一、代换性质二、同余关系一、代换性质V=<G,Ω>:代数系统R:G上的等价关系ω

Ω:n元运算对任意的a1,b1,a2,b2,…,an,bn

Ga1Rb1a2Rb2…anRbn(<a1,a2,…,an>)ω(<b1,b2,…,bn>)ωRR关于ω具有代换性质代换性质举例 <I,+,

>为代数系统，I中的等价关系如下：对任意的a,b

I，aRb|a|=|b|问：等价关系R对于运算＋和是否具有代换性质？

解答（1）对加法运算“＋”：设a、-a、b

I∵|a|=|-a|aR(-a)∵|b|=|b|bRb|a+b|≠|-a+b|(a+b)(-a+b)R关于“＋”不具有代换性质解答（续）（2）对乘法运算“×

”：设i1、i2、j1、j2

I若i1Ri2

则|i1|=|i2|若j1Rj2

则|j1|=|j2|∴|i1×j1|=|i2×j2|

∴(i1×j1)R(i2×j2)即：对于乘法运算“×”来说，R具有代换性质。二、同余关系V=<G,Ω>:代数系统R:G上的等价关系R关于每一个运算ω

Ω都具有代换性质R为<G,Ω>上的同余关系。同余关系举例 <N,+>为代数系统，在N上定义一个模m同余关系≡m

证明：≡m关于＋具有代换性质，且是<N,+>上的同余关系证明x1,y1,x2,y2

Nx1≡my1x2≡my2(x1+x2)≡m(y1+y2)x1≡my1x1=p1m+r1y1=p2m+r1x2≡my2x2=q1m+r2y2=q2m+r2p1,p2,q1,q2,r1,r2

N0≤r1

、r2≤m-1x1+x2=p1m+r1+q1m+r2=(p1+q1)m+(r1+r2)y1+y2=p2m+r1+q2m+r2=(p2+q2)m+(r1+r2)(x1+x2)≡m(y1+y2)≡m是同余关系第五节 商代数和积代数一、商代数二、积代数一、商代数1、商代数的定义2、正则映射1、商代数的定义R:代数系统V=<X,∘>上的同余关系<X/R,⊗>:V=<X,∘>关于R的商代数V/R(1)对于x1,x2

X[x1]R[x2]R=⊗[x1∘x2]R(2)X/R={[x]R|x

X}商集二、积代数A1=<G1,*>A2=<G2,⊕>同类型的代数系统A1×A2=

<G1×G2,∆>:A1与A2的积代数∆定义为：对任意的<a1,b1>,<a2,b2>

G1×G2<a1,b1>∆<a2,b2>=<a1*a2,b1⊕b2>A1,A2:A1×A2的因子代数积代数举例F2=<N2,+2,×2>F3=<N3,+3,×3>求：F2×F3解答N2={0,1}N3={0,1,2}则：N2×N3={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>}设：F2×F3=<N2×N3,+23,×23>+23、×23的运算表<0,2>+23<1,0>=<0+21,2+3

0

>=<1,2

><0,2>×23<1,0>=<0×21,2×3

0

>=<0,0

>第六节 典型的代数系统一、半群二、群一、半群1、半群2、可交换半群3、独异点（含幺半群）4、可交换含幺半群5、子半群6、循环半群1、半群<S,*>:代数系统*:二元运算*运算是可结合<S,*>:半群2、可交换半群<S,*>:半群*运算是可交换<S,*>:可交换半群3、独异点（含幺半群）<S,*>:半群*运算有幺元e<S,*>:含幺半群独异点<S,*,e>4、可交换含幺半群<S,*>:独异点*运算是可交换S,*>:可交换含幺半群半群举例

下列各代数系统是否为半群？若是半群，是什么半群？(1)<N,+>(2)<N,×>(3)<ρ(S),∩>，其中S为非空集合。(4)<ρ(S),∪>其中S为非空集合。半群可交换半群含幺半群e=0可交换含幺半群半群可交换半群含幺半群e=1可交换含幺半群半群可交换半群含幺半群e=S可交换含幺半群半群可交换半群含幺半群e=φ可交换含幺半群半群举例I:整数集合，对于下列*运算，哪些代数系统<I,*>是半群?⑴a*b=ab⑵a*b=a解答⑴对任意的a,b,cI

(a*b)*c=ab*c=(ab)c=abc，a*(b*c)=a*bc=

，不是半群所以(a*b)*c≠a*(b*c)。解答:a*b=a⑵*的封闭性是显然的;(a*b)*c=a*c=a,a*(b*c)=a*b=a，*是可结合运算是半群5、子半群<S,*>:半群H

S集合H在运算*作用下封闭<H,*>是<S,*>的子半群<S,*,e>:含幺半群H

S集合H在运算*作用下封闭<H,*,e>是<S,*,e>的子含幺半群子含幺半群e

H子半群举例例：<S，*>是一个半群，*运算的运算表如下：问：(1)<{c,d},*>(2)<{b,c,d},*>(3)<{b,c},*>(4)<{c},*>(5)<{a,b},*>是<S，*>的子半群吗？子半群含幺子半群子半群含幺子半群子半群子半群不是子半群子含幺半群举例集合A=

0,2,4

(1)<A,×6>是含幺半群;(2)<A,×6>不是<N6,×6>的子含幺半群。

解答

<A,×6>的幺元是4，所以<A,×6>是独异点；

<N6,

6>的幺元是1。而1

A,，因此<A,

6>不是<N6,

6>的子含幺半群。定理<S,*,e>:含幺半群*运算表中任何两行或两列都是不相同的证明a,b

Sa≠b假设a行和b行完全相同a*e=b*e

a=b与a≠b矛盾结论成立元素的幂的定义

在含幺半群<S,*,e>中，任意元素aS,它的幂被定义为：

a0=ea1=aa2=a*a…

ak+1=ak*a6、循环半群<S,*>:半群<S,*,e>:含幺半群存在一个元素gS对任意的aS都有一个相应的nNa=gn循环半群循环含幺半群生成员循环含幺半群举例

设S={a,b,c,d}，定义S中的二元运算*，*运算的运算表如下：(1)证明<S,*>是一个循环含幺半群，并给出它的生成员；(2)把<S,*>中的每一个元素都表示成生成员的幂；(3)列出<S,*>中所有的等幂元。解答(1)由运算表可知：e=ab和d均为生成员(2)生成员的幂的形式：b0=ab1=bb2=b*b=cb3=b2*b=c*b=dd0=ad1=dd2=d*d=cd3=d2*d=c*d=b(3)a为等幂元定理

每一个循环半群（或含幺循环半群）都是可交换半群（或可交换含幺半群）。证明<S,*>:循环半群g:生成员对任意的a,bX都存在m,nNa=gmb=gna*b=gm*gn=gm+n=gn+m=gn*gm=b*a*运算是可交换的<S,*>是可交换半群二、群1、群的定义2、阿贝尔群3、循环群4、子群1、群的定义（1）<S，*>是代数系统；（2）“*”运算满足结合律；（3）<S，*>中存在幺元e；注意：群中无零元群含幺半群（4）<S，*>中任意一个元素都有逆元素；群举例<R，×>和<R-{0}，×>是群吗？为什么？解：<R，×>:0是<R，×>的零元，而零元是不可逆的。<R-{0}，×>：（1）<R-{0}，×>是代数系统；（2）存在幺元e=1;（3）“×”可结合；（4）对任意实数x,x-1=1/x不是是有限群和无限群

设<S，*>是一个群，若集合S是有限集则称<S，*>是有限群，|S|称为有限群的阶数。 若集合S是无限集则称<S，*>是无限群。注意：群的运算表中没有两行或两列是相同的定理<A，*>:群对于任意的a,b∈A方程a*x=by*a=b在A中都有唯一的解证明(1)证明方程有解：x=a-1*by=b*a-1方程的解是:①左式＝a*x＝

a*(a-1*b)（*运算可结合）=(a*a-1)*b=e*b=b=右式②左式＝y*a＝

(b*a-1)*a（*运算可结合）=b*(a-1*a)=b*e=b=右式证明（续）（2）证明方程有唯一的解：假设方程有其他的解分别为x1,y1,则：a*x1=b

a-1*a*x1=a-1*b(a-1*a)*x1=a-1*be*x1=a-1*b

x1=a-1*b同理：y1＝b*a-1定理<A，*>:群对于任意的a,b,c∈A(a*b=a*c)∨(b*a=c*a)

消去律

b=c证明设a的逆元是a-1，则：a*b=a*c

a-1*a*b=a-1*a*c(a-1*a)*b=(a-1*a)*ce*b=e*c

b=c同理：b*a=c*a

b=c定理对于任意的a,b∈A，有：(a*b)-1=b-1*a-1<A，*>:群证明由逆元的定义：x*x-1=x-1*x=e要证明：(a*b)-1=b-1*a-1即证明:(a*b)*(b-1*a-1)=(b-1*a-1)*(a*b)=e(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=a*a-1=e(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b=b-1*e*b=b-1*b=e2、阿贝尔群<A，*>:群“*”:可交换阿贝尔群交换群3、循环群

若群<A，*>中每个元素均是它的某个元素a的整数幂，则称<A，*>是由a生成的