独立性检验高二下数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第八章

成对数据的统计分析8.3.2独立性检验学习目标1、通过学习独立性检验的基本思想，提升逻辑推理的素养．2、借助χ2公式，培养数学运算的素养．3、通过对典型案例的探究，了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用.4、通过对数据的收集、整理和分析,增强学生的社会实践能力,培养学生分析问题、解决问题的能力.复习旧知一、分类变量

用以区别不同的现象或性质的一种特殊的随机变量，称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示，例如，学生所在的班级可以用1，2，3等表示，男性、女性可以用1，0表示，等等．二、列联表

将形如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表.2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.问题导学问题1你认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？

这个结论是根据两个频率间存在差异推断出来的.有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差异，但两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的.

对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大.

因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算.独立性检验方法问题导学问题2你知道法官是如何凭证据进行判案的吗？类比追问

我们是否可以类比法官判案的方式去判断两个分类变量X,Y是否有关联？问题导学问题3设X和Y为定义在以Ω为样本空间上，且取值于{0,1}的成对分类变量，如何判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联？我们需要判断下面的假定关系是否成立P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)由条件概率的定义可知，上式等价于：{X=1}和{Y=1}独立问题导学问题3设X和Y为定义在以Ω为样本空间上，且取值于{0,1}的成对分类变量，如何判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联？根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价:零假设H0：分类变量X和Y独立{X=1}和{Y=1}独立{X=0}和{Y=1}独立{X=1}和{Y=0}独立{X=0}和{Y=0}独立如果这4个性质成立，则称分类变量X和Y独立.问题导学问题4如何基于上述四个等式及列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断?零假设H0：分类变量X和Y独立假定零假设H0成立，由

可以得到：{X=0,Y=0}发生的频数的期望值频数的观测值问题导学为了平衡各式的差值的变化，构造一个方便科学的统计量：零假设H0：分类变量X和Y独立概念生成一、卡方统计量：追问1卡方统计量有什么用呢？统计学家建议，用随机变量χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据。如果零假设H0成立，则χ2应该很小；如果零假设H0不成立，则χ2应该很大.

概念生成二、卡方独立性检验：

用χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立。这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验。概念生成追问2

怎样确定判断χ2大小的标准呢？

根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律，可以通过确定一个与H0相矛盾的小概率事件来实现，在假定H0的条件下，对于有放回简单随机抽样，当样本容量n充分大时，统计学家得到了χ2的近似分布.P(χ2≥xα)=α

我们称xα为α的临界值，这个临界值可以作为判断χ2大小的标准.概率值α越小，临界值xα越大.概念生成基于小概率值α的检验规则:下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：概念生成追问3怎么看这个表呢？课堂练习C课堂练习D课堂练习B课堂练习A典例剖析解：零假设为H0：分类变量X与Y相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异.典例剖析问题5例1和例2基于同一组数据的两种分析方法（条件概率法和卡方独立性检验法），但却得出了不同的结论，你能说明其中的原因吗？

事实上，例1只是根据一个样本的两个频率间存在差异得出两校学生数学成绩优秀率有差异的结论，并没有考虑由样本随机性可能导致的错误，所以例1的推断依据不太充分.

在例2中，我们用χ2独立性检验对零假设H0进行了检验.通过计算，发现χ2≈0.837小于α=0.1所对应的临界值2.706，因此认为没有充分证据推断H0不成立，所以接受H0，推断出两校学生的数学成绩优秀率没有显著差异的结论。

这个检验结果意味着，抽样数据中两个频率的差异很有可能是由样本随机性导致的.因此，只根据频率的差异得出两校学生的数学成绩优秀率有差异的结论是不可靠的.

由此可见，相对于简单比较两个频率的推断：

用χ2独立性检验得到的结果更理性、更全面，理论依据也更充分.典例剖析解：零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.例3某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据:抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名;抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.典例剖析例3某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据:抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名;抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.典例剖析例3某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据:抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名;抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.典例剖析因此可以推断乙种疗法的效果比甲种疗法好。例3某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据:抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名;抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.典例剖析问题6根据同一抽查数据推断两个分类变量之间是否有关联，应用不同的小概率值，是否会得出不同的结论?为什么?可能会得出不同的结论.理由如下：对同一抽样数据，计算出来的χ2的值是确定的，在独立性检验中，基于不同的小概率值α的检验规则，对应不同的临界值xα，其与χ2的大小关系可能不同，相当于检验的标准发生变化，因此结论可能会不同.方法总结应用独立性检验解决实际问题大致包括以下几个主要环节：(1)提出零假设H0：X和Y相互独立,并给出在问题中的解释.(2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值比较.(3)根据检验规则得出推断结论.(4)在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.典例剖析例4为研究吸烟是否与肺癌有关,某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法,调查了9965人,得到成对样本观测数据的分类统计结果,如表所示.依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析吸烟是否会增加患肺癌的风险.典例剖析问题7独立性检验的思想类似于我们常用的反证法，你能指出二者之间的相同和不同之处吗？独立性检验是一种“概率反证法”.反证法独立性检验在某种假设H0下，如果推出一个矛盾，则证明H0不成立；若未能推出矛盾，不能对H0下任何结论，即反证法不成功.在零假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，则推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不大于这个小概率.否则，不能推断H0不成立，通常会接受H0，即认为两个分类变量相互独立.反证法不会犯错误独