初中平面几何一题多变

平面几何一题多变ﻫ在完成一个数学题得解答时，有必要对该题得内容、形式、条件、结论,做进一步得探讨，以真正掌握该题所反映得问题得实质。如果能对一个普通得数学题进行一题多变,从变中总结解题方法;从变中发现解题规律，从变中发现“不变",必将使人受益匪浅。ﻫ“一题多变”得常用方法有:

1、变换命题得条件与结论;

２、保留条件，深化结论；

３、减弱条件，加强结论；ﻫ4、探讨命题得推广；ﻫ５、考查命题得特例;ﻫ６、生根伸枝，图形变换;

７、接力赛，一变再变;ﻫ8、解法得多变等。ﻫ19、(增加题1得条件)AE平分∠BＡC交BC于Ｅ,

求证:CE:EＢ=CＤ:CＢ20、(增加题1得条件)CＥ平分∠ＢCD,AF平分∠BAC交BC于F求证:（1）BF·CE=ＢE·ＤＦ

（２)AＥ⊥CF

（3）设AE与CD交于Ｑ，则ＦＱ‖BC

21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，Ｄ为垂足，以ＣD为直径得圆交AC、BC于Ｅ、F,ﻫ求证：ＣE:BC=CＦ：AC(注意本题与16题有无联系)２2、已知,△AＢC中，∠ACB=9０度，CD⊥AB,D为垂足，以AD为直径得圆交AC于Ｅ，以BD为直径得圆交BC于F，求证：EF就是⊙O1与⊙O2得一条外公切线２3、已知，△ABC中，∠ＡCＢ＝90度,ＣD⊥AＢ，Ｄ为垂足,作以ＡC为直径得圆O１，与以CD为弦得圆Ｏ2，

求证：点A到圆O2得切线长与AC相等（AT=ＡC）24、已知，△ABC中，∠ＡCB=９0度,CD⊥AB,D为垂足,

Ｅ为ACD得中点,连ED并延长交CB得延长线于Ｆ，求证：DＦ：CF=BＣ：AＣ25、如图,⊙Ｏ1与⊙O２外切与点D，

内公切线DO交外公切线EF于点O,ﻫ求证：OD就是两圆半径得比例中项。题14解答:

因为CＤ^2=AD·DB

AC^2=ＡD·ＡＢ

BC^２=ＢD·AＢﻫ所以１／ＡC^２＋1/BC^２ﻫ=1／（AD·AB）+１/（BD·AB)ﻫ=(AＤ+DＢ）/（AＤ·BＤ·AB）

=AB／AD·BＤ·AB

＝1／ＡD·BDﻫ=1/CD^215题解答：

因为M为AB得中点,所以AM＝MB，AＤ－DB＝AM＋DM－（MB-DM）=２DＭ

AC^２—BC^２=ＡＤ＊ＡB－DB*ＡＢﻫ

＝（AＤ—DB)AＢ

=２DＭ＊AB2６、（在1９题基础上增加一条平行线)

已知，△ABC中,∠ACB＝9０度，ＣD⊥AB，D为垂足,ＡE平分∠BAＣ交BC于E、交ＣD于F,FG‖AB交ＢC于点G，ﻫ求证：CE=ＢG2７、（在1９题基础上增加一条平行线)ﻫ已知，△ABＣ中，∠ＡCＢ=9０度,CD⊥AB,D为垂足,AＥ平分∠BAC交ＢC于E、交CD于F,FG‖ＢＣ交AB于点G，连结EG，ﻫ求证:四边形CＥGＦ就是菱形28、（对19题增加一个结论）ﻫ已知，△AＢC中,∠ACB=90度，ＣD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F,

求证：CE=CＦ29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ABＣ中，∠ACB=90度,CD⊥ＡB,D为垂足,作以AＣ为直径得圆O1,

求证:过点D得圆O1得切线平分BC30、(在1９题中增加一个圆）ﻫ已知，△ABＣ中,∠ACＢ=90度,CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠ＢAC交BC于E，交CD于Ｆ，ﻫ求证：⊙CEＤ平分线段AFﻫ3１、(在题1中增加一个条件）

已知，△ＡBC中,∠ACB=90度,CＤ⊥AB，D为垂足，∠Ａ＝3０度,

求证：BＤ=AB/4ﻫ（沪科版八年级数学第１1７页第3题)32、（在1８题基础上增加一条直线）ﻫ已知,△ABC中，∠ACB=90度,CＤ⊥AB，Ｄ为垂足，作∠ＢCE=∠BＣＤﻫＰ为AC上任意一点，直线ＰQ交CD于Ｑ，交CB于M，交CE于Ｎﻫ求证：PQ／PN＝QM/MN3２题证明:ﻫ作ＮS‖CＤ交直线AＣ与点S,ﻫ则PQ/ＰN=CQ／SN

又∠ＢCＥ＝∠ＢＣD

∴QM／MN＝CQ/CN(三角形内角平分线性质定理）ﻫ∠BCE+∠NCS=∠BCD+∠ACＤ

NS‖ＣD，∴∠NSC=∠ＡCＤﻫ∴∠NSC=∠ＮCS

∴SN=ＣNﻫ∴PQ/PN＝QＭ／MＮ题33

在“题一中"，延长CＢ到E,使EB＝CB,连结ＡE、DE，

求证:DE·ＡＢ=AE·BＥ题３３证明

CB^2=BD·AB

因EB=CBﻫ∴EＢ^2=BＤ·AB

∴EＢ：BD＝AB：BＥ

又∠EBＤ＝∠ABEﻫ∴△EBD∽△ABE

∴EB：AB=DE：AＥﻫ∴DE·ＡB=ＡE·BE题３4ﻫ（在19题基础上增加一条垂线)

已知，△ABC中，∠AＣB＝9０度，CD⊥AB，Ｄ为垂足,ﻫAE平分CＤ于F,ＥG⊥AB交AＢ于点Ｇ,ﻫ求证：ＥG^2＝ＢE·ＥC证明：延长AC、GＥ,设交点为H，

∴△EBG∽△ＥHCﻫ∴EB：ＥH＝EG：ＥCﻫ∴EH·EG=BE·EＣﻫ又HG‖CD，CＦ=ＦD

∴EH＝EG

∴ＥG^2=BE·ＥC题35（在题19中增加点F)ﻫ已知,△ABＣ中，∠ACＢ＝90度，CD⊥ＡB,Ｄ为垂足,

AE平分∠ＢCＡ交BC于点E，交CD于F，

求证：２CF·FＤ=AF·EＦ题36、（在题16中，减弱条件,删除∠ACB＝90度这个条件）

已知,△AＢC中,CD⊥AB，D为垂足，DＥ⊥AＣ于Ｅ,DF⊥BC于F，

求证:CE／BC=CF／AＣ题３7

（在题17中，删除∠AＣＢ=90度与CD⊥ＡB,D为垂足这两个条件,增加Ｄ就是ＡB上一点，满足∠ＡＣD=∠ＡBC）ﻫ已知,△AＢC中，D就是AB上一点,满足∠ACD=∠ABC，又CＥ平分∠BＣＤﻫ求证:ＡＥ^2=ＡD·ＡB题38ﻫ已知，△ABC中,∠ＡCB＝９０度,ＣＤ⊥AB，D为垂足，ＰC为⊙ABC得切线ﻫ求证：ＰA/AD＝PＢ/BD题39ﻫ（在题19中点Ｅ“该为E为ＢＣ上任意一点”）ﻫ已知，△ABＣ中，∠AＣB=90度，CD⊥AB,D为垂足，

E为BＣ上任意一点,连结AE,CＦ⊥AE,Ｆ为垂足，连结DF，

求证:△ADF∽△AEBﻫ题40：

已知,△ABＣ中,∠ACB=90度，ＣD⊥AB，D为垂足ﻫ求证:S⊙ADＣ：S⊙BDC=ＡＤ：ＤB题４１

已知,如图,△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且ＡＤ/ＣＤ=CＤ/BＤ，

求∠AＣB得度数。题42ﻫ

已知,CD就是△ABC得AB边上得高,D为垂足，且ＡD/CD=ＣD／BD，

则∠ACＢ一定就是90度吗？为什么？题43：ﻫ已知,△ABC中,∠ACＢ=９0度,CD⊥ＡB，D为垂足,△ADC得内切圆⊙O1,

△ＢDC得内切圆⊙Ｏ2，ﻫ求证:S⊙O1：Ｓ⊙O２＝AD:ＤB题4４:

已知，△AＢＣ中，∠ＡCB=9０度，CD⊥AＢ，D为垂足，△ADＣ得内切圆⊙O1得半径R1,△BＤC得内切圆⊙O2得半径R2,△ABC得内切圆⊙Ｏ得半径Ｒ，求证:R1+R2+R=CD题45、ﻫ已知，△AＢC中，∠AＣＢ=90度，CD⊥ＡB，D为垂足，作以AC为直径得圆O1，与以ＢD为直径得圆O2，设O１与O２在△ABC内交于Ｐﻫ求证：△PAD得面积与△PBC得面积相等ﻫ题45解：ﻫ∠CAP＝∠CＤP＝∠DBP（圆周角、弦切角）ﻫ∴Rt△ＡPC∽Rt△BPDﻫ∴ＡP·PD=BP·PCﻫ又∠APD与∠CPB互补（∠APC+∠BPD＝180度）

Ｓ△PAD=1/2·ＡP·ＰＤ·ｓｉn∠APD

S△PBD＝１/２·BP·PＣ·sin∠ＣPBﻫ∴S△PAD=S△PBD题46(在题38得基础上变一下)ﻫ已知，△ＡBＣ中，∠ACB=90度,CD⊥ＡB，Ｄ为垂足,PC为⊙ABC得切线,又CE平分∠ＡＣB交⊙ABC与E,交AB与Ｄ，

若PA=5，ＰC=１0,

求

CD·CE得值题47ﻫ在题４6中，求ｓin∠ＰCA题48(由题19而变）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥ＡB，D为垂足,

AE平分∠ACB交BＣ于E，ＥG⊥ＡB交ＡＢ于点G，ﻫ求证：（1）AC=AＧﻫ（2)、AG＾2=ＡD·ＡBﻫ（３)、G在∠ＤCB得平分线上

（4)、ＦＧ‖BCﻫ（5）、四边形CEFＧ就是菱形题4９题４9解答:ﻫ题目50(题３3再变)ﻫ已知，△AＢＣ中，∠ＡＣB=９0度,ＣD⊥AB,D为垂足，延长CB到Ｅ,使EＢ＝CB，连结AE交CD得延长线于F，如果此时AC=ＥＣ，ﻫ求证:AF＝2FE题50解:ﻫ过点E作EM⊥CF，M为垂足,则AD：ＤB＝AＣ^2：CB^2=4：１

又ＤB：EM＝１：2ﻫ所以，AD：ＥＭ=2：1ﻫ△ＡDF∽△EMFﻫ∴AF：ＥF=AD：ＥＭ=２：１

∴AF＝2EF题目51(题50中连一线)ﻫ已知,△ABＣ中,∠AＣB=９0度,CD⊥ＡB，Ｄ为垂足，延长CB到E,使EB=CB,连结AE交CD得延长线于F,连结ＦＢ，如果此时AＣ=EC,

求证:∠ABC=∠EＢF

(题５1得几种解法)

解法1、

作∠AＣＢ得平分线交AB于点G,易证△ACG≌△CEF

∴CG＝EF

∴证△CBG≌△EＢFﻫ∴∠ＡBC=∠ＥBＦ题５１解法２

作∠ＡＣB得平分线交ＡB于点Ｇ，交AE于点P,ﻫ则点G为△AＣE得垂心，∴GＦ‖CEﻫ又∠AEC=∠GCE，ﻫ∴四边形CGFＥ为等腰梯形ﻫ∴ＣＧ=ＥFﻫ∴再证△CBG≌△ＥBＦ

∴∠ＡBC=∠EＢF题51解法3

作∠ACＢ得平分线交ＡB于点Ｇ,交AE于点P，ﻫ则点G为△ＡCE得垂心,ﻫ易证△APＧ≌△CPF（AＡS)ﻫ∴PＧ＝PFﻫ又∠GPB＝∠FPB,

PB=PBﻫ∴△ＰBG≌△FBＰ（SAS)ﻫ∴∠PBG=∠ＦＢＰ

∴∠ABC=∠ＥBF题51解法4（原题图）

由题50得,ＡF=2EFﻫ∴AF:ＥF=AC：BＥ=2ﻫ又∠CＡＦ=∠BＥF=45度

∴△ＡCF∽△EＢF

∴∠ＡCF＝∠EＢF

又∠ＡCＦ=∠CBAﻫ∴∠ABＣ=∠EBF题51解法５ﻫ作ME⊥ＣE交ＣD得延长线于M，ﻫ证△ＡBC≌△CME（AＳＡ)ﻫ∴∠ABC=∠Mﻫ再证△MEＦ≌△ＢEF(ＳAS）

∴∠EＢM=∠Ｍ

∴∠ＡBC=∠ＥBF题5１解法6

作点B关于点C得对称点Ｎ,连结AN,ﻫ则ＮB=２BE，又由题50，AＦ=2EF，ﻫ∴ＢＦ‖AN

∴∠ＥBM=∠N

又∠ABC=∠Ｎ(对称点)ﻫ∴∠AＢＣ=∠EBF题５１解法7ﻫ过点C作CH‖ＢＦ交AB于M，

∵Ｂ为CE得中点,ﻫ∴F为ＨE得中点

又由题５0，AF=2ＥF,

∴H为AF得中点

又CＨ‖BF

∴M为AB得中点

∴∠MＣB=∠MBＣﻫ又∠EBM=∠MＣB

∴∠ＡBC=∠ＥBF题目52(题5０、５１结论得引伸）

已知，△ABＥ中,AC=EC，∠ACＥ=９0度,ﻫCD⊥AＢ交斜边AＢ于F,Ｄ为垂足，ﻫB为ＣＥ得中点，连结FB，ﻫ求证:

（１)、AＦ＝2ＥFﻫ（2)、∠ＡＢC=∠ＥBＦ

(3)、∠EBF＝∠E+∠ＢＡE

(4）、∠AＢF=２∠DＡCﻫ(5）、AB：BF=AE:EF

（６）、CD：DF＝AE：AF

（７）、AＤ：DB＝2AＦ:EFﻫ(8）、CＤ/DＦ·FA/ＡＥ·EB/ＢC=1题目53（题52得一部分)

已知如图，

①、AＣ＝ＣE

②、AC⊥CEﻫ③、CB＝BE

④、ＣF⊥ＡB

求证：

⑤、AＦ=2EF

⑥、∠ABＣ=∠ＥBF(题53得14个逆命题中，就是真命题得请给出证明）ﻫ题目54(题5３得逆命题1)ﻫ已知如图，ﻫ⑤、AＦ=2EF

②、ＡC⊥ＣEﻫ③、ＣB=BE

④、ＣF⊥ABﻫ求证:ﻫ①、AC=CEﻫ⑥、∠ABＣ=∠ＥBFﻫ平面几何一题多变ﻫ

题目55（题53得逆命题２）

已知如图，

①、AC=CE

⑤、AF＝２EＦ

③、CB=BE

④、ＣＦ⊥ABﻫ求证:ﻫ②、AC⊥ＣEﻫ⑥、∠ABC＝∠EＢＦﻫ

题目56（题53得逆命题３）

已知如图,

①、AＣ=CE

②、AＣ⊥CＥﻫ⑤、AＦ＝2ＥFﻫ④、ＣＦ⊥AB

求证:

③、CB=BEﻫ⑥、∠ABC=∠ＥBFﻫﻫ题目57（题53得逆命题4）ﻫ已知如图,

①、AC=CEﻫ②、ＡC⊥CＥ

⑤、AF=2EFﻫ③、CＢ=ＢE

求证：

④、ＣＦ⊥AＢﻫ⑥、∠ＡBC=∠EBFﻫﻫ题目5８(题53得逆命题5)

已知如图,

③、CB=BＥ

⑥、∠ＡＢＣ=∠EＢF

②、ＡC⊥CE

④、ＣF⊥AB

求证：ﻫ⑤、AＦ=2ＥFﻫ①、AC=CE

题目59（题53得逆命题６)

已知如图,ﻫ①、AＣ＝ＣＥﻫ④、CF⊥ＡＢ

③、CB=BEﻫ⑥、∠ABC=∠EBF

ﻫ求证:

⑤、AＦ=２EFﻫ②、AＣ⊥CEﻫ

题目60（题53得逆命题７)ﻫ已知如图,ﻫ①、AＣ=CEﻫ②、AC⊥CEﻫ⑥、∠ABＣ=∠ＥBＦ

④、ＣF⊥ABﻫ求证：

⑤、ＡＦ=2EF

③、CB=ＢEﻫ

题目６１(题5３得逆命题8)

已知如图,

①、AＣ=CE

②、AC⊥ＣEﻫ③、ＣB=ＢE

⑥、∠AＢC=∠EBF

ﻫ求证:ﻫ⑤、AＦ=2EFﻫ④、CＦ⊥AB

ﻫ题目６2（题5３得逆命题9)

已知如图,

⑤、AF=２ＥFﻫ④、ＣF⊥AＢ

③、CB＝BE

⑥、∠ABC＝∠EＢFﻫ

求证:

①、AＣ＝CE

②、AC⊥CEﻫ

题目６3(题５3得逆命题１0)

已知如图，ﻫ②、AC⊥ＣEﻫ⑤、AＦ=2EF

④、CF⊥ＡBﻫ⑥、∠ABC＝∠EBＦ

求证：

①、AC=CEﻫ③、CB=BEﻫ

题目64（题5３得逆命题11）

已知如图,ﻫ③、CＢ=BEﻫ⑥、∠ABC=∠EBF

②、AC⊥CＥ

⑤、AF＝2EＦﻫ求证:

①、AＣ=CE

④、CＦ⊥AB

ﻫ题目65（题53得逆命题1２)ﻫ已知如图，ﻫ①、AＣ＝ＣＥﻫ⑤、AF＝２ＥF

④、ＣF⊥ABﻫ⑥、∠ABＣ=∠ＥBFﻫ

求证:

②、AC⊥ＣＥ

③、CB=ＢE

ﻫ题目6６(题53得逆命题13）ﻫ已知如图,ﻫ①、AC＝CEﻫ⑤、AF=2EF

③、CB＝BEﻫ⑥、∠AＢC=∠ＥＢF

求证:ﻫ②、AC⊥ＣEﻫ④、CＦ⊥AB

ﻫ题目６7（题５3得逆命题14）ﻫ已知如图,

①、AC=ＣEﻫ②、AC⊥ＣE

⑤、AF=2EF

⑥、∠ABC=∠EBF

求证:ﻫ③、ＣB=ＢＥﻫ④、CF⊥AB题目６８ﻫ已知如图,△ABC中,∠AＣＢ=90度，CD⊥AＢ，D为垂足,

CＭ平分∠ACB，如果S△ACM=30，S△DCM=6，ﻫ求S△BCD=?（题６8解答）ﻫ解：

设Ｓ△ＢCD=ｘ，则S△ACM/S△CＭB=３0/(6+x）=AM/ＭB

S△ACD／S△ＣＤＢ=36/ｘ=AD／ＤB

又AC^２＝AD·ABﻫＢC^2＝ＢD·AＢﻫ∴AC＾2/ＢＣ＾２=ＡD/ＢＤ

∵CM平分∠ACBﻫ∴（AM/BM）^2=AD/BD

∴［30/（６+x)]^２=36/xﻫ解方程得x=4或x＝9

∴Ｓ△BCD＝4或S△ＢCD=9题目6９ﻫ已知如图,△ＡBＣ中,∠ＡＣＢ=９０度，D为斜边AB上一点,满足AC^２＝ＡＤ·ABﻫ求证：CD⊥AB题目70ﻫ已知如图，△AＢC中,ＡＣ〉BC,∠ACＢ=９0度,ﻫCM平分∠ＡＣＢ，且CM+CB=ＡC,ﻫ求证：1/ＡC-1/BC=√2题7０证明：ﻫ过点M作MＤ⊥BC，D为垂足,作MD⊥AC，E为垂足，

设ＭE=x，ＡC=ｂ,ＢＣ=a,则CM=√2x，AE=b—ｘ,ﻫ由AE/ＡＣ=MＥ/BC，得(b-x）/b＝ｘ／ａ,

∴x＝aｂ／(ａ+b）

又CM＋CB=AC

∴√2x+a＝b，ﻫ∴ab/（a＋b）=（b-a)/√2

整理得:b＾２—a^2=√2ａｂﻫ两边都除以ａb,

∴1/AC—1/BC=√2ﻫ题目７1（依题68变)ﻫ已知如图,△ＡBＣ中（AＣ＞BC)，∠ACB=90度,ＣD⊥AB，D为垂足,

CM平分∠ACB，且BC、AC就是方程ｘ＾2－14x+48＝０得两个根，

求AD、ＭD得长。题目7１解：

显然，方程x^2—14x+4８＝0得两根为6与8,

又AC>BC

∴AC=8，ＢC=6

由勾股定理AB=１0ﻫ△ＡCＤ∽△AＢＣ，得ＡC^２＝AD·AB

∴ＡD=6、4

∵CM平分∠ＡＣBﻫ∴AM/MB=AＣ/ＣＢﻫ解得，AＭ＝40/７ﻫ∴MD=ＡD—ＡＭ=24／35题目72

已知如图,△ＡBC中,∠ＡＣＢ=9０度,AＢ=2AC，现在将它折成如右图得形状，这时顶点A正好落在BC上，而且△A'ＭN就是正三角形,ﻫ求△A’MN与△ABC得面积之比。题７2解:ﻫ∵∠ACB=90度，AB＝2ＡＣﻫ∴∠Ｂ＝30度ﻫ由题意，四边形AMA'N就是菱形，ﻫ∴△A＇BM∽△ABＣﻫ∴A＇Ｍ/ＡＣ=BM/ＡＢﻫ设ＡM=ｘ,AＢ=2AC=2a

∴x/a=（２a-x）/２aﻫ∴x=2a/3ﻫ由三角形面积公式,得ﻫＳ△Ａ’MN:Ｓ△ＡBC=2：9题目73

已知,△ABC中,∠ACB＝90度，CＤ⊥AB,Ｄ为垂足ﻫ求证：AＢ＋CD〉AC+BC题７３得证明：ﻫ由三角形面积公式,得AB·CD=AＣ·ＢCﻫ２AB·ＣＤ＝２AC·BCﻫ又勾股定理,得ＡB^２=AC＾2+ＢC^２

∴AB^2+2ＡB·CD=AＣ^2+ＢＣ^2+2AＣ·BC(等式性质）

∴AＢ^2+2AＢ·CD＝（AC+BC)^2

∴ＡＢ^2+2AＢ·CD+ＣD^２>（AＣ＋BＣ）^２

∴（AＢ+ＣＤ）^2>（AC+BC)^2

又ＡB、CD、AC、BC均大于零

∴AB+CＤ>AC+BC题目74

已知,△ABC中，∠AＣＢ>90度,CＤ⊥AＢ,Ｄ为垂足ﻫ求证：ＡB+CD〉AC+BC题74证明：如图,作CB’⊥AＣ交ＡB于B’，

于就是有

AＢ'·CＤ＝AC·B’Ｃ

2ＡB'·CＤ=2ＡC·Ｂ’Ｃﻫ又勾股定理，得ＡＢ'^2=AC^2+B’C^2

∴AB’＾２+２AB’·CＤ=AＣ^2+B'C^２＋2AC·B’C（等式性质）

∴ＡB’＾2+2ＡB’·CＤ=（ＡC＋Ｂ’C)＾2ﻫ∴AB’^２+2ＡB’·ＣD+CD^２＞（AＣ＋B’C）^２

∴（AB’+CD）^2〉(AC+B'Ｃ）^2

又AＢ’、CD、AＣ、B'C均大于零

∴AB'+ＣD〉AC＋B'C……①

在△ABＢ'中,BＢ'〉CＢ—CB'……②

①+②得AB’BB'+CD〉AＣ＋B'CCB-CB’ﻫ∴AB+CＤ>ＡC＋BC题目75

已知如图，△AＢC中，ＣＤ⊥AB，Ｄ为垂足,ﻫCT平分∠ACＢ，ＣＭ为AＢ边上得中线,

且∠ACD=∠DCT=∠TCM=∠MＣB

求证：∠ACB=９０度题目7５得证明:

延长ＣT交三角形ＡBC得外接圆于N,连结ＭN，

则N为弧AB得中点，所以MN⊥AB，

又CD⊥AB,

∴MＮ‖ＣDﻫ∴∠DCT=∠TＮMﻫ又∠DCT=∠TCＭﻫ∴∠ＴCM=∠TNＭﻫ∴CＭ=ＮＭﻫ∴CN得垂直平分线必过点M，

又CM为AＢ边上得中线，MN⊥ABﻫ∴AB得垂直平分线必过点M，ﻫ即M为两条弦得垂直平分线得交点,

∴M为三角形ABC得外接圆得圆心，

因此AB为△ＡBC得外接圆得直径。ﻫ∴∠ACB=9０度题目７6

已知，△ABC中，∠AＣB＝９0度,CD⊥AＢ,D为垂足,ﻫ∠ACB得平分线CG交AB边上得中垂线于点G，

求证：MC=ＭG题目77ﻫ已知,△AＢC中,∠ACB＝90度,ＣD⊥AＢ,Ｄ为垂足，CM为AB边上得中线，CD就是∠AＣB得平分线,AC=75cm,BD=80cm，

求CＤ、CＭ、CE得长题目78ﻫ

已知,△ABＣ中，∠ACB＝90度,CD⊥AB，D为垂足,E为⊙ＡＢC上一点,

且弧AＣ＝弧CＥ,又AE交CD于M，

求证：AＭ=CMﻫ

题目79（题78再变）ﻫ已知,△ABC中，∠ACB=９0度，ＣD⊥AB,D为垂足,E为⊙ABC上一点，且弧AC=弧CE，又ＢC交AE于G，连结BE

求证：BＧ^2=AＢ·BE－AG·ＧＥ

题目80ﻫ已知,△ABＣ中，∠ACB＝90度，CD⊥AＢ，Ｄ为垂足,E为⊙ABC上一点,且直线ＤC于直线BＥ交于Ｐ，ﻫ求证:CD^２=DM·DP题目８1ﻫ已知,△ABＣ中，∠ACＢ＝90度，ＣD⊥AB,Ｄ为垂足,E为⊙AＢC上一点，且直线DC于直线BＥ交于P,如果ＣD平分AE,

求证：2ＤM·DP=ＢE·ＥP题目82

已知，△AＢC中，∠ＡCB=90度，CD⊥ＡB,Ｄ为垂足，E为⊙AＢＣ上一点,

且弧AC=弧ＣE，又直线AＣ与直线BE交于H，

求证:ＡB=BH题目83(由题44变)ﻫﻫ求证：直角三角形两条直角边得与等于斜边与内切圆直径得与。题目8４ﻫ已知，△ABＣ中，∠ACＢ=9０度，CD⊥AＢ,D为垂足,MN切⊙ABC与C点ﻫ求证：BC平分∠DCN题目85

已知,△ABC中,∠ＡCB=９0度,CＤ⊥AB,D为垂足，MＮ切⊙ABＣ与C点，

AF⊥MN,F为垂足,AE⊥ＭN，Ｅ为垂足,ﻫ求证：ＣD=ＣE=CF题目８6ﻫ已知,△ABC中,∠ＡＣB=90度，以BC为直径得圆交AB于点D，以AC为半径得圆交AB于点E,

求证:∠ＢCE=∠DCE题目87（由题38图而变）ﻫ求证：与两定点距离之比等于定比（不为1)得点得轨迹就是一个圆周.ﻫ（提示:从(1）完备性、（２)纯粹性两方面来证明。)

题目８８

作图题:

已知两线段之与及积，求作这两条线段。ﻫ已知：两线段m与nﻫ求作:两线段x及ｙ,使ｘ＋y＝m,xy=n＾２补个图（题8８作法参考）

ＡD、BD即为求作线段x、yﻫ题目8９(由题8８变）ﻫ已知梯形ABCＤ如图，求作一直线平行于梯形得底边，且平分面积。题目90

利用下图，证明：两个正数之与为定值,则这两个数相等时乘积最大。题目8９作法：

如图，作两腰得延长线交于点O,作ＰB⊥AB使PB＝OA，连结OP，

以OP为直径作半圆Ｍ,由圆心M作ＭＮ⊥OＰ，交半圆于点N,再以Ｏ为圆心OＮ为半径画弧交ＡB于点E，作EF‖BC交CD于F,则ＥF即为所求线段。题９1(题73变)

设a、b、c、ｄ都就是正数,满足a/b＝c/ｄ，且a最大，

求证:ａ+ｄ＞b+c题92(人教版数学八年级下11４页)

在Ｒｔ△ABC中，∠AＣB＝90度,CD⊥AB，D为垂足，∠ACD=３∠BCD,E就是斜边AＢ得中点,

∠ECB就是多少度？题９3（题49变）已知，17cosＡ+13ｃosＢ=１７，17ｓiｎA=13ｓinＢ，且∠A、∠Ｂ都就是锐角，

求∠A／2+∠B得值。题目93解:（构造法)ﻫ分别以17、13为边作△ABC,使AＣ=17,BC=13，ＣD为AB边上得高,ﻫ在Rｔ△ADC中，AD=17ｃosA，在Rt△BＤＣ中，ＢD＝１3ｃｏsB,

CD=17ｓiｎＡ=１３sｉnＢ

而AB＝AD＋ＤB=１7cｏｓA+13coｓB=1７，

∴AC=AB,∠B＝∠ACB,ﻫ∴∠A＋2∠B=1８0度ﻫ∴∠A/2+∠B＝90度。题94ﻫ已知如图,△ＡBC得∠C得平分线交AB于D，交△AＢC得外接圆于E，

若ＣD·CE等于△ABC面积得2倍

求证：∠ＡCB＝90度ﻫ题目95

已知，△ABC中,∠ACB＝90度，ＣD⊥AB，D为垂足，CＭ平分∠ACB交AB于M，若AC〉ＢCﻫ求证:∠DCＭ＝1/2·(∠B－∠A）题目96

已知,△ABＣ中，∠AＣB=90度,ＣＤ⊥AB,D为垂足,ＣE为AB边上