《数字电子技术》课件1.3-1.5逻辑代数基本公式、定理和规则

主要要求：

掌握基本运算，常用复合逻辑运算

1.3逻辑代数基础

理解变量：逻辑值

1和

0的含义理解逻辑体制的含义理解逻辑符号对照逻辑代数(布尔代数)

用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数(BooleAlgebra)或开关代数。参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B……表示。每个变量的取值非0即1。逻辑变量的运算结果用逻辑函数来表示，其取值也为0和1。0、1的含义在逻辑代数及逻辑电路中，0和1已不再具有值的概念。仅是借来表示事物的两种状态或电路的两种逻辑状态而已。如：

真－1闭合－1高－1取值开关电平

假－0断开－0

低－01.3.1逻辑变量正逻辑体制规定高电平为逻辑1、低电平为逻辑0负逻辑体制规定低电平为逻辑1、高电平为逻辑0通常未加说明，则为正逻辑体制注意逻辑体制

1.3.2基本逻辑运算基本逻辑函数

与逻辑或逻辑非逻辑与运算(逻辑乘)

或运算(逻辑加)

非运算(逻辑非)

1.与逻辑决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生111YAB000001010逻辑表达式Y=A·B

或Y=AB若有0出0；若全1出1

与门

(ANDgate)

开关A或B闭合或两者都闭合时，灯Y才亮。2.

或逻辑

决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。灭断断亮合合亮断合亮合断灯

Y开关

B开关

A若有1出1若全0出0

000111YA

B101110逻辑表达式Y=A+B

或门

(ORgate)3.非逻辑决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。

开关闭合时灯灭，开关断开时灯亮。

AY0110Y=A

1

非门(NOTgate)

又称“反相器”

除了与、或、非这三种基本逻辑关系外，还可以把它们组合起来，形成关系比较复杂的复合逻辑关系，相应地运算称为复合逻辑运算。常用的复合运算有下面几种：（1）与非运算（2）或非运算（3）与或非运算（4）异或逻辑（5）同或逻辑1.3.3常用复合逻辑运算1.与非逻辑(NAND)先与后非若有

0

出

1若全

1

出

0100011YA

B1011100112.或非逻辑(NOR)先或后非若有

1

出

0若全

0

出

1100YA

B0010103.与或非逻辑(AND–OR–INVERT)先与后或再非4.异或逻辑(Exclusive–OR)若相异出1若相同出0000011YAB1011105.同或逻辑(Exclusive-NOR，即异或非)若相同出1若相异出0100111YAB001010注意：异或和同或互为反函数，即国家标准曾用标准美国标准逻辑符号对照

主要要求：

掌握逻辑代数基本定律

1.4逻辑代数的定律及规则

掌握逻辑代数基本规则

1.4.1逻辑代数的基本定律

名称公式1公式20-1律A1=AA0=0A+1=1A+0=A互补律重叠律AA=AA+A=A交换律AB=BAA+B=B+A结合律A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)反演律（摩根定律）吸收律A(A+B)=AA+AB=A还原律证明方法利用真值表逻辑等式的证明方法

利用基本公式和基本定律111111111100[例]

证明等式A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法公式法右式=(A+B)(A+C)

用分配律展开=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A·1+BC=A+BC0000ABCA+BC(A+B)(A+C)000001010011100101110111

证明吸收律A+AB=A

A+AB=A(1+B)=A

0011111011011100A+BA·BA

B0011001000011100A·BA+BA

B

证明吸收律A+AB=A

推广公式：思考：(1)若已知

A+B=A+C，则

B=C吗？

(2)若已知

AB=AC，则B=C吗？

推广公式：摩根定律(又称反演律)

真值表

证明反演律1.代入定理将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。如：A＋AB＝A＋B故：AC+D+AC+DB＝AC+D+B2.反演定理

将逻函中的“+”变“●”，“●”变“+”；“0”变“1”，“1”变“0”；原变量变反变量，反变量变原变量，所得新式即为原函数的反函数。如：Y＝（A+BCD）E，则Y＝A（B+C+D）+E＝A（B+CD）+E1.4.2逻辑代数的基本规则变换时注意：(1)

不能改变原来的运算顺序。(2)

反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非号保持不变。

结论：

可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律。3.对偶定理

将逻函中的“+”变“●”，“●”变“+”；“0”变“1”，“1”变“0”；变量不变，所得新式即为原函数的对偶式。如：Y＝A（B+C），则Y'＝A+BC对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。

变换时注意：(1)

变量不改变

(2)

不能改变原来的运算顺序A+AB=AA·(A+B)=A

应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。主要要求：

理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。

1.5逻辑函数及其表示方法

掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其相互转换的方法。

逻辑函数描述了某种逻辑关系。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。1.

真值表列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表。列真值表方法(1)按

n位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合。(2)

分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。1.5.1逻辑函数及其表示方法

00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA输出变量输入变量4个输入变量有

24

=16种取值组合。2.

逻辑函数式表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。

(1)找出函数值为

1的项。(2)将这些项中输入变量取值为

1的用原变量代替，取值为

0的用反变量代替，则得到一系列与项。(3)将这些与项相加即得逻辑式。真值表逻辑式例如

ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111

逻辑式为3.

逻辑图运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。由逻辑符号及相应连线构成的电路图。

根据逻辑式画逻辑图的方法:将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现。例如画的逻辑图反变量用非门实现与项用与门实现相加项用或门实现4.卡诺图

卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个方格图内，此方格图称为卡诺图。卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项。两个相邻最小项可以合