《导数及其应用》（文）复习概要

《导数及其应用》（文）复习概要山东张俊华李绪军一、导数1．导数的定义函数在点处可导：函数在到之间的平均变化率，即，如果当时，有极限，则称在点处可导.注意：（1）导数与导函数之间既有联系又有区别.一般地，导数是对一个点而言的，它是一个确定的数值（常数），与给定的函数及x（或）的位置有关，而与无关；导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，但与x、x均无关.因此，导数和导函数常用“求函数在点处的导数”与“求函数的导数”在文字叙述上加以区别；同时采用“”与“等在符号上加以区别.函数在处的导数是一个数，它就是导函数在处的值，即是一个常量.也可以先求导数，再用代入计算其值，但前提条件是在处必须可导.（2）并不是所有的函数都有导数.（3）自变量的增量有多种表达形式，不论采用哪种形式，中自变量的增量都必须用相应的形式.如求，易出现这样的错误：，这是将中自变量的增量误认为是所致，事实上应为，令，则.2．导数的几何意义函数在点的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率k，即.3．求函数的导数的方法、步骤（1）用定义基于对导数定义三个层次的理解，求一个函数的导数，一般先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数.即分为以下三个步骤：①求差分，即求函数的变化量（增量）；②求差商，即求平均变化率（增量之比）；③求导，即求局部变化率（增量比的极限）.以上步骤熟练之后，可一并写成.（2）利用基本函数的导数公式、四则运算法则及复合函数的求导法则求导数.①常用的导数公式（C为常数），， ， （，且），（，且）；②两个函数四则运算的导数，这个法则可推广到任意有限个可导函数的和（或差）；，特别的；，特别的当时，有.③复合函数的导数设，则.注意：对复合函数求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步是对哪个变量求导，不要混淆，最后要将中间变量换为自变量的函数.二、导数的应用1．求切线的斜率：根据导数的几何意义，函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率.注意：当切线平行于轴时，这时导数不存在，切线方程为.2．求函数的单调区间：利用导数判断函数单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）令，解出x的取值范围，得函数单调递增的区间；令，解出x的取值范围，得函数单调递减的区间.注意：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意到定义域，以及定义域内的不连续点或不可导点.函数在某一区间（或）是在该区间上为增函数（或减函数）的充分条件.如函数在为增函数，但有.3．求函数极值：设函数在点x0处连续且，若在点附近左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在点附近左侧，右侧，则为函数的极小值点.注意：可导函数在点取得极值的充要条件是且在左右侧符号不同.是为极值点的必要不充分条件.函数的极值点是区间内的点，不能是区间的端点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数在极小值点处是不可导的.把使的点附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.4．求函数的最值：在闭区间［a，b］上连续的单调函数，在［a，b］上必有最大值与最小值.设函数在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，先求出的点，然后求出使的所有点的函数值，再与端点函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.注意：极值与最值的区别：（1）函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念.（2）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间