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10.3幂级数10.3.1幂级数及其收敛区间1.函数项级数前面讨论的级数是常数项级数，即级数的各项都是常数。如果一个级数的各项都是定义在某个区间I上的函数，则称该级数为函数项级数，一般可表示为（10.3.1）若给定一点则函数项级数（10.3.1）成为一个常数项级数（10.3.2）若级数（10.3.2）收敛，则称点是函数项级数（10.3.1）的收敛点，否则称点为发散点。的收敛点的全体叫做函数项级数（10.3.1）的收敛域。级数（10.3.1）对于收敛域内每一点X,都有唯一确定的和与之对应，所以在收敛域内的和是x的函数，称为的和函数，记为S(x)，即函数项级数是以变量x为公比的等比级数，由前面讨论可知，当|x|<1时，级数收敛，当|x|时，级数发散，因此，级数的收敛域为(-1,1).2.幂级数的概念当函数项级数(10.3.1)的各项均为幂函数时，即得级数(10.3.3)称为关于的幂级数，其中常数称为幂级数的系数.当（10.3.3)式变为(10.3.4)称为关于x的幂级数.作变换则级数（10.3.3）就变为级数（10.3.4）,所以，下面首先讨论形如(10.3.4)的幂级数。3.幂级数的收敛半径与收敛区间一般的，如果幂级数不仅在x=0处收敛，那么存在一个正实数R，使该幂级数在对称区间（-R,R）内一定绝对收敛；在使|x|>R的点x处一定发散；在x=处敛散性不定。这样的R称为幂级数（10.3.4

）的收敛半径，而把以下四种区间统称为幂的收敛区间（或收敛域）.级数一般地，设幂级数有则（1）时，收敛半经（2）时，收敛半径（3）时,收敛半径例10.3.1

求下列幂级数的收敛半径与收敛区间。解（1）因为则所以幂级数的收敛半径R=1.当x=-1时，交错级数收敛；当x=1时，调和级数发散；所以幂级数的收敛区间为[-1，1）.（2）因为则所以幂级数的收敛半径收敛区间为（3）令y=x-2，得级数由于所以，幂级数的收敛半径当y=-1时，级数收敛，当y=1时，级数收敛，所以幂级数收敛区间[-1，1]，即而y=x-2，代入得故知的收敛半经R=1，收敛区间为[1，3].（4）所给幂级数缺少奇数幂的项，不属于级数（10.3.4）的标准形式，不能直接用上述方法求解，根据比值判别法求解。可以当即时，该级数绝对收敛；当该级数绝对发散。所以幂级数的收敛半径级数收敛,所以幂级数收敛区间为10.3.2幂级数的运算设幂级数的收敛半径分别为它们的和函数分别为记R=min{则在(-R,R)有：1.加法和减法且收敛半径为R.2.乘法且收敛半径为R.设收敛半径为R，则在(-R,R)内有：3.逐项求导且收敛半径仍为R,但在收敛区间端点处的敛散性可能改变。4.逐项积分且收敛半径为R,但

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