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文档简介

§2-1导数的概念一、导数的实际模型1.

切线问题

如果割线MN绕点M割线的极限位置——切线位置.极限位置即旋转而趋向极限位置

MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.1切线MT的斜率为：NM,沿曲线C割线MN的斜率为2取极限得：解2.物体作变速直线运动的速度问题设有一物体作变速直线运动,其运动方程为S=S(t)，求出瞬时速度为：物体在时刻时的瞬时速度.tt3切线MT的斜率为：瞬时速度为：通过以上实例,我们可以看到，研究函数的改变量与自变量的改变量之比以及当时，的极限，具有重要的实际意义.4二、(点)导数的定义1定义：设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时，的因变量取得增量则称函数在点处可导，如果与之比当时的极限存在，并称这个极限值在为函数处的导数.点记为即相应也记作或5其它形式也记作或6根据导数的定义例1判断函数在x=1处是否可导，若可导，请求导数.解在处可导，且7例2解8例3判断函数在x=0处是否可导？解在x=0处不可导92、左右导数的定义(1)左导数:(2)右导数:主要用来讨论分段函数在分界点的可导问题.函数在点处可导的充分必要条件是：左导数与右导数都存在而且相等.即：定理：作用：10注意：4.解析式中，分母是3.点导数是因变量在点x0处的瞬时变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.1.若存在，则它是一个确定的常数.2.是函数在上的平均变化率.分子是11三、导函数的概念则对于任一都对应着的一个确定的导数值.这样就构成了一个关于的新的函数，这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数.记作若函数在区间I上每一点处都可导，定义：如果函数在开区间内的每一点处都可导，就称函数在开区间内可导.如果函数在开区间内可导，且及都存在，就称函数f(x)在闭区间[a,b]上可导.12注意:1.点导数与的区别：2.联系四.用定义求导数的步骤如下：是函数，是一个确定的函数值.13五.用定义求导举例例1解步骤:即14例2解更一般地例如,即15例3解同理有即16例4解如即17例5解例如即18小结1.导数的实质:3.求导数最基本的方法:

由定义求导数步骤:2.增量比的极限;

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