平面与平面垂直的定义和判断高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.3平面与平面垂直第1课时

平面与平面垂直的定义和判定

引入

思考(1):上一小节我们研究了直线与平面垂直，你能再说说其研究路径吗?现实背景→

线面垂直的定义、表示(三种语言)→线面垂直的判定

→线面垂直的性质.

思考(2):你认为接下来应该研究什么位置关系，按什么的路径进行研究?

平面与平面的垂直关系.类比前面的方法，可按下列路径进行:现实背景→

面面垂直的定义、表示(三种语言)→

面面垂直的判定

→

面面垂直的性质.

思考(3):能回顾一下，空间直线与直线垂直，直线与平面垂直的定义过程吗?

先定义空间两直线所成的角（两条相交直线所得的锐角或直角），再取角为直角的特殊情况来定义两条直线垂直.

而直线与平面垂直的定义又是通过直线与平面内的任意直线垂直来定义的，事实上此时直线与平面所成的角也是直角.

因此，“两条相交直线所成的角”为直角是线线垂直和线面垂直的基础.

思考(4):

按此思路，你猜想一下应该如何定义平面与平面垂直吗?

先定义“两个平面所成的角”——可能还是用两条相交直线所成的角来刻画，再通过这个角为直角来定义这两个平面相互垂直.

思考(5):

两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，在现实生活中，你能找到两个平面相交的实例吗?打开的门所在的平面与墙面，翻开的书的两个页面；打开的笔记本电脑形成的两个面。知识探究(一)

问题1:

在平面几何中，角是怎样定义的？类比两条直线相交得到角，你能给出两个平面所成角的概念吗?

从一个点出发的两条射线所组成的图形(角).

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(二面角)射线(边)射线(边)顶点射线(边)半平面(面)棱

平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面.返回二面角1.定义:

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.射线(边)半平面(面)棱2.记法:(1)面-棱-面；(2)点-棱-点.

问题2：在日常生活中，我们常说"把门开大一些"，这说明门面与墙面所形成的角有不同的大小，根据我们前面对异面直线所成的角以及直线与平面所成角的研究，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？

可以用一个平面角来刻画二面角的大小

思考(1)：我们"把门开大一些"，是指哪个角大一些？这个角的顶点在什么地方？角的两边是怎样的？

角的顶点在棱上；

角的两边分别在两个半平面内,且都与二面角的棱垂直.

思考(2)：在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，可得一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？PAB

不能.

因为这种角的大小会由于所作射线的位置不一样而不同，而度量一个量的基本要求是“唯一性”．

思考(3)：如图，在二面角

-l

-

的棱

l上任取一点O，在半平面

和

内，从点O

分别作垂直于棱l

的射线

OA、OB，那么这样的∠AOB

是否一定存在，其大小是否唯一，与O点的位置是否有关？ABO

∠AOB

一定存在；

由等角定理可知，一旦二面角

-l

-

确定，无论O点在棱l上的什么位置，∠AOB

的大小都上唯一确定的.

我们把这样的角称为二面角的平面角，并用它来表示二面角的大小。二面角的平面角

在二面角

-l

-

的棱

l上任取一点O，在半平面

和

内，从点O

分别作垂直于棱l

的射线

OA、OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.(1)定义:(3)作用:度量二面角的大小.将二面角的大小问题转化为平面角的大小问题.即二面角的平面角多大，就说这个二面角有多大．(2)特点:③角的两边要都垂直于棱.①角的顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；(4)范围:①二面角的两个面重合：0o；②二面角的两个面合成一个平面：180o.[0°,180°

]

思考(4)：二面角的平面角所在的平面与二面角的棱有什么关系？

垂直.

即二面角的平面角可以看成是垂直于棱的平面去截二面角得到的平面角.返回练习

在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D'-AB-D;（2）二面角A'-AB-D；（3）二面角C'-BD-C.BACDA′B′C′D′(1)

二面角D'-AB-D的平面角为BACDA′B′C′D′(2)

二面角D'-AB-D的平面角为BACDA′B′C′D′(3)

二面角D'-AB-D的平面角为O知识探究(二)

思考(1)：教室相邻的两个墙面分别与地面可以构成二面角，你能分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数吗？

墙面与地面所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上.平面与平面垂直

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

平面

与

垂直，记作：

⊥

.

画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．

思考(2)：按照直线与平面垂直的研究路径，接下来就应该研究平面与平面垂直判定，类比两条空间直线垂直的判定，我们将如何来判定两个平面垂直？

第一，定义是充要条件，可以用定义来判定，即求二面角平面角，通过其为直角来判定，但这种方法往往不太容易;

第二，进一步寻求两个平面垂直的充分条件，看能否得到判定定理，获得更简洁的方法.

思考(3)：建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。这种方法说明了什么道理？如果墙面经过地面的垂线，那么墙面和地面垂直.思考(4)：你能用长方体模型来解释一下以上结论吗？面面垂直的判定定理1.内容：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

即简述：2.作用：判定平面与平面垂直直.

将平面与平面的垂直的问题转化为直线与平面垂直的问题.思考(5)：一般情况下，怎样才能证明面面垂直？

要证平面垂直平面，首先要证明(一个平面内的)直线垂直于平面，而要证明直线垂直于平面，又要证明直线垂直于直线(另一个平面内的两条直线)。例析

例1.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证:平面A'BD⊥平面ACC'A'．思考(1):

由ABCD-A'B'C'D'是正方体你能想到什么？正方体的性质.如棱与面的关系，面对角线的关系，

棱、体对角线、面对角线组成图形的特征，以及它们与关系与其它棱、体对角线、面对角线的关系等.

思考(2):

由要证明的结论，你又想到了什么？

在平面A'BD

或平面

A'CC'A是内找出与

另一个平面垂直的直线.

思考(3):

这种直线有吗，为什么？平面A'BD

中的BD就垂直于平面

A'CC'A.∵BD⟂AC，BD⟂A'A∴BD⟂平面

A'CC'A.

例1.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证:平面A'BD⊥平面ACC'A'．证明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方体∴

AA'⟂平面ABCD由

BD⊂平面ABCD

得A'A⟂BD又∵BD⟂AC，且AC∩A'A=A,AC、A'A⊂平面

A'CC'A∴BD⟂平面ACC'A'.∵

BD⊂平面

A'BD,∴

平面A'BD⊥平面ACC'A'．思考(4):

平面BDD'B'与平面ACC'A'垂直吗？

平面BDD'B'⊥平面ACC'A'.

事实上，直线A'C'上的任意一点与直线

BD所确定的平面都与平面ACC'A'垂直.

例2.如图,AB是⊙O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A、B的任意一点.

求证：平面PAC⊥平面PBC.

思考(1):

要证平面PAC⊥平面PBC，需要证明什么？

需证“BC⊥平面PAC”或“AC⊥平面PBC”.

思考(2):

由“AB是⊙O的直径”,你能想到什么？由“PA垂直于圆O所在的平面”,你又想到什么？由AB是⊙O的直径得BC⊥AC.由PA垂直于圆O所在的平面得

PA⊥BC.证明：知识探究(三)如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD.思考(1)：

四个面的形状怎样？

四个三角形全是直角三角形思考(2)：除AB⊥平面BCD外，还有哪些直线与平面垂直？

CD⊥平面ABC思考(3)：有哪些平面互相垂直？

平面ABC⊥平面BCD，

平面ABD⊥平面BCD，

平面ACD⊥平面ABC.CABDABCD注：象这种四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”练习1.判断下列说法是否正确(1)过平面α的一条垂线可作无数个平面与平面α垂直.()(2)过空间中的一点只能作1个平面与平面α垂直.()(3)过平面α的一条斜线，可作无数个平面与平面α垂直.()(4)过平面α的一条平行线只能作1个平面与α垂直.

()××√√3.底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳

马”.如图，四棱锥P-ABCD是一个阳马，则阳马中互相垂

直的面有(

)(A)1对

(B)2对

(C)3对

(D)5对课堂小结1.本节课是按怎样的路径展开的？

背景

→

二面角的概念和度量

→

面面垂直的定义判定

→面面垂直的判定

...2.

二面