矩阵分析 课件 第2章 内积空间

第2章内积空间线性空间中，元素间的运算只有加法和数乘，统称线性运算。上的内积空间（即酉空间）以及酉变换等也给出简单介绍。但是，三维几何空间作为一个线性空间，长度、向量夹角等度量概念在线性空间的理论中都未得到反映，而这些度量性质在很多实际问题中是很关键的。因此有必要在一般的线性空间中引进内积运算，从而导出内积空间的概念。中诸如向量本章重点讨论实数域上的内积空间（即欧氏空间），以及几种重要的线性变换，包括正交变换、对称变换等。同时，对复数域2.1欧氏空间1、欧氏空间的概念与性质定义2.1

设V是实数域R

上的线性空间，如果对于V中任意则称，当且仅当两个元素都有一个实数与之对应，记为，且满足下列条件：（1）（2）（3）（4）时等号成立，的内积。定义了内积的实线性空间V为与称为欧几里得空间（简称欧氏空间），也称为实内积空间。例2.1

实向量空间定义容易验证，它满足内积的四个条件，称为在同一个线性空间中引入不同的内积，则认为构成了不同的欧氏空间。例如，在实

n维向量构成的集合V中，定义或则它们都是V的内积。（A是n阶正定矩阵）中的向量在引入上述内积后，向量空间的标准内积。就是一个欧氏空间。

例2.2实矩阵空间

例2.3实连续函数线性空间定义

按此内积构成欧氏空间，定义按此内积构成欧氏空间，称为中的矩阵为矩阵对角线所有元素之和，称为的迹的标准内积。称为中的函数的标准内积。欧氏空间的内积基本性质：（1）（2）（3）（4）（5）当且仅当柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式中，中，线性相关时等号成立。定义2.2设V是

n维欧氏空间，2、度量矩阵称

n阶方阵是V的一个基，（其中）为基的度量矩阵或Gram矩阵。任取

n维欧氏空间V中两个元素，设在V的下的坐标分别为和，则由内积的性质得基（2.4）度量矩阵性质：性质1度量矩阵是正定的。证

设是

n维欧氏空间V的一个基，由于所以度量矩阵是实对称矩阵。，它在基下的坐标为由式（2.4）得，故度量矩阵是正定的。又对任意非零元素性质2设和是欧氏空间V的的度量矩阵为

A，基的度量矩阵为

B，又设则两个基，且基证

设得故于是，由例2.4设欧氏空间中的内积为（1）求基的度量矩阵；（2）求与的内积。解

（1）设基的度量矩阵为所以基的度量矩阵（2）在基下的坐标分别为由式（2.4）知，本节小结0102欧氏空间的概念与性质度量矩阵注意：几个常用欧氏空间的标准内积欧氏空间与线性空间的关系P43：1;2预习：2.2节本节作业2.2标准正交基1、元素的长度与夹角定义2.3

设V是欧氏空间，对任意，称非负实数为的长度（或范数，模），记作如果，则称为单位元素。，则元素是一个单位元素。

单位化例如，中的向量，其长度为中的矩阵其长度为中的函数，其长度为如果定理2.1设V是欧氏空间，对任意和，有（1）非负性

，当且仅当时，（2）齐次性

（3）三角不等式（4）Cauchy-Schwarz不等式当且仅当线性相关时等号成立。证（4）由Cauchy-Schwarz不等式即得；（3）根据Cauchy-Schwarz不等式，于是定义2.4设为欧氏空间V的两个非零元素，与的夹角定义为对任意，如果，则称与正交（或垂直），记为例2.5在中，试证明三角函数组是两两正交的，但它们不是单位元素。证

可求得因此函数组两两正交。又有所以它们不是单位元素。2、标准正交基定理2.2设是欧氏空间V中两两正交的证

设有一组实数，使得两边与作内积，有利用，得又因非零，所以，故有即线性无关。非零元素组，则它线性无关。定义2.5在

n维欧氏空间中，由

n个两两正交的元素组成的中，是一个标准正交基；中，n维单位坐标向量是一个标准正交基；中，是一个标准正交基。基称为正交基，由单位元素组成的正交基称为标准正交基。Gram-Schmidt正交化设是

n

维欧氏空间V的一个基，（1）正交化（2）单位化即为

n维欧氏空间V的一个标准正交基。试由的基出发构造一个标准正交基。解

首先利用Gram-Schmidt方法将正交化，即例2.6在中定义内积再将单位化，得则为的一个标准正交基。例2.7线性空间，对V中任意，定义内积试写出线性空间V的一个标准正交基。解

取线性空间V的一个简单基根据所定义的内积，易知它们两两正交，再将其单位化得即为V的一个标准正交基。矩阵这是因为充分必要条件是它的Gram矩阵，也就是度量矩阵

A是单位矩阵。定理2.3n维欧氏空间V

中的基是标准正交基中元素的坐标可以通过内积表示。事实上，设，用即得的坐标事实上，设则与等式两边作内积，是的一个标准正交基，欧氏空间在标准正交基下，n

维欧氏空间的内积等于对应坐标乘积之和。定理2.4在欧氏空间中，（1）两个标准正交基间的过渡矩阵是正交矩阵，即过渡矩阵

A满足证（1）设及是标准正交基，且有其中，则有即的坐标恰为

A的第

i

列，于是即的两个（2.5）一个基是标准正交基，则另一个也是标准正交基。（2）如果两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，且其中证

设及是且式（2.5）成立，其中

A是正交矩阵。如果的两个基，是标准正交基，则即是标准正交基。反之，若是标准正交基，由于且仍是正交矩阵，同前可证得也是标准正交基。（3）矩阵

A为正交矩阵的充分必要条件为列向量组为单位正交向量组。证

由（1）的证明过程即知。本节小结0102元素的长度与夹角标准正交基P43：3;4;5;6;7预习：2.3节本节作业2.3

正交变换与对称变换1、正交变换定义2.6如果欧氏空间V的线性变换

T保持内积不变，即对，都有，则称

T为正交变换。例2.8平面旋转变换（平面围绕坐标原点按逆时针方向旋转角）就是欧氏空间的一个正交变换。这是因为，对中任意向量和，有所以

T是正交变换。任意例2.9

设

A是

n阶正交矩阵，的线性变换是正交变换。这是因为，对任意，有定理2.5

设

T是

n维欧氏空间V的线性变换，则下列命题等价：（1）T是正交变换；（2）T保持元素的长度不变，即对任意，有（3）T把V的标准正交基仍变为标准正交基；（4）T在V的任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵。证

（1）（2），有（2）（1），有将上式两边展开，得由于代入上式得即

T是正交变换。T是正交变换，对任意T保持内积不变，则对任意（1）（3）T是正交变换，设标准正交基，则有于是是标准正交基。（3）（1）如果和都是V的标准正交基，任取，有于是即

T是正交变换。（3）（4）及（4）（3）由定理2.4即得。是V的例2.10

设T是欧氏空间的线性变换，对任意恒等变换是一个正交变换。事实上，即由定理2.5知

T是一个正交变换。2、对称变换定义2.7设

T是欧氏空间V的线性变换，如果对任意都有，则称

T为对称变换。定理2.6n维欧氏空间V的线性变换

T是对称变换充分必要证

设是V的标准正交基，且其中，则有于是条件是它在

V的任一标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。如果

T是对称变换，则有于是对任意，有从而

A是实对称矩阵。反之，若

A是实对称矩阵，则有且即

T为对称变换。推论

设

T

是

n

维欧氏空间V的对称变换，则存在V的证

取V的标准正交基，且设其中

A是实对称矩阵。由于存在正交矩阵

Q，使得其中是对角矩阵，令则由定理2.4知，是V的标准正交基，且

T在该基下的矩阵为标准正交基，使

T在该基下的矩阵为对角矩阵。

例2.10

设是欧氏空间V中一个单位元素，定义证明：（1）T是线性变换；（2）T是正交变换；（3）T是对称变换。证

（1）对任意，有故

T是线性变换。对任意（2）对任意，有故

T是正交变换。（3）对任意，有因此故

T是对称变换。本节小结0102正交变换对称变换P44：8;9预习：2.4节本节作业2.4酉空间1、酉空间与酉矩阵定义2.8如果设复数域

C，复矩阵欧氏空间针对实数域上的线性空间讨论，而酉空间是欧氏空间在复数域上的推广。定义其共轭矩阵为，其中是定义矩阵A的共轭转置矩阵为，即的共轭复数。复共轭转置矩阵性质：（A

，B是复矩阵，）（1）（2）（3）（4）（5）

当

A可逆时，定义2.9如果方阵

A满足如果方阵

A满足，则称

A为反Hermite矩阵。例如，为一个二阶Hermite矩阵；为一个二阶反Hermite矩阵。，则称

A为一个Hermite矩阵。定义2.10方阵

A满足，称

A为一个酉矩阵。当

A为实矩阵时，酉矩阵

A也就是正交矩阵。例如，为一个三阶酉矩阵。定义2.11设V是复数域

C上的线性空间，如果对于V中，都有一复数与之对应，记为且它满足下列条件:（1）（2）（3）（4），当且仅当时等号成立，则称为与的内积。定义了内积的复线性空间V称为酉空间，也称为复内积空间。任意两个元素

对复线性空间中的向量定义则它是内积，按此内积构成酉空间。对复线性空间中的矩阵规定则它是内积，按此内积构成酉空间。称为的共轭转置酉空间的内积有如下基本性质：（1）（2）（3）（4）（5）

Cauchy-Schwarz不等式仍成立，即这是因为，或当且仅当线性相关时等号成立。与欧氏空间一样，定义元素的长度为满足的元素为单位元素。酉空间中的内积一般是复数，元素间不易定义夹角，满足时，与正交（或垂直）。在

n维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基。定理2.7任意一组线性无关的元素可以用Gram-Schmidt定理2.8两个标准正交基间的过渡矩阵是酉矩阵。但仍可引入正交等概念，即当正交化方法将其正交化，并扩充成标准正交基。称2、酉变换与Hermite变换定义2.12设

T是酉空间V上的线性变换，如果对于V中任意，都有则称

T为V上的酉变换。如果线性变换

T满足则称

T为V上的Hermite变换。