高中数学选择性必修二课件：4 2 1 第1课时 等差数列的概念及通项公式(人教A版)

第四章

4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标XUEXIMUBIAO1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差数列的判断与证明方法.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的差都等于

，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的

，公差通常用字母

表示，公差可正可负可为零.思考你能根据等差数列的概念写出它的数学表达式吗？知识点一等差数列的概念答案an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*).2同一个常数公差d由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的

且2A＝a＋b.思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.知识点二等差中项的概念等差中项首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝

.思考由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？知识点三等差数列的通项公式答案只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可.a1＋(n－1)d若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为

，在y轴上的截距为

；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加

.知识点四从函数角度认识等差数列{an}da1－dd3.若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(

)4.若三个数a，b，c满足a＋c＝2b，则a，b，c一定是等差数列.(

)1.数列4,4,4，…是等差数列.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××3.若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(

)4.若三个数a，b，c满足a＋c＝2b，则a，b，c一定是等差数列.(

)1.数列4,4,4，…是等差数列.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××2题型探究PARTTWO一、等差数列的通项公式及其应用例1

在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可.(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数.跟踪训练1

在等差数列{an}中，求解下列各题：10(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝

.解析设首项为a1，公差为d，跟踪训练1

在等差数列{an}中，求解下列各题：10(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝

.解析设首项为a1，公差为d，(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝

.58解析由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，∴a15＝4×15－2＝58.二、等差数列的判定与证明(2)求an.延伸探究(1)试证明数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.反思感悟判断等差数列的方法(1)定义法an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)等差中项法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列.(3)通项公式法数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.例3

(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.三、等差中项及应用解因为－1，a，b，c，7成等差数列，所以b是－1与7的等差中项，所以该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟跟踪训练3

(1)若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.解由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.(2)已知a，b，c成等差数列，证明：a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)也成等差数列.证明因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a).故a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列.核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO等差数列的实际应用典例某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，∴每年的利润构成一个等差数列{an}，从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损.∴由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.素养提升(1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题.(2)能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现.3随堂演练PARTTHREE解析由等差数列的定义，得d＝－2.1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N*)，则它的公差d为A.2 B.3 C.－2 D.－312345√123452.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为A.26 B.29 C.39 D.52√解析∵5，x，y，z，21成等差数列，∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.3.在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为A.21 B.22 C.23 D.2412345√解析∵公差d＝a2－a1＝－4，∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)×(－4)＝88－4n，又∵n∈N*，∴n＝22.12345123455.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，则中间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为

升.12345解析设从最上至最下每节的容量构成等差数列{an}，公差为d，1.知识清单：(1)等差数列的有关概念.(2)等差数列的通项公式.(3)等差数列的判定与证明.2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法.3.常见误区：在具体应用问题中项数不清.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.设数列{an}是等差数列，若a2＝4，a4＝6，则an等于A.n B.2n

C.2n－1 D.n＋2基础巩固12345678910111213141516解析∵a4－a2＝2d＝6－4＝2.∴d＝1.∴a1＝a2－d＝3.∴an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.√2.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于A.10 B.18 C.20 D.2812345678910111213141516√解析设公差为d，则a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝2a1＋9d＝10.∴3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋(a1＋6d)＝4a1＋18d＝20.12345678910111213141516又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，√√√解析∵b是x，2x的等差中项，又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415166.在等差数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则该数列的公差为

.12345678910111213141516123456789101112131415167.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是

.a＝－b或a＝3b∴(a－3b)(a＋b)＝0，∴a＝3b或a＝－b.123456789101112131415168.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费

元.解析根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).23.2123456789101112131415169.在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.(1)求数列的第10项；a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.12345678910111213141516(2)问112是数列{an}的第几项？解an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，由112＝3n－5，解得n＝39.所以112是数列{an}的第39项.12345678910111213141516(3)在80到110之间有多少项？所以n的取值为29,30，…，38，共10项.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(2)求数列{an}的通项公式.11.(多选)下列命题中，正确的是A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列综合运用12345678910111213141516√√12345678910111213141516解析A项中，∵a，b，c为等差数列，∴2b＝a＋c，∴2·(2b)＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确.C项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.故C正确.1234567891011121314151612.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是√解析设an＝－24＋(n－1)d，n∈N*，13.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则A.a3a6>a4a5 B.a3a6<a4a5C.a3＋a6>a4＋a5 D.a3a6＝a4a512345678910111213141516√解析由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，显然a3a6－a4a5＝－2d2<0.12345678910111213141516n2(n∈N*)拓广探究1234567891011121314151612345678910111213141516证明因为an＋an＋1＝2n(n∈N*)，

①所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，

②②－①得an＋2－an＝2(n∈N*)，所以数列{an}是公差为2的准等差数列