高中数学选择性必修二课件：4 2 2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用(人教A版)

第2课时等差数列前n项和的性质及应用第四章

4.2.2等差数列的前n项和公式学习目标XUEXIMUBIAO1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，了解等差

数列前n项和的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一等差数列前n项和的性质2.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为

.m2dS偶思考在性质3中，an和an＋1分别是哪两项？在性质4中，an＋1是哪一项？答案中间两项，中间项.知识点二等差数列{an}的前n项和公式的函数特征二次2.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式组________确定；当a1<0，d>0时，Sn有最

值，使Sn取到最值的n可由不等式组________确定.大小大小预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.在等差数列{an}中，若a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，则a7＋a8等于A.7 B.8 C.9 D.10解析∵a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，由等差数列的性质得a5＋a6＝6，a7＋a8＝8.√预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.在等差数列{an}中，若a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，则a7＋a8等于A.7 B.8 C.9 D.10解析∵a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，由等差数列的性质得a5＋a6＝6，a7＋a8＝8.√2.已知数列{an}为等差数列，a2＝0，a4＝－2，则其前n项和Sn的最大值为解析由a4＝a2＋(4－2)d，得－2＝0＋2d，故d＝－1，a1＝1，√所以当n＝1或2时，Sn的最大值为1.3.(多选)已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为A.22 B.23 C.24 D.25解析由an≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有负项的和最小，即n＝23或24.√√20202题型探究PARTTWO一、等差数列前n项和的性质所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.2一、等差数列前n项和的性质所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.2(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.解方法一在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列.∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.跟踪训练1

(1)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是_____.－4解析设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，

①∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md，

②由①②得d＝－4.(2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和.解S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列.∴S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.二、等差数列前n项和的最值问题例2

在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.解方法一因为S8＝S18，a1＝25，所以当n＝13时，Sn有最大值为169.方法二同方法一，求出公差d＝－2.所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.因为a1＝25>0，又因为n∈N*，所以当n＝13时，Sn有最大值为169.方法三因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0.由等差数列的性质得a13＋a14＝0.因为a1>0，所以d<0.所以a13>0，a14<0.所以当n＝13时，Sn有最大值.由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，解得d＝－2，所以Sn的最大值为169.方法四设Sn＝An2＋Bn.因为S8＝S18，a1＝25，所以当n＝13时，Sn取得最大值.所以Sn＝－n2＋26n，所以S13＝169，即Sn的最大值为169.反思感悟(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和.②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用②运用二次函数求最值.跟踪训练2在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{an}的通项公式；解设等差数列的公差为d，因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，解得a1＝－9，d＝3，所以an＝3n－12，n∈N*.(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.解因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，所以当n＝3或4时，前n项的和Sn取得最小值S3＝S4＝－18.例3

数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N*).(1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；三、求数列{|an|}的前n项和解当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.∵a1＝S1＝100×1－12＝99，适合上式，∴an＝101－2n(n∈N*).又an＋1－an＝－2为常数，∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列.(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和.解令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，∵n∈N*，∴n≤50(n∈N*).①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，∴数列{bn}的前n项和Sn′＝100n－n2.②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，得数列{bn}的前n项和Sn′＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2500－(100n－n2)＝5000－100n＋n2.反思感悟已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”.跟踪训练3

在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.(1)数列{an}前多少项和最大？∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.∴当n≤17，n∈N*时，an>0；当n≥18，n∈N*时，an<0，∴数列{an}的前17项和最大.(2)求{|an|}的前n项和Sn.解当n≤17，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an当n≥18，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO等差数列前n项和公式的实际应用典例某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58.5，所以an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%所以实际共付1105＋150＝1255(万元).素养提升(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观.3随堂演练PARTTHREE解析∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2(n≥2，n∈N*)，∴数列{an}为等差数列.又a1＝24，d＝－2，1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为A.11或12 B.12

C.13 D.12或13√∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大.12345123452.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是A.0.5,0.5 B.0.5,1

C.0.5,2 D.1,0.5√解析由于项数为10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，3.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是A.d<0

B.a7＝0C.S9>S5

D.S6与S7均为Sn的最大值12345√解析∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为Sn的最大值.S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错.√√123454.已知在等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是______.解析∵公差d>0，|a5|＝|a9|，∴－a5＝a9，即a5＋a9＝0.由等差数列的性质，得2a7＝a5＋a9＝0，解得a7＝0.故数列的前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正.∴Sn取得最小值时的n为6或7.6或7123455.已知等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d＝___.5故S偶＝192，S奇＝162，所以6d＝S偶－S奇＝30，故d＝5.1.知识清单：(1)等差数列前n项和的一般性质.(2)等差数列前n项和的函数性质.2.方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想.3.常见误区：求数列{|an|}的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOURA.10 B.100 C.110 D.120基础巩固解析∵{an}是等差数列，a1＝1，√123456789101112131415162.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为A.30 B.70 C.50 D.6012345678910111213141516√解析∵等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.3.已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和SnA.有最大值且是整数 B.有最小值且是整数C.有最大值且是分数 D.无最大值和最小值解析易知数列{2n－19}的通项an＝2n－19，∴a1＝－17，d＝2.∴该数列是递增等差数列.√∴a1<a2<a3<…<a9<0<a10<….123456789101112131415164.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，下列判断正确的是A.d<0

B.S11>0C.S12<0

D.数列{Sn}中的最大项为S11√12345678910111213141516√解析∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正确；12345678910111213141516数列{Sn}中最大项为S6，D不正确.故正确的选项是AB.5.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2011＝S2018，Sk＝S2009，则正整数k为A.2017 B.2018 C.2019 D.2020√12345678910111213141516解析因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2011＝S2018，Sk＝S2009，123456789101112131415166.已知在等差数列{an}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为____.99解析由题意，得S奇＋S偶＝148，S偶－S奇＝50d＝50，解得S偶＝99.123456789101112131415167.已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝___.5解析∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.123456789101112131415168.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为___.6又a9>a5，所以d>0，a1<0.取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.123456789101112131415169.已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；解由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？12345678910111213141516解方法一a1＝9，d＝－2，12345678910111213141516∴当n＝5时，Sn取得最大值.方法二由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.∵n∈N*，∴当n≤5时，an>0；当n≥6时，an<0.∴当n＝5时，Sn取得最大值.1234567891011121314151610.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；解∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴{an}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.12345678910111213141516(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解设数列{an}的前n项和为Sn，∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.∴当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.12345678910111213141516当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，1234567891011121314151611.若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于A.15 B.35 C.66 D.100综合运用12345678910111213141516√|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，令an>0，则2n－5>0，∴n≥3.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋a3＋…＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.123456789101112131415161234567891011121314151612.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝11，

＝－8，则Sn取最大值时的n为A.6 B.7 C.8 D.9√12345678910111213141516解析设数列{an}是公差为d的等差数列，则a1＝a2－d＝13，则Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，故当n＝7时，Sn取得最大值.12345678910111213141516解析因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，12345678910111213141516解析设S4＝k，S8＝3k，由等差数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12构成等差数列.所以S8－S4＝2k，S12－S8＝3k，S16－S12＝4k.拓广探究12345678