高中数学选择性必修二课件第五章 一元函数的导数及其应用章末复习课(1)(人教A版)

章末复习课第五章一元函数的导数及其应用一、导数的计算二、函数的单调性与导数三、与导数有关的综合性问题内容索引知识网络随堂演练知识网络一、导数的计算1.此部分内容涉及到导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档.2.通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养.√(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝x·ln(2x－1)，则f′(1)＝______.2解析因为f(x)＝x·ln(2x－1)，反思感悟导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合的关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可.反思感悟导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合的关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可.跟踪训练1

(1)已知函数f(x)＝lnx＋2x2－4x，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为A.x－y＋3＝0 B.x＋y－3＝0C.x－y－3＝0 D.x＋y＋3＝0所以f′(1)＝1，又f(1)＝－2，所以函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＋2＝1×(x－1)，即x－y－3＝0.√(2)已知曲线f(x)＝alnx＋x2在点(1,1)处的切线与直线x＋y＝0平行，则实数a的值为A.－3 B.1 C.2 D.3则曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝a＋2，由切线与直线x＋y＝0平行，可得k＝－1，即a＋2＝－1，解得a＝－3.√二、函数的单调性与导数1.利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档.2.通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.例2

已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；解当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，由于φ′(x)＝ex＋2>0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.例2

已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；解当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，由于φ′(x)＝ex＋2>0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；则h′(x)＝ex－x－1，令t(x)＝h′(x)，x≥0，则t′(x)＝ex－1≥0，故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；反思感悟利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的.√当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，所以x＝2为f(x)的极小值点.三、与导数有关的综合性问题1.以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间.导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具，多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档.从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.一般出现在高考题解答题中，难度中高档.2.通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想象及数学运算等核心素养.例3已知函数f(x)＝－ax2＋lnx(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)若存在x∈(1，＋∞)，使f(x)>－a，求a的取值范围.解由f(x)>－a，得a(x2－1)－lnx<0，因为x∈(1，＋∞)，所以－lnx<0，x2－1>0，当a≤0时，a(x2－1)－lnx<0，符合题意；所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(1)＝0，不符合题意；则存在x∈(1，＋∞)，使g(x)<0，反思感悟综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学中的思想方法，关键是分类讨论时，是否做到了不重不漏；数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时是否合理等问题.跟踪训练3

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；解因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元，所以蓄水池的总建造成本为(200πrh＋160πr2)元，又200πrh＋160πr2＝12000π，(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去).当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上单调递增；由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值也为最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.随堂演练1.曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为8，则实数a的值为A.－6 B.6 C.12 D.－12解析由y＝x4＋ax2＋1，得y′＝4x3＋2ax，则曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为－4－2a＝8，得a＝－6.1234√12342.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于A.2 B.3 C.4 D.5√解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，∴27－6a＋3＝0，∴a＝5.12343.函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为A.(－∞，－1)和(0,1)B.(－1,0)和(1，＋∞)C.(－1,1)D.(－∞，－1)和(1，＋∞)√解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得x<－1或0<x<1，故选A.12344.已知a>0，函数f(x)＝2x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值是________.6备用工具&资料12343.函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为A.(－∞，－1)和(0,1)B.(－1,0)和(1，＋∞)C.(－1,1)D.(－∞，－1)和(1，＋∞)√解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得x<－1或0<x<1，故选A.1.曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为8，则实数a的值为A.－6 B.6 C.12 D.－12解析由y＝x4＋ax2＋1，得y′＝4x3＋2ax，则曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处的切线斜率为－4－2a＝8，得a＝－6.1234√知识网络1.此部分内容涉及到导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导，作为数形结合的桥梁，导数的几