高中数学选择性必修2课件：5 1 2 第一课时 导数的概念(人教A版)

第五章 5.1.2导数的概念及其几何意义

第一课时导数的概念1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.课标要求素养要求根据具体的实例得到导数的概念，求函数的导数，培养学生的数学抽象与数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.平均变化率对于函数y＝f(x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝____________.(2)函数值的改变量：Δy＝______________.x2－x1f(x2)－f(x1)2.导数的概念1.思考辨析，判断正误×(1)函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度.(

)提示

导数反映的是函数在某一点处的变化的快慢程度，非在某区间上的.(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.(

)√√2.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(

) A.2.1 B.1.1 C.2 D.0ACC4.设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________.2课堂互动题型剖析2题型一求函数的平均变化率【例1】

已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10. (1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；

④0.01.解∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.思维升华思维升华【训练1】

函数y＝x2从x0到x0＋Δx(Δx>0)的平均变化率为k1，从x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是(

) A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1＝k2 D.k1与k2的大小关系不确定解析∵函数y＝f(x)＝x2从x0到x0＋Δx的改变量为Δy1＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2－

＝Δx(2x0＋Δx)，∵函数y＝f(x)＝x2从x0－Δx到x0的改变量为Δy2＝f(x0)－f(x0－Δx)＝

－(x0－Δx)2＝Δx(2x0－Δx)，∵k1－k2＝2Δx，而Δx>0，∴k1>k2.A题型二导数定义的直接应用思维升华【例3】

已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：题型三导数概念的应用思维升华CB课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(

)BA.1

B.－1 C.2

D.－22.设函数f(x)在点x0处附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(

) A.f′(x)＝a B.f′(x)＝b C.f′(x0)＝a D.f′(x0)＝bCDCC二、填空题(Δx)2＋6Δx＋127.已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________.9得x0＝－2，所以f(x0)＝2×(－2)2＋1＝9.-1三、解答题9.一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义.f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3m3/s.(2)∵Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，AD解析

由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD.12.过曲线y＝x2＋1上两点P(1，2)和Q(1＋Δx，2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________，当Δx＝0.001时，割线的斜率k＝________.2.12.001解析

∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴割线斜率为2＋Δx.当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.当Δx＝0.001时，割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.13.巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？解

山路从A到B高度的平均变化率为山路从B到C高度的平均变化率为∵hBC>hAB，∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多.2备用工具&资料13.巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？解

山路从A到B高度的平均变化率为山路从B到C高度的平均变化率为∵hBC>hAB，∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多.AD解析

由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD.题型二导数定义的直接应用题型一求函数的平均变化率【例1】

已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10. (1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；

④0.01.解∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，课前预习课堂互动分层训练内容索引1.