高中数学选择性必修2课件：5 2 3 简单复合函数的导数(人教A版)

5.2.3简单复合函数的导数课标要求素养要求能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.在根据复合函数的求导法则求复合函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.新知探究假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且y＝f(u)＝60u－u2，u＝g(x)＝60－3x，那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y＝60u－u2＝60(60－3x)－(60－3x)2＝180x－9x2，上式也可这样得到f(g(x))＝60g(x)－[g(x)]2＝180x－9x2.问题1函数f(g(x))与f(x)和g(x)是什么关系？提示f(g(x))是f(x)与g(x)的复合函数.问题2求f(u)＝60u－u2的导数f′(u)，u＝g(x)＝60－3x的导数u′＝g′(x).提示

f′(u)＝60－2u＝60－2(60－3x)＝6x－60，u′＝g′(x)＝－3.问题3设y＝f(g(x))＝180x－9x2，求y′，并观察f′(u)和u′＝g′(x)的关系.提示

y′＝180－18x，易知y′＝f′(u)ux′.1.复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作___________.2.

一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.y＝f(g(x))yu′·ux′复合函数的求导法则

正确地拆分复合函数是求导的前提拓展深化[微判断]1.函数f(x)＝ln(－2x＋1)是由y＝lnu与u＝－2x＋1复合而成的.()√×

提示f(x)不是复合函数.3.设f(x)＝e－x，则f′(x)＝e－x.(

)

提示

f′(x)＝－e－x.×

[微训练]1.设f(x)＝ln(2x＋1)，则f′(x)＝(

)答案B答案B3.曲线f(x)＝e－2x＋3在(1，f(1))处的切线的斜率是________.

解析

f′(x)＝－2e－2x＋3，f′(1)＝－2e，即k＝－2e.

答案－2e[微思考]1.复合函数y＝f(g(x))，用中间变量y＝f(u)，u＝g(x)代换后求导的顺序是什么？

提示根据复合函数的求导法则yx′＝yu′·ux′，求导的顺序是从外向内逐层求导.[微思考]1.复合函数y＝f(g(x))，用中间变量y＝f(u)，u＝g(x)代换后求导的顺序是什么？

提示根据复合函数的求导法则yx′＝yu′·ux′，求导的顺序是从外向内逐层求导.题型一求复合函数的导数【例1】求下列函数的导数.(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，则yx′＝yu′ux′＝(log2u)′(2x＋1)′(3)设y＝eu，u＝3x＋2，则yx′＝y′uu′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2，即y′＝3e3x＋2.规律方法(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.解

(1)设y＝u4，u＝2x－1，则yx′＝yu′ux′＝(u4)′(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)设y＝10u，u＝2x＋3，则yx′＝yu′ux′＝(10u)′(2x＋3)′＝10uln10·2＝2·102x＋3·ln10＝102x＋3·ln100.(3)yx′＝(e－x)′sin2x＋e－x·(sin2x)′＝－e－xsin2x＋2e－xcos2x.规律方法解此类问题的关键有两个：(1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏.(2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点.【训练2】已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.

解析设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.

又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.

所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.

因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.

则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，

所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.

答案

2x－y＝0规律方法将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.【训练3】已知某质点的位移s与位移时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________.

解析

s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.

答案

2一、素养落地1.通过学习复合函数的求导法则及其简单应用，提升数学运算素养.2.求复合函数的导数应处理好以下环节： (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析函数的复合层次； (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数.二、素养训练1.设f(x)＝sin2x，则f′(x)＝(

) A.cos2x B.2cos2x C.－cos2x D.－2cos2x

解析

f′(x)＝(sin2x)′(2x′)＝2cos2x.

答案

B2.设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)＝(

)答案B解析

y＝(3x－1)－2，设y＝u－2，u＝3x－1，yx′＝yu′ux′＝(u－2)′·(3x－1)′4.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.答案2备用工具&资料4.设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.答案22.设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)＝(

)答案B(3)设y＝eu，u＝3x＋2，则yx′＝y′uu′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2，即y′＝3e3x＋2.问题1函数f(g(x))与f(x)和g(x)是什么关系？提示f(g(x))是f(x)与g(x)的复合函数.问题2求f(u)＝60u－u2的导数f′(u)，u＝g(x)＝60－3x的导数u′＝g′(x).提示

f′