数学函数图象

数学函数图象数学函数图象一、函数图象的基本概念1.函数图象是函数的一种直观表示方法，它反映了函数在定义域内的取值情况。2.函数图象由横轴（自变量轴）和纵轴（因变量轴）组成。3.函数图象上的点表示函数的输入和输出值，即自变量和因变量的对应关系。二、一次函数图象1.一次函数的一般形式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数）。2.一次函数的图象是一条直线。3.直线的斜率k表示直线的倾斜程度，斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜。4.直线在y轴上的截距b表示直线与y轴的交点。三、二次函数图象1.二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）。2.二次函数的图象是一个抛物线。3.抛物线的开口方向由二次项系数a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。4.抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a。5.抛物线与y轴的交点为(0,c)。四、反比例函数图象1.反比例函数的一般形式为y=k/x（k为常数，k≠0）。2.反比例函数的图象是一条双曲线。3.双曲线的两支分别位于第一、第三象限，且关于原点对称。4.双曲线的渐近线为y=x和y=-x。五、正比例函数图象1.正比例函数的一般形式为y=kx（k为常数，k≠0）。2.正比例函数的图象是一条通过原点的直线。3.直线的斜率k表示直线的倾斜程度，斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜。六、函数图象的变换1.函数图象的平移：上下移动称为纵移，左右移动称为横移。2.函数图象的拉伸与压缩：沿x轴或y轴方向拉伸或压缩。3.函数图象的旋转：绕原点或对称轴旋转。七、函数图象的应用1.函数图象可以用来分析函数的增减性：如单调递增、单调递减等。2.函数图象可以用来分析函数的极值：如最大值、最小值等。3.函数图象可以用来分析函数的零点：即函数与x轴的交点。4.函数图象可以用来解决实际问题，如线性方程的解、最小成本问题等。八、函数图象的综合分析1.分析函数图象的形状：如直线、曲线、抛物线等。2.分析函数图象的位置：如与坐标轴的交点、图象的区间等。3.分析函数图象的性质：如单调性、奇偶性、周期性等。九、函数图象的判断与绘制1.判断函数的类型：一次函数、二次函数、反比例函数等。2.绘制函数图象的步骤：确定坐标轴范围、绘制关键点、连接关键点、分析图象特征等。十、中考热点问题1.函数图象的识别与分析。2.函数图象的变换与作图。3.函数图象的应用与实际问题解决。4.函数图象的判断与绘制技巧。习题及方法：1.习题一：一次函数图象已知一次函数的图象经过点(2,3)和(4,7)，求该一次函数的表达式。答案：设一次函数的表达式为y=kx+b，将点(2,3)和(4,7)代入得到两个方程：3=2k+b7=4k+b解得：k=1，b=1所以一次函数的表达式为y=x+1。2.习题二：二次函数图象已知二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(-3,5)，对称轴为x=2，求该二次函数的表达式。答案：设二次函数的表达式为y=a(x-h)^2+k，代入顶点坐标(-3,5)和对称轴x=2得到：5=a(-3-2)^2+5解得：a=1/5所以二次函数的表达式为y=(1/5)(x+3)^2-5。3.习题三：反比例函数图象已知反比例函数的图象经过点(2,3)和(6,1)，求该反比例函数的表达式。答案：设反比例函数的表达式为y=k/x，代入点(2,3)和(6,1)得到两个方程：解得：k=6所以反比例函数的表达式为y=6/x。4.习题四：正比例函数图象已知正比例函数的图象经过点(2,4)和(4,8)，求该正比例函数的表达式。答案：设正比例函数的表达式为y=kx，代入点(2,4)和(4,8)得到两个方程：解得：k=2所以正比例函数的表达式为y=2x。5.习题五：函数图象的平移已知函数y=x^2的图象，求该图象向右平移2个单位，向上平移3个单位后的函数表达式。答案：原函数y=x^2的图象向右平移2个单位，得到新的函数表达式为y=(x-2)^2。再向上平移3个单位，得到最终的函数表达式为y=(x-2)^2+3。6.习题六：函数图象的拉伸与压缩已知函数y=x^2的图象，求该图象沿x轴方向拉伸2倍，沿y轴方向压缩3倍后的函数表达式。答案：原函数y=x^2的图象沿x轴方向拉伸2倍，得到新的函数表达式为y=2x^2。再沿y轴方向压缩3倍，得到最终的函数表达式为y=2x^2/3。7.习题七：函数图象的应用某商店举行打折活动，原价为y元，打折后的价格为原价的8折，求打折后的价格与原价的关系。答案：打折后的价格为原价的8折，即0.8倍。所以打折后的价格与原价的关系为y=0.8y。8.习题八：函数图象的判断与绘制已知函数y=2x+3的图象与x轴相交于点(1,0)和(-3,0)，求该函数图象与y轴的交点。答案：令x=0，代入函数y=2x+3得到y=3，所以函数图象与y轴的交点为(0,3)。以上是八道习题及其答案和解题思路。其他相关知识及习题：一、函数的定义与性质1.函数是一种数学关系，它将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的元素。2.函数的性质包括连续性、differentiability、单调性、周期性等。习题一：判断函数y=|x|在区间[-1,1]上是否连续。答案：函数y=|x|在区间[-1,1]上是连续的，因为它是分段定义的，每一段都是直线，且在分段点处连续。二、函数的图像1.函数的图像可以用来直观地观察函数的性质和行为。2.常见的函数图像包括直线、抛物线、双曲线、指数函数等。习题二：给出函数y=e^x的图像特点。答案：函数y=e^x的图像是一条递增的曲线，经过原点，且没有极限。三、函数的导数1.函数的导数表示函数在某一点的斜率，可以用来分析函数的增减性。2.导数的计算方法包括直接求导、链式法则、乘积法则等。习题三：求函数y=x^3的导数。答案：函数y=x^3的导数为y'=3x^2。四、函数的积分1.函数的积分表示函数图像与x轴之间的面积。2.积分的计算方法包括牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。习题四：计算函数y=x^2在区间[0,2]上的积分。答案：函数y=x^2在区间[0,2]上的积分为y=(1/3)x^3|_0^2=(1/3)*2^3-0=(8/3)。五、函数的极限1.函数的极限表示函数在某一点的行为。2.极限的计算方法包括直接计算、夹逼定理、无穷小比较等。习题五：求函数y=1/x在x趋向于0时的极限。答案：函数y=1/x在x趋向于0时不存在极限，因为它趋于无穷大或无穷小。六、函数的变换1.函数的变换包括平移、拉伸、压缩、旋转等。2.函数的变换可以通过改变函数的表达式来实现。习题六：将函数y=x^2的图像向右平移2个单位，向上平移3个单位。答案：函数y=x^2的图像向右平移2个单位后变为y=(x-2)^2，向上平移3个单位后变为y=(x-2)^2+3。七、函数的应用1.函数在实际生活中有广泛的应用，如线性规划、优化问题等。2.函数的应用可以通过建立数学模型来解决实际问题。习题七：一个工厂的生产成本由固定成本和变动成本组成，固定成本为5000元，变动成本为每生产一个单位产品需要额外支付100元，求该工厂的生产成本函数。答案：该工厂的生产成本函数为C(x)=5000+100x，其中x为生产的产品数量。八、函数的判断与绘制1.判断函数的类型可以通过分析函数的表达式和图像来确定。2.绘制函数的图像可以通过选择合适的点并将它们连接起来来实现。习题八：判断函数y=2x+3与y=3x-2的交点个数，并绘制出它们的图像。答案：函数y=2x+3