山东省青岛市2024届高三第三次适应性检测 数学试题【含答案】

2024青岛三模数学试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则的虚部为（

）A．i B． C．1 D．2．已知命题，则（

）A． B．C． D．3．为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（

）A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度4．某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩服从正态分布，已知，则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为（

）A．784 B．490 C．392 D．2945．定义表示不超过的最大整数.例如:，则（

）A． B．C．是偶函数 D．是增函数6．在母线长为4，底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为（

）A． B． C． D．7．已知函数，则满足不等式的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分别为，焦距为，以为直径的圆与椭圆在第一和第三象限分别交于两点.且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．某新能源车厂家2015-2023年新能源电车的产量和销量数据如下表所示年份201520162017201820192020202120222023产量（万台)3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量（万台)2.35.713.614.915.015.627.129.731.6记“产销率”年新能源电车产量的中位数为，则（

）A．B．2015-2023年该厂新能源电车的产销率与年份正相关C．从2015-2023年中随机取1年，新能源电车产销率大于的概率为D．从2015-2023年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于的条件下，这2年中新能源电车的产销率都大于的概率为10．已知动点分别在圆和上，动点在轴上，则（

）A．圆的半径为3B．圆和圆相离C．的最小值为D．过点做圆的切线，则切线长最短为11．若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（

）A．存在具有性质的B．存在具有性质的C．若具有性质，则中至少有两项相同D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知等差数列的公差，首项，是与的等比中项，记为数列的前项和，则13．如图，函数的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则函数的解析式为.14．已知长方体中，，点为矩形内一动点，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值为.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．设三角形的内角、、的对边分别为、、且．(1)求角的大小；(2)若，边上的高为，求三角形的周长．16．为了研究高三年级学生的性别和身高是否太于的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表（单位:人):性別身高合计低于不低于女14519男81018合计221537(1)依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联?(2)从身高不低于的15名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布列及期望.(3)若低于的8名男生身高数据的平均数为，方差为，不低于的10名男生身高数据的平均数为，方差为.请估计该中学男生身高数据的平均数和方差.附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817．如图所示，多面体，底面是正方形，点为底面的中心，点为的中点，侧面与是全等的等腰梯形，，其余棱长均为2.(1)证明:平面；(2)若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求.18．在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.(1)求的方程;(2)若是四边形的等线，求四边形的面积;(3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线19．已知为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，且两切线间的距离为，其中.(1)求实数的值;(2)若点分别在曲线上，求与之和的最大值;(3)若点在曲线上，点在曲线上，四边形为正方形，其面积为，证明:附:ln2≈0.693.1．D【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据共轭复数及复数虚部的定义即可得解.【详解】由，得，所以，所以，其虚部为.故选：D.2．D【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题为全称量词命题，则为：.故选：D3．A【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论．【详解】，由诱导公式可知：又则，即只需把图象向右平移个单位.故选：A4．C【分析】根据正态分布的性质求出，即可估计人数.【详解】因为，且，所以，所以，又因为高一有学生980人，所以该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为．故选：C．5．B【分析】A选项，取特殊值，判断出A选项的真假；B选项，设表示不超过的最大整数，可得与的关系，可得，判断出B选项的真假；C选项，取特殊值，利用偶函数定义验证，判断出C的真假；D中，取特殊值，判断出函数不是增函数，判断出D的真假.【详解】A选项，取，则，，显然，所以A不正确；B选项，设表示不超过的最大整数，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以，故B正确；C选项，，因为，所以，所以不是偶函数，故C错误；D选项，所以，所以不是增函数，故D错误.故选：B.6．C【分析】该几何体的表面包括原圆柱侧面，原圆柱一个底面及圆锥侧面，分别计算出各面面积即可得.【详解】体积最大的圆锥的母线为，则.故选：C.7．B【分析】首先推导出关于直线成轴对称，令，，对，求导，可得的单调性，结合单调性与对称性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可．【详解】函数的定义域为，且，所以，所以关于直线成轴对称，因为，当且仅当，时取等号，令，，则，，当时，，，单调递增，单调递增，所以，，所以，所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减，又当时，，所以，当或时，，所以，且，所以要使得成立，则，解得，故不等式的取值范围为．故选：B．8．D【分析】求得为直径的圆的方程为，与椭圆方程联立方程组可得，根据已知可是，求解即可得椭圆的离心率.【详解】以为直径的圆的方程为，联立，解得，所以，又，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去）.所以.故椭圆的离心率为.故选：D.9．ACD【分析】由中位数定义可判断A；求得每年的产销率，可判断B；由B可得产销率大于的有2个年份，可得概率判断C；利用条件概率公式求解可判断D.【详解】对于A：由中位数的定义可知，，故A正确；对于B：2015-2023年该厂新能源电车的产销率依次为：所以2015-2023年该厂新能源电车的产销率随年份的增加，有时增加，有时减少，故B错误；对于C：由B可知，从2015-2023年该厂新能源电车的产销率大于的有2个年份，所以从2015–2023年中随机取1年，新能源电车产销率大于的概率为，对于D：设事件A表示“从2015-2023年中随机取2年，这2年中新能源电车的年产量都大于m”，事件B表示“从2015-2023年中随机取2年，这2年中新能源电车的产销率大于”，所以所以故D正确.故选：ACD.10．BD【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，对于A，圆的半径为，A错误；对于B，，圆和圆相离，B正确；对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接，由圆的性质得，，当且仅当点与重合，且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误；对于D，设点，过点的圆的切线长，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BD

11．ACD【分析】对A、D：举出符合题意的例子即可得；对B：根据所给定义，借助反证法设，，，中有个，个，从而有，推出矛盾；对C：，，，，中的最大值为，则存在，使得或，若存在，使，先证：，，，可以取遍到之间所有的整数，再对分类讨论，即可得证；【详解】对A：取数列，易得其满足题意，此时该数列具有性质，故A正确；对B：假设存在数列具有性质，则，且，设中有个，则有个，则有，即，其与为整数矛盾，故假设错误，故B错误；对C：设，，，，中的最大值为，则存在，使得或，若存在，使，下证：，，，可以取遍到之间所有的整数，假设存在正整数使得，，，中各项均不为，令集合，设是集合中元素的最大值，则有，这与矛盾，所以，，，可以取遍到之间所有的整数，若，则，，，，的取值只能为，中的数，此时，，，，中必有两项相同，若，则，，，，的取值只能为，，中的数，此时，，，，中必有两项相同，若，则，，，，中一定有异于和的正整数，再由，，，可以取遍到之间所有的整数，所以，，，，中必有两项相同，当，同理可证：，，，可以取遍到之间所有的整数，从而，，，，中必有两项相同，故C正确；对D：取数列，此时该数列具有性质，且中任意两项均不相同，即存在，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键是对“性质”的定义的理解，灵活利用反证法是解答的关键.12．105【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可求出公差，再根据等差数列求和公式计算可得.【详解】等差数列中，，是与的等比中项，设公差为，所以，即，解得或（不合题意，舍去）；所以．故答案为：．13．【分析】结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得，再由函数零点可得，即可得解析式.【详解】由图可得，又，则，，，则，，则，化简得，又，则，则有，解得，又，则，即.故答案为：.14．【分析】根据题意，判断得的轨迹为抛物线一部分，建立平面直角坐标系，写出直线和抛物线段的方程，由题意，计算点到线段的最短距离，再由等体积法计算三棱锥最小体积.【详解】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为，连接，则，，由，则，又、平面，故，，则，由抛物线定义可知，的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分，所以的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分，当点到线段距离最短时，三角形面积最小，即三棱锥体积最小，取中点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，，，则直线的方程为：，即，抛物线的方程为，则，由题意，令，得，代入，得，所以点的坐标为，所以到直线的最短距离为：，因为，所以，所以三棱锥体积的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是能判断出点的轨迹为抛物线一部分，再建立平面直角坐标系，求解到直线的最短距离，利用等体积法求解三棱锥的最小体积.15．(1)(2)【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得；（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.【详解】（1）因为，，为的内角，所以，因为，所以可化为：，即，即，因为，解得：，即．（2）由三角形面积公式得，代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以的周长为.16．(1)可以认为性别与身高有关联(2)分布列见解析，1(3)平均数约为174，方差约为59【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解；根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与身高有关联（2）根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，即可求解；（3）根据题意，求得18名男生身高数据的平均数和方差，结合分层抽样的方差的计算公式，即可求解.【详解】（1）解：零假设：性别与身高无关联根据列联表中的数据，经计算得，由此可知根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，可以认为性别与身高有关联（2）解：由题意，可得随机变量的可能取值为，可得所以随机变量的分布列为:0123所以，期望为，（3）解：由题意知，18名男生身高数据的平均数，18名男生身高数据的方差，所以，该中学男生身高数据的平均数约为174，方差约为59.17．(1)证明见解析(2)1【分析】（1）取中点，通过证明平面，平面平面，得证平面.（2)以为原点，建立空间直角坐标系，设，由直线与平面所成角的正弦值为，利用向量法求出的值即可.【详解】（1）取中点，连接，则为的中点，因为侧面是等腰梯形，所以，又，所以，和都是边长为2的等边三角形，得，所以四边形为等腰梯形，因为点为的中点，为的中点，所以.因为是等边三角形，所以，又，平面，，所以平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，，故平面.（2）在梯形中，，等腰梯形中由勾股定理得，取中点，由（1）知，两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，得设，，设直线与平面所成角为，所以.解得（负值舍去)，所以点为棱的中点，所以的长为1.18．(1)(2)12(3)证明见解析【分析】（1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可.（2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可.（3）利用给定条件和新定义证明即可.【详解】（1）由题意知，显然点在直线的上方，因为直线为的等线，所以，解得，所以的方程为（2）设，切线，代入得:故，该式可以看作关于的一元二次方程，所以，即方程为当的斜率不存在时，也成立渐近线方程为，不妨设在上方，联立得，故，所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等，则过点的等线必定满足:到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，由，解得，故.所以，所以，所以，所以（3）设，由，所以，故曲线的方程为由（*）知切线为，也为，即，即易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为，由（2）知，所以由得因为，所以直线为的等线.【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，得到，证明即可．19．(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）（法一）由（1）知：，记直线的倾斜角分别为，斜率分别为，则，则,利用导数可求得的最大值，同理求得的最值；（法二）由（1）知：，点在圆，再证直线与圆和曲线均相切，结合直线与圆