高中数学选择性必修一课件：2 2 2 直线的两点式方程(人教A版)

2.2.2直线的两点式方程课标要求素养要求1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.通过学习直线的两点式及截距式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养.新知探究斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？问题能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？提示根据直线上的两点坐标我们可以求出直线的斜率，进而利用上节课中的点斜式方程写出直线方程.1.直线的两点式方程(y2－y1)(x－x1)＝(x2－x1)(y－y1)可表示过任意两点的直线方程x＝x1y＝y12.直线的截距式方程涉及到两坐标轴上的截距是倍数关系(包括相等关系，互为相反数关系)时，不要漏掉截距为0的情况ab拓展深化[微判断]1.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.()3.过点(1，3)和(1，5)的直线也可以用两点式方程来表示.()

提示因为1－1＝0不能作分母，故不能用两点式来表示.√××[微训练]1.过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是(

)答案B2.在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为(

)答案A2.在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为(

)答案A解析由方程知直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－5，故4＋(－5)＝－1.答案－1[微思考]1.截距式方程能否表示过原点的直线？

提示不能，因为ab≠0，即有两个非零截距.2.所有的直线都可以用两点式方程来表示吗？

提示与x轴平行或与y轴平行的直线无法用两点式方程来表示.题型一直线的两点式方程【例1】已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程.直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1.直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1.规律方法利用两点式求直线方程当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.【训练1】已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程.解∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同，∴直线AB与x轴垂直，故AB边所在直线的方程为x＝2.由A(2，－1)，C(4，1)，即x－y－3＝0.故AC边所在直线的方程为x－y－3＝0.故BC边所在直线的方程为x＋2y－6＝0.【训练1】已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程.解∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同，∴直线AB与x轴垂直，故AB边所在直线的方程为x＝2.由A(2，－1)，C(4，1)，即x－y－3＝0.故AC边所在直线的方程为x－y－3＝0.故BC边所在直线的方程为x＋2y－6＝0.题型二直线的截距式方程【例2】求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.即x－y＋1＝0.综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.【迁移1】若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，所以直线l的方程为4x－3y＝0.综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.【迁移2】若将例2中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，又l过(3，4)，∴4＝k·3，综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.规律方法零截距的重要性：如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况.【训练2】过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(

) A.2条 B.3条

C.4条 D.无数多条∴满足条件的直线共有3条.故选B.答案B题型三直线方程的综合应用【例3】已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.整理得5x＋3y－6＝0.这就是BC边所在直线的方程.这就是BC边上中线所在直线的方程.规律方法直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距.(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程.(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决.【训练3】已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0).求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程.解(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线.一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象及逻辑推理素养.2.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件：点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线. (2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零.在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零. (3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.二、素养训练1.过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为(

)A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1C.y＝x＋2 D.y＝－x－2答案A2.经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(

)答案C3.过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有(

) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案B4.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________.即x＋y＝a.∴a＝3＋(－4)＝－1，∴直线方程为x＋y＋1＝0.综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.答案4x＋3y＝0或x＋y＋1＝05.直线l经过点A(－3，4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求该直线的方程.∴直线方程为x＋2y＝5，即x＋2y－5＝0.综上可得直线方程为：4x＋3y＝0或x＋2y－5＝0.备用工具&资料4.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________.即x＋y＝a.∴a＝3＋(－4)＝－1，∴直线方程为x＋y＋1＝0.综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.答案4x＋3y＝0或x＋y＋1＝02.经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(

)答案C2.直线的截距式方程涉及到两坐标轴上的截距是倍数关系(包括相等关系，互为相反数关系)时，不要漏掉截距为0的情况ab[微训练]1.过点A(5，