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第六章立体几何与空间向量规范解答系列（三）立体几何问题(12分)(2023·新高考全国Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)证明：B2C2∥A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P的长．思维拆解

第一步：建系，写坐标．第二步：利用坐标法证明B2C2∥A2D2．第三步：证明B2C2∥A2D2.第四步：求平面PA2C2、平面A2C2D2的法向量．第五步：由夹角的余弦值公式求参数λ.第六步：求B2P的长．

规范解答

(1)证明：以C为原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则C(0，0，0)，C2(0，0，3)，B2(0，2，2)，D2(2，0，2)，A2(2，2，1)，1分所以B2C2＝(0，－2，1)，A2D2＝(0，－2，1)，所以B2C2∥A2D2．3分因为B2C2，A2D2不在同一条直线上，所以B2C2∥A2D2.(2)解：设P(0，2，λ)(0≤λ≤4)，则A2C2＝(－2，－2，2)，PC2＝(0，－2，3－λ)，D2C2＝(－2，0，1)．5分设平面PA2C2的法向量为n＝(x，y，z)，取z＝2，则y＝3－λ，x＝λ－1，所以n＝(λ－1，3－λ，2)是平面PA2C2的一个法向量．7分设平面A2C2D2的法向量为m＝(a，b，c)，

阅卷细则(1)根据题图建系，正确写出点C，A2，B2，C2，D2的坐标，得1分．(2)正确求出B2C2，A2D2的坐标，并说明它们平行，得2分．(3)证明B2C2∥A2D2，得1分．(4)设出点P的坐标，写出A2C2，PC2，D2C2的坐标，得1分．(5)正确求出平面PA2C2的法向量，得2分．(6)正确求出平面A2C2D

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