函数的最大(小)值高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.3函数的最大(小)值(2)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.利用导数解决函数问题．2.通过对生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用．3.通过对实际问题的研究，培养分析问题、解决问题及数学建模的能力．活动方案例1给定函数f(x)＝(x＋1)ex.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数．活动一利用导数研究函数问题

【解析】

(1)函数的定义域为R.f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2.f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质．通常可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：(1)求出函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f(x)的大致图象．【解析】

(1)由题意，得f(x)的定义域为R，f′(x)＝a·ex－x－1，若函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝a·ex－x－1＝0有两个变号零点，当h(x)＝0时，x＝－1，当x→－∞时，h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)→0且为正数，则h(x)的图象如图所示，所以0<a<1.故实数a的取值范围是(0,1)．例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？活动二导数在实际生活中的应用

(1)当半径为6cm时，利润最大．(2)当半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．实际问题一定要注意自变量的取值范围，利用导数解决利润等实际意义量的最值问题．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)；出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)；R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)．(1)设C(x)＝10－6x3－0.003x2＋5x＋1000，生产多少单位产品时，边际成本C′(x)最低？(2)设C(x)＝50x＋10000，产品的单价p(x)＝100－0.01x，怎样定价可使利润最大？【解析】

(1)由题意，得C′(x)＝3×10－6x2－0.006x＋5.记g(x)＝C′(x)，由g′(x)＝6×10－6x－0.006＝0，解得x＝1000.当x∈(－∞，1000)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x∈(1000，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，所以当x＝1000时，g(x)取得最小值，即当x＝1000时，边际成本C′(x)最低．(2)由题意，得R(x)＝x(100－0.01x)，则P(x)＝100x－0.01x2－(50x＋10000)＝－0.01x2＋50x－10000.由P′(x)＝－0.02x＋50＝0，解得x＝2500，所以当x＝2500时，利润最大，此时p＝100－0.01×2500＝75(元)，故当产品单价为75元时，利润最大．检测反馈13524C12345A1234531245B