【学案与检测】集合的概念-高中数学考点精讲精练

1/11.1集合的概念思维导图新课标要求1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系。2.针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。知识梳理一、元素与集合的概念1.元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a,b,c…表示.2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合，常用大写拉丁字母A，B，C…表示.3.集合相等：指构成两个集合的元素是一样的.4.集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的，无序的.二、元素与集合的关系1.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作.2.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作.三、常见的数集及符号表示名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR四、集合的表示法1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法.2.描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.名师导学知识点1集合的概念判断一组对象是否能构成集合的三个依据(1)确定性：负责判断这组元素是否能构成集合．(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．【例1】（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（

）A．与非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师【答案】B【解析】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.故选：B.【变式训练1-1】（2021·广东·广州外国语学校高一阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．与定点A，B等距离的点不能构成集合B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形D．高中学生中的游泳能手能构成集合【答案】C【解析】解：对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误；对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误；对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确；对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；故选：C【变式训练1-2】（2021·福建·厦门市国祺中学高一期中）下列能构成集合的是（

）A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生 D．数学必修第一册课本中所有的难题【答案】C【解析】构成集合的元素具有确定性，选项ABD中没有明确标准，不符合集合定义，选项C正确.故选：C.【变式训练1-3】（多选）（2021·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习）给出下列说法，其中正确的有（）A．中国的所有直辖市可以构成一个集合；B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；C．正偶数的全体可以构成一个集合；D．大于2011且小于2016的所有整数不能构成集合．【答案】AC【解析】中国的所有直辖市可以构成一个集合，A正确；高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；正偶数的全体可以构成一个集合，C正确；大于2011且小于2016的所有整数能构成集合，D错误.故选：AC.知识点2元素与集合的关系判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．【例2-1】（2021·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.所以正确的个数为2.故选：B.【例2-2】（2021·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习）下列元素与集合的关系判断正确的是（）A．0∈N B．π∈Q C．∈Q D．－1∉Z【答案】A【解析】0是自然数，是无理数，不是有理数，是整数，根据元素和集合的关系可知，只有A正确；故选：A【变式训练2-1】（2022·北京大兴·高一期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由集合，即集合是所有的偶数构成的集合.所以，，，故选：D【变式训练2-2】（2022·全国·高一课时练习）用“”或“”填空．___________N；___________Z；___________Q；___________R．【答案】

∉

∈

∉

∈知识点3集合的表示法（重点）1.用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)用花括号括起来．注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}．2.利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．【例3-1】（2021·全国·高一课前预习）用列举法表示下列集合：（1）不大于10的非负偶数组成的集合；（2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；（4）由所有正整数构成的集合．【解】（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．（4）正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．【例3-2】（2021·全国·高一课时练习）用描述法表示下列集合．（1）小于5的正有理数组成的集合：______；（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：______；（3）偶数集：______；（4）抛物线上的所有点组成的集合：______．【答案】

【解析】（1）由描述可得：集合为.（2）第一、三象限角平分线上的所有点都在上，故集合为.（3）由偶数可表示为，故集合为.（4）由描述知：集合为.故答案为：，，，.【变式训练3-1】（2021·贵州·六盘水红桥学校高一期中）集合用列举法表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】且，所有可能的取值为，.故选：A.【变式训练3-2】（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）表示方程的根的集合，用列举法可以表示为______，用描述法可表示为______.【答案】

（答案不唯一）【解析】由，得，解得，或，所以方程根的集合用列举法可以表示为，用描述法可表示为（答案不唯一）故答案为：，（答案不唯一）【变式训练3-3】（2021·江苏·高一课时练习）若用描述法表示所有负偶数构成的集合M，则__________________.【答案】【解析】所有负偶数构成的集合M则.故答案为：.【变式训练3-4】（2021·全国·高一课时练习）用列举法表示下列集合：（1）；（2）{(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．【解】(1)因为，所以是6的因数，则，即x＝1，3，4，0，－1，5，－4，8.所以原集合可用列举法表示为{－4，－1，0，1，3，4，5，8}；(2)因为x∈N且1≤x<5，所以x＝1，2，3，4，其对应的y的值分别为3，6，9，12.所以原集合可用列举法表示为{(1，3)，(2，6)，(3，9)，(4，12)}．【变式训练3-5】（2021·全国·高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合：(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；(2)所有正奇数组成的集合B；(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．【解析】(1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；(2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：；(3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；(4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：．知识点4集合性质的应用（难点、易错点）利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．【例4-1】（2021·山东聊城一中高一期中）若，则的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【答案】C【解析】，则，符合题设；时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；时，则，符合题设；∴或均可以.故选：C【例4-2】（2021·江苏·高一课时练习）若，则中的元素应满足什么条件？【解】根据集合中元素的互异性可得：，解得且且，所以应满足且且.【变式训练4-1】（2021·福建福州·高一期中）若，则a的值为（

）A．或1或2 B．或1 C．或2 D．2【答案】D【解析】因为，所以或3或，当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意.故选：D【变式训练4-2】（2021·江苏扬州·高一期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________．【答案】【解析】因为集合，且所以或（1）当时，此时，符合题意.（2）当时，解得或当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；当时，符合题意.综上可知实数的值构成的集合为故答案为：【变式训练4-3】（2021·重庆·万州纯阳中学校高一阶段练习）已知集合，，且，求集合．【解】根据题意，当时，.若，则，根据互异性可知，不满足题意；若，则，此时，.而当时，集合中，根据互异性可知，不满足题意.综上，.名师导练A组-[应知应会]1．（2021·湖南·怀化五中高一期中）下面给出的四类对象中，构成集合的是（

）A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数【答案】D【解析】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于C，的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，故不能构成集合；对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；故选：D.2．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列关系中正确的个数是（

）①，②，

③，

④A． B． C． D．【答案】B【解析】①错误②正确③错误④正确故选：B3．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）由，，可组成含个元素的集合，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由元素的互异性可得，解得且且.故选：C.4．（2021·辽宁·大连八中高一阶段练习）集合的元素个数为（

）A．4 B．5 C．10 D．12【答案】A【解析】由题意，集合中的元素满足是自然数，且是自然数，由此可得=0，1，3，9；此时的值分别为：4，3，2，1，符合条件的共有4个，故选：A．5．（2021·全国·高一课时练习）集合用列举法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴．又，∴．故选：A6．（多选）（2021·全国·高一课时练习）下列正确表示方程组的解集的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由，解得，所以该方程组的解集为或.故选BD．7．（2021·全国·高一课时练习）以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）.①中国古代四大发明

②地球上的小河流③方程的实数解

④周长为10cm的三角形⑤接近于0的数【答案】②⑤【解析】①中国古代四大发明是造纸术，指南针，火药和印刷术，是确定的，能构成集合；②地球上的小河流，不确定，不能构成集合；③方程的实数解是1或-1，是确定的，能构成集合；④周长为10cm的三角形，是确定的，能构成集合；⑤接近于0的数，不确定，不能构成集合.故答案为：②⑤8．（2022·湖南·高一课时练习）用符号“”和“”填空：（1）______N；

（2）1______；

（3）______R；（4）______；

（5）______N；

（6）0______．【答案】

【解析】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断（1）（2）（3）（4）（5）（6）.故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.9．（2022·广东揭阳·高一期末）若，则实数____________.【答案】【解析】因为，所以，解得.故答案为：.10．（2021·全国·高一课时练习）集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______.【答案】

【解析】由，，，知x可取的值为0，，，当时，，当时，，当时，，所以集合；由题知集合B表示点集，所以.故答案为：，.11．（2021·全国·高一课时练习）已知集合中的元素满足：，且，．若集合中恰有三个元素，则______，集合中的元素是______．【答案】

6

3，4，5【解析】因为，，，且集合P中恰有三个元素，所以，此时集合P中的元素是3，4，5．故答案为：6；3,4,512．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．(1)北京各区县的名称；(2)尾数是5的自然数；(3)我们班身高大于1.7m的同学．【解】(1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集；(2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集；(3)因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.13．（2021·江苏·高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：（1）方程的根的集合；（2）不等式的解集【解】（1）由可得或所以方程的根的集合为（2）由可得所以不等式的解集为B组-[素养提升]1．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知集合，则M中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因为且，所以，即集合中只有一个元素．故选：A．2．（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）已知集合，若，则实数的值为（

）．A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】，且，或⑴、当即或，①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；②、当时，，，此时，符合题意；⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；综上所述：实数的值为1.故选：B3．（多选）（2021·江苏常州·高一期中）已知集合，则下列说法中正确的是（

）A．但B．若，其中，则C．若，其中，则D．若，其中，则【答案】BC【解析】，故，，所以，A错误；，其中，，故，B正确；，其中，，故，C正确；因为，若，此时无意义，故，D错误.故选：BC4．（多选）（2021·福建·泉州科技中学高一阶段练习）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】