高中数学选择性必修一课件：第二课时 空间中直线、平面的平行(人教A版)

第二课时空间中直线、平面的平行课标要求素养要求1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系，判定直线、平面的平行关系，培养学生的数学运算、直观想象素养和逻辑推理素养.新知探究观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行.问题旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？提示平行.1.两直线平行的判定方法判定方法的前提条件是l1与l2不重合设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔____________⇔∃λ∈R，使得_______________.2.直线和平面平行的判定方法

设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔___________⇔___________.u1∥u2u1＝λu2u⊥nu·n＝03.平面和平面平行的判定方法平面α与β不重合设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔____________⇔∃λ∈R，使得_______________.n1∥n2n1＝λn2拓展深化[微判断]1.两直线的方向向量平行，则两直线平行.()

提示两直线的方向向量平行，这两直线可能重合，故错误.2.若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.()3.若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行.(

)×√√[微训练]1.若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4),则(

) A.l1∥l2 B.l1与l2相交 C.l1与l2重合 D.l1∥l2或l1与l2重合解析∵b＝－2a，∴l1与l2平行或重合.答案

D2.若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则(

) A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确解析∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.答案

A3.(多填题)已知直线l1的一个方向向量为(－7，3，4)，直线l2的一个方向向量为(x，y，8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.答案－14

63.(多填题)已知直线l1的一个方向向量为(－7，3，4)，直线l2的一个方向向量为(x，y，8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.答案－14

64.已知直线l的一个方向向量为u＝(2，0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2，1，－4)，则l与α的位置关系为________.解析∵u·v＝(2，0，－1)·(－2，1，－4)＝－4＋0＋4＝0，∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α.答案

l∥α或l⊂α提示CD∥平面α或CD⊂α.题型一直线和直线平行【例1】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.法二如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得规律方法证明直线平行的两种思路规律方法证明直线平行的两种思路【训练1】长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.题型二直线和平面平行角度1证明直线和平面平行【例2－1】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)，解分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.规律方法利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示.方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.【训练2】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点.求证：CE∥平面C1E1F.证明以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图.题型三平面和平面平行【例3】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点.求证：平面AMN∥平面EFDB.证明如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a).设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，∴y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，则x1＝2，y1＝－2.∴平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1).同理可得平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1).∵m＝n，∴m∥n，∴平面AMN∥平面EFDB.规律方法证明面面平行问题可由以下方法去证明：①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法.【训练3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN.证明如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E(1，1，0)，F(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，1，2)，M(1，2，1)，N(0，1，1).设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG和平面HMN的法向量，于是有m＝n，所以m∥n，故平面EFG∥平面HMN.一、素养落地1.通过利用向量方法解决空间中直线、平面的平行问题，把几何问题转化为代数问题解决，提升学生的数学运算、逻辑推理素养和直观想象素养.2.用向量知识证明直线、平面平行问题的两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量.共分三步：(1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.二、素养训练1.已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量.若l1∥l2，则(

)答案D2.已知平面α的一个法向量是(2，3，－1)，平面β的一个法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(

)解析∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行.答案B3.已知直线l的一个方向向量为(2，m，m)，平面α的一个法向量为(1，1，2)，且l∥α，则m＝________.解析∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直，4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.∴四边形AEC1F是平行四边形.备用工具&资料4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.2.已知平面α的一个法向量是(2，3，－1)，平面β的一个法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(

)解析∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行.答案B拓展深化[微判断]1.两直线的方向向量平行，则两直线平行.()

提示两直线的方向向量平行，这两直线可能重合，故错误.2.若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.()3.若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行.(

)×√√2.若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则(

) A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确解析∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.答案

A3.平面和平面平行的判定方法平面α与β不重合设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔____________⇔∃λ∈R，使得_______________.n1∥n2n1＝λn2