极限原理课件

极限定理§5－1随机变量的两种收敛性一、几乎处处收敛（以概率1收敛）二、依概率收敛一、几乎处处收敛（以概率1收敛）二、依概率收敛§5－2大数定理车贝雪夫定理设X1,…,Xn独立,E(Xi)，i=1,…,n存在,且存在常数C,使得D(Xi)<C,i=1,…,n,则对任意正数ε有式中表示N个独立随机变量的平均值对其数学期望平均值的偏差,它是一个随机变量,车贝雪夫定理表明,当n→∞时,这种偏差的绝对值几乎肯定(依概率)小于任意正数ε。贝努里定理

设贝努里试验中事件A在每次试验中出现的概率p(0≤p≤1)，以nA表示在n次试验中A出现的次数,则对任意ε>0,有我们知道,是在n次试验中事件A出现的频率，因此这个定理说明,当试验次数无限增大时,事件A出现的频率依概率收敛于事件的概率,这就是频率稳定性的数学表达，也是用大量试验中事件的频率作为概率近似值的理论根据。或泊松定理设在一个试验序列中,事件A在第i次试验中出现的概率为pi,若在前n次试验中,A出现了nA次,则对任意ε>0,有辛钦定理设Xi(i=1,2,…)为独立同分布的随机变量序列,且具有相同的数学期望E(Xi)=μ,(i=1,2,…),则对任意ε>0,有强大数定律

定义

设{Xn}为随机序列,且各Xi的数学期望值E(Xi),i=1,…,n均存在,若几乎处处(或以概率1)收敛到,则称{Xn}服从强大数定理。包括

1.波雷尔定理

2.柯尔莫哥洛夫定理1.波雷尔定理设在贝努里试验中,事件A每次出现的概率为p(0≤p≤1),以nA表示在n次试验中A出现的次数,则事件A的频率几乎收敛到概率p,即波雷尔定理表明:

频率nA/n几乎对所有ω∈Ω都趋于概率p,换句话说,成立的概率为1,而发生这一事件的概率为0。(尽管不能说这是不可能事件,但至少是几乎不可能发生)。这就更进一步阐明了大量重复试验中,事件出现的频率稳定于其概率这一客观规律的确切含义。2.柯尔莫哥洛夫定理

(1)设X1,X2,…为相互独立的随机变量序列,若<∞,则{Xn}服从强大数定律,即(2)设X1,X2,…为相互独立同分布的随机变量序列,若E(Xi)

<∞,i=1,2…(即各Xi的数学期望存在),则{Xn}服从强大数定律。即有§5－2中心极限定理定义:设{Xn}为相互独立的随机变量序列,各Xi数学期望和方差均存在,记

ai=E(Xi),=D(Xi),i=1,2…,Yn=记Yn的标准化变量为若对所有的x∈R,一致地有(即当n→∞时,的分布函数趋于标准化正态分布),则称随机变量序列{Xn}服从中心极限定理。林德伯格——勒维定理设X1,X2,…Xn是独立同分布的随机变量，且E(Xi)=a,D(Xi)=,i=1,2…,n,若0<<+∞,则随机变量

当n→∞时,服从正态分布N(0,1),即对任意实数x,有上述定理表明,当n→∞时,这个标准化随机变量服从标准化正态分布。因此应服从N（a，）分布。德莫佛——拉普拉斯定理设随机变量Zn(n=1,2,…)服从参数为n,p(0≤p≤1)的二项分布,则随机变量

当n→∞时,服从正态分布N(0,1),即对任意x,有

由此可知,当n→∞时,二项分布变量渐近地服从正态分布N(np,)。林德伯格定理设独立随机变量序列{Xn}满足林德伯条件，即对任意ε>0,有其中Fi(x)为Xi的分布函数，i=1,2…，Bn的意义同前,则{Xn}服从中心极限定理。即对所有x∈R，一致地有李雅普诺夫定理设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,具有有限的数学期望和方差,E(Xi)=ai

,

D(Xi)=≠0,(i=1,2…，n),记若存在正数δ,使得则随机变量当n→∞时,服从正态分布N(0,1),

即对任意实数x,有本定理表明无论各个随机变量Xi具有怎样的分布,只要满足定理的条件,那么它们的和,当n很大时,就近似地服从正态分布。本章小结本章介绍了大数定律和中心极限值定理的概念