华东师大版初中八年级数学上册专项素养巩固训练卷(七)勾股定理中的数学思想练课件

专项素养巩固训练卷(七)勾股定理中的数学思想(练方法)1.(2024吉林长春期末,22,★★☆)如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的

边长均为1,请在给定网格中按下列要求画图并回答问题:(1)在网格中画△ABC,使△ABC的三个顶点都在格点上,AB、BC、AC的长分别

为

、

、

.(2)判断△ABC的形状,并说明理由.(3)求作点P,使BP=CP,且点P到BA、BC的距离相等.(保留作图痕迹)

类型一数形结合思想解析△ABC的位置不唯一.(1)如图,△ABC即为所求.

(2)结论:△ABC是直角三角形.理由:∵AB=

,BC=

,AC=

,∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,∴△ABC是直角三角形.(3)如图,点P即为所求.2.(2024河南驻马店八中期末,20,★★☆)我国古代数学家赵

爽在证明勾股定理时,创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”.如

图,大正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成,AB=c,

BE=a,AE=b(b>a).(1)请你利用这个图形推导勾股定理:a2+b2=c2.(2)若直角三角形ABE的面积为54,c=15,求小正方形EFGH的边长.

情境题数学文化类型二整体思想解析

(1)∵大正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组

成,AB=c,BE=a,AE=b(b>a),∴c2=4×

ab+(b-a)2,整理,得a2+b2=c2.(2)∵直角三角形ABE的面积为54,c=15,∴

ab=54,a2+b2=c2=152=225,∴ab=108,∴小正方形EFGH的面积=(b-a)2=a2+b2-2ab=225-2×108=9,∴小正方形EFGH的边

长为3.3.(2023河南驻马店上蔡期末,22,★★☆)阅读下列材

料,完成任务.我们知道,平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2可以用如图1所示的平面几何图形的面积

来表示,实际上,还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示.任务:(1)图2是由2个边长分别为a、b的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形,

根据图中的信息,可以写出所表示的代数恒等式为

.(2)如图3所示的图形是由四个直角边长分别为a、b,斜边长为c的全等的直角三

角形和一个小正方形拼成的大正方形,请你用面积法推导恒等式的方法,证明勾

股定理.(3)在Rt△ABC中,a、b为直角边长,c为斜边长,且a2-b2=28,a-b=2,求直角三角形的新考向过程性学习试题斜边长c.

解析

(1)(a+b)2=a2+2ab+b2.(2)∵(a+b)2=4×

ab+c2,∴a2+2ab+b2=2ab+c2,∴a2+b2=c2.(3)∵a2-b2=28,∴(a+b)(a-b)=28.∵a-b=2,∴a+b=14,∴a=8,b=6.∵a2+b2=c2,∴c2=100,∴c=10(负值舍去).4.(2024吉林长春期末,16,★★☆)如图,高速公路上有A、B两点相距25km,C、D

为两村庄.已知DA=10km,CB=15km,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,现要在AB上建一

个服务站E,使得C、D两村庄到E站的距离相等,求AE的长.

类型三方程思想解析设AE=xkm,则BE=(25-x)km,由勾股定理得,在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2=102+x2,在Rt△BCE中,CE2=BC2+BE2=152+(25-x)2,由题意可知DE=CE,所以102+x2=152+(25-x)2,解得x=15.所以AE的长为15km.5.(2024江苏扬州宝应期末,17,★★☆)如图,在长方形ABCD中,AB=18,BC=12,E、F分别在边AB、CD上.现将四边形BCFE沿EF折叠,点B、C的对应点分别

为点B'、C'.当点B'恰好与点D重合时,求CF的长.

对应目标编号M8114001

解析∵四边形ABCD是长方形,∴AB=CD=18,∠C=90°,由翻折的性质可知CF=C'F,BC=B'C'=12,∠C'=∠C=90°,∴DF=CD-CF=18-CF,在

Rt△B'C'F中,根据勾股定理得B'F2-C'F2=B'C'2,∴(18-CF)2-CF2=122,∴CF=5.6.(2024贵州贵阳期中,14,★★☆)如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池,该

U型池可以看成一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截

面是半径为4m的半圆,其边缘AB=CD=20m,点E在CD上,CE=2m,一滑板爱好者

从A点滑到E点,则他滑行的最短距离约为(边缘部分的厚度忽略不计,结果保留

整数)

对应目标编号M8114001(

)

A.18m

B.20m

C.22m

D.24m类型四转化思想C解析

如图,AE的长为滑行的最短距离.由题意得AD=4π米,DE=DC-CE=18

米,在Rt△ADE中,AE=

≈22(米),即滑行的最短距离约为22米.故选C.

7.(2024山西太原期中,15,★★☆)纸箱是我们生活中常见的物品.如图1,

创意DIY小组的同学将一个10cm×30cm×40cm的长方体纸箱裁去一部分(粗线

为裁剪线),得到图2所示的简易书架.若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发,沿书架

内壁爬行到顶点B处,则它爬行的最短距离为

cm.

新考法

50解析把书架侧面展开,如图所示,连结AB,则爬行的最短距离为AB的长,

由图形可知,OA=30+10=40(cm),OB=40-10=30(cm),在Rt△AOB中,AB=

=

=50(cm),∴它爬行的最短距离为50cm.8.(2024陕西汉中洋县期末,20,★★☆)陕西省的地势南北高、中

部低,有高原、山地、平原和盆地等多种地形.某工程队现需穿过某座大山修一

条隧道AB,如图,为了测量隧道AB的长度,在山的另一侧水平地面上取了一点C,

在隧道BA的延长线上取了点D,测量得知,∠CAD-∠C=90°,AC=500米,BC=140米,

请你求出隧道AB的长.

学科地理解析∵∠CAD-∠C=90°,∴∠ABC=90°.∵AC=500米,BC=140米,∴AB=

=

=480米,即隧道AB的长为480米.9.(2024吉林长春朝阳期末,8,★★☆)如图,长方体的长、宽、高分别为2cm、1

cm、4cm,蚂蚁在长方体表面爬行,从点A爬到点B的最短路程是

(

)

A.

cm

B.

cm

C.5cm

D.4.5cm类型五分类讨论思想C解析

根据题意,分三种情况:①展开前面和右面,如图,则AB=

=5(cm);

②展开前面和上面,如图,则AB=

=

(cm);

③展开左面和上面,如图,则AB=

=

(cm).

∵5<

<

,∴从点A爬到点B的最短路程是5cm.故选C.10.(2024吉林长春期末,24,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P

从点A出发,沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为t秒

(t>0).(1)AC=

.(2)若点P在∠ABC的平分线上,求△BCP的面积.(3)当BP=4时,求t的值.(4)当△ABP是等腰三角形时,直接写出t的值.解析

(1)4.(2)过点P作PM⊥AB于点M,如图1所示:

∵∠ACB=90°,∴PC⊥BC,∵点P在∠ABC的平分线上,PM⊥AB,∴PC=PM.∵PB=PB,∴Rt△PCB≌Rt△PMB(H.L.),∴CB=MB,∴AM=AB-MB=AB-BC=5-3=2,设PM=PC=x,则AP=4-x,在Rt△APM中,AM2+PM2=AP2,∴22+x2=(4-x)2,解得x=

,∴PC=

,∴△BCP的面积为

BC·PC=

×3×

=

.(3)如图2,P1B=P2B=4,

∴P1C=P2C=

=

,∴AP1=4-

,AP2=4+

,∴t=

或

.(4)当AB作为底边时,如图3所示,

则PA=PB,设PA=a,则PC=AC-AP=4-a,在Rt△PCB中,PB2=PC2+CB2,∴a2=(4-a)2+32,解得a=

,此时t=

÷2=

.当AB作为腰时,如图4所示,

若AP1=AB=5,则t=5÷2=

,若AB=BP2,∵BC⊥AP2,∴AP2=2AC=8,此时t=8÷2=4.综上可得,t的值为

或

或4.11.(★★☆)阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正

整数a、b、c,称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学

著作《九章算术》,勾股数组公式为

其中m>n>0,m,n是互质的奇数.当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.情境题数学文化解析当n=1时,a=

(m2