华东师大版初中八年级数学上册专项素养巩固训练卷(四)构造全等三角形的四大技巧练课件

专项素养巩固训练卷(四)构造全等三角形的四大技巧(练方法)1.(2024河南洛阳涧西期中,20,★★☆)从图1的风筝图形可以抽象出几何图形,我

们把这种几何图形叫做“筝形”.具体定义如下:如图2,在四边形ABCD中,AB=

AD,BC=DC,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”(1)结合图3,通过观察、测量,可以猜想“筝形”具有诸如“AC平分∠BAD和CA

平分∠BCD”这样的性质,请结合图形,再写出两条“筝形”的性质:技巧一连“公共边”法①

;②

.(2)从你写出的两条性质中,任选一条“筝形”的性质给出证明.解析

(1)①“筝形”有一组对角相等;②AC垂直平分线段BD.(答案不唯一)(2)答案不唯一.选择①,如图,在“筝形”ABCD中,AB=AD,CB=CD,求证:∠B=∠D.证明:如图,连结AC.在△ACB和△ACD中,

∴△ACB≌△ACD(S.S.S.),∴∠B=∠D.选择②,已知:如图,在“筝形”ABCD中,AB=AD,CB=CD,求证:AC垂直平分线段BD.证明:如图,连结BD、CA.∵AB=AD,∴点A在线段BD的垂直平分线上.∵CB=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上,∴AC垂直平分线段BD.2.(2024河南驻马店泌阳期中,23,★★☆)学习了全等三角形的判定方法后,我们

知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”,但下列两种情形

还是成立的.(1)第一种情形(如图1):在△ABC和△DEF中,∠C=∠F=90°,AB=DE,AC=DF,则根据

得出△ABC

≌△DEF,并写出推理过程.(2)第二种情形(如图2):在△ABC和△DEF中,∠C=∠F(∠C和∠F均为钝角),AC=DF,AB=DE,求证:△

ABC≌△DEF.技巧二作垂线段法

解析

(1)H.L.证明:在Rt△ABC和Rt△DEF中,

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(H.L.).(2)证明:如图1,过A作AG⊥BC,交BC的延长线于点G,如图2,过D作DH⊥EF,交EF

的延长线于点H,∴∠AGC=∠DHF=90°,∵∠ACB=∠DFE,∴∠ACG=∠DFH.

在△ACG和△DFH中,

∴△ACG≌△DFH(A.A.S.),∴AG=DH.在Rt△ABG和Rt△DEH中,

∴Rt△ABG≌Rt△DEH(H.L.),∴∠ABG=∠DEH.在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(A.A.S.).3.(★★☆)教材呈现:下面是华师版八年级上册数

学教材第96页的部分内容.新考向教材拓展探究试题

3.角平分线回忆:我们已经知道角是轴对称图形,角平分线所在的直线是角的对称轴.如图13.5.4,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任一点,

作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D和点E.将∠AOB沿OC对折,我们发现PD与PE完全重合,由此即有:角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等.已知:如图13.5.4,OC是∠AOB的平分线,点P是OC上的任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D和点E.求证:PD=PE.分析:图中有两个直角三角形PDO和PEO,只要证明这两个三角形全等,便可证得PD=PE.定理证明:请根据教材中的“分析”,结合图1,写出“角平分线的性质定理”完

整的证明过程.定理应用:如图2,在四边形ABCD中,∠B=∠C,点E在边BC上,AE平分∠BAD,DE平

分∠ADC.求证:BE=CE.

.证明:定理证明:∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC∵PE⊥OB,PD⊥OA,∴∠PEO=∠PDO=90°.在△POD和△POE中,

∴△POD≌△POE(A.A.S.),∴PD=PE.定理应用:如图,过点E作EG⊥AB于G,EF⊥AD于F,EH⊥CD于H,∴∠EGB=∠EFD=∠EHC=90°,∵AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,∴EG=EF=EH.在△BEG和△CEH中,

∴△BEG≌△CEH(A.A.S.),∴BE=EC.4.(2023四川乐山沐川期末,30,★★☆)(1)方法呈现:如图1,在△ABC中,若AB=6,AC=4,点D为BC边的中点,求BC边上的中线AD的取值

范围.解决此问题可以用如下方法:如图1,延长AD到点E,使DE=AD,再连结BE,可证△

ACD≌△EBD,从而根据△ABE中,AB、BE、AE之间的三边关系即可判断中线

AD的取值范围是

(直接写出范围即可).我们称这种解决问题的方法为

倍长中线法.技巧三倍长中线法(2)探究应用:如图2,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点

F,连结EF,判断BE+CF与EF的大小关系并证明.(3)问题拓展:如图3,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点.

若AE是∠BAF的平分线.试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系,并加以证明.

解析

(1)1<AD<5.[详解]∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∵∠BDE=∠CDA,DE=AD,∴△BDE≌△CDA(S.A.S.),∴BE=AC=4.在△ABE中,AB-BE<AE<AB+BE,∴6-4<AE<6+4,∴2<AE<10,∵AD=

AE,∴1<AD<5.(2)BE+CF>EF.证明:延长FD至点M,使DM=DF,连结BM、EM,如图1所示.同(1)得,△BMD≌△CFD(S.A.S.),∴BM=CF.∵DE⊥DF,DM=DF,∴EM=EF.在△BME中,由三角形的三边关系得,BE+BM>EM,∴BE+CF>EF.(3)AF+CF=AB.证明:如图2,延长AE、DF交于点G.∵AB∥CD,∴∠BAG=∠G.∵点E是BC的中点,∴BE=CE.在△ABE和△GCE中,

∴△ABE≌△GCE(A.A.S.),∴CG=AB.∵AE是∠BAF的平分线,∴∠BAG=∠GAF,∴∠FAG=∠G,∴AF=GF.∵GF+CF=CG,∴AF+CF=AB.5.(2023河南南阳新野期末,23,★★☆)阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C.求证:AC=AB+BD.小明通过思考发现可以通过“截长和补短”两种方法解决问题.方法一,截长法:如图2,在AC上截取AE,使得AE=AB,连结DE,可以得到全等三角

形,进而解决问题.方法二,补短法:如图3,延长AB到点E,使得BE=BD,连结DE,可以得到等腰三角形,

进而解决问题.技巧四截长补短法(1)在小明的两种方法中任选一种方法证明AC=AB+BD.(2)根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题.如图4,∠ACB=2∠B,AD为△ABC的外角∠CAF的平分线,AD交BC的延长线于点

D,则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?写出你的猜想并加以证明.解析

(1)任选一种方法进行证明即可.证明:方法一:如题图2,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAD.在△ABD和△AED中,

∴△ABD≌△AED(S.A.S.),∴BD=ED,∠AED=∠ABC=2∠C.∵∠AED=∠C+∠EDC,∴∠EDC=∠C,∴ED=EC,∴BD=EC,∴AC=AE+EC=AB+BD.方法二:如题图3,∵BE=BD,∴∠E=∠BDE.∵∠ABD是△BED的一个外角,∴∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E.∵∠ABC=2∠C,∴∠C=∠E.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,在△EAD和△CAD中,

∴△EAD≌△CAD(A.A.S.),∴AC=AE=AB+BE=AB+BD.(2)AB=CD-AC,证明如下:如图,在射线AF上取一点E,使得AE=AC,连结DE,∵AD为△ABC的外角∠CAF的平分线,∴∠CAD=∠EAD.在△ACD和△AED中,

∴△ACD≌△AED(S.A.S.),∴∠ACD=∠AED,CD=DE,∴∠ACB=∠FED.∵∠ACB=2∠B,∴∠FED=2∠B.∵∠FED=∠B+∠EDB,∴∠EDB=∠B,∴DE=BE,∴BE=CD,∴AB=BE-AE=CD-AC.6.(2024四川绵阳安州期末,20,★★☆)如图,已知AC=BC,点D是BC上一点,∠

ADE=∠C.

(1)如图1,若∠C=90°,∠DBE=135°,求证:①∠BDE=∠A.②DA=DE.(2)如图2,请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时,总有DA=DE成立,

并说明理由.解析

(1)证明:①∵∠ADE=∠C=90°,∴∠BDE+∠ADC=90°,∠A+∠ADC=90°,∴∠BDE=∠A.②证明:在AC上截取CF=CD,连结FD,如图1,∵∠C=90°,∴∠CFD=∠CDF=45°,∴∠AFD=135°=∠DBE.∵AC=BC,∴AC-CF=BC-CD,即AF=BD,由①知,∠A=∠BDE,在△AFD和△DBE中,

∴△AFD≌△DBE(A.S.A.),∴DA=DE.(2)当∠DBE=90°+

∠C时,总有DA=DE成立.理由如下:如图2,在AC上截取CM=CD,连结MD,

∵AC=BC,∴AC-CM=B