二次函数的图像和性质

二次函数复习二：二次函数的图像和性质班级：姓名：知识点一.二次函数的图像和性质函数二次函数图像a>0a<0y0xy0x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x≤时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x≥时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x≤时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x≥时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，1.二次函数图像的画法:五点作图法（1）顶点坐标；（2）与x轴的交点坐标；（3）与y轴的交点坐标，再找到该点关于对称轴对称的对称点坐标。2.抛物线中，a、b、c的作用（1）决定开口方向及开口大小.>0时，抛物线开口向上,<0时，抛物线开口向下(a的绝对值越大，抛物线的开口越小)。（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（口诀：左同右异，即a、b同号，对称轴在y轴左侧）（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.3.二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点横坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。对称轴，在x轴上截的线段长是。4.二次函数图象的平移①对于抛物线y=ax2+bx+c的平移.通常先将一般式转化成顶点式，再遵循左加右减，上加下减的的原则,化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。②沿轴平移：向上（下）平移（m＞0）个单位，变成（或）③当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式：向左（右）平移（m＞0）个单位，变成（或）5.二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。例题讲解【例1】已知函数y=x2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说出x取哪些值时，①y=0；②y<0；③y>0【例2】如图，抛物线与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc0（＞或＜或=）（2）a的取值范围是 OOO-1OxOy1323【例3】下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴，且经过点(0，1)的是()A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2−3【例1】已知二次函数的图像（0≤x≤3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是()A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1,有最大值0C．有最小值－1,有最大值3 D．有最小值－1,无最大值【练习1】抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是.【练习2】二次函数有()A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【练习3】由二次函数，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线C．其最小值为1D．当时，y随x的增大而增大【例4】已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A. B. C.且 D.且【练习4】下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是（）．A．y=x2 B．y=x－１ C．y=eq\f(3,4)x D．y=eq\f(1,x)【练习5】若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（）=lB．>lC．≥lD．≤l【练习6】已知二次函数y=（x+m）2+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是__________ .【例5】将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是()A．B．C．D．【练习7】将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.【练习8】抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是()A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【例6】如图为抛物线的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是()A．a＋b=－1B．a－b=－1C．b<2aD．ac<0【练习9】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是()a>0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>0【练习10】如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观xy-11O1察得出了下面四条信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+cxy-11O1A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【练习11】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【练习12】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是．（只要求填写正确命题的序号）【练习13】如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）A．m＝n，k＞hB．m＝n，k＜hC．m＞n，k＝hD．m＜n，k＝h【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．【例8】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．【例9】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴交于C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使⊿BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由。练习1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m2、已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．33.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（）.4.如图，已知二次函数的图象经过点（－1，0），（1，－2），当随的增大而增大时，的取值范围是．5.若二次函数y=ax2+4，当x分别取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取（x1+x2）时，函数值是____6.在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．A．B．C．D．7已知二次函数的图像如图，其对称轴，给出下列结果①②③④⑤，则正确的结论是（）A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤8．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：x…－2－1012…y…04664…从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）①抛物线与轴的一个交点为（3,0）；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是；④在对称轴左侧，随增大而增大．9.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．(1)求△OAB的面积；(2)若抛物线经过点A．①求c的值；②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．10.“已知函数的图象经过点A（c，－2），，这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。11.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B(-1，2)，D(3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P．使得PA=PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有最大？并求出最大值。ABABCDOENMxy图12.如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最