高中数 第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 NO.2 课下检测 新人教A必修5

【创新方案】版高中数学第一章1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理NO.2课下检测新人教A版必修5一、选择题1．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.eq\r(3)∶2∶1C.eq\r(3)∶eq\r(2)∶1 D．2∶eq\r(3)∶1解析：因为A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，所以A＝90°，B＝60°，C＝30°.所以a∶b∶c＝sin90°∶sin60°∶sin30°＝1∶eq\f(\r(3),2)∶eq\f(1,2)＝2∶eq\r(3)∶1.答案：D2．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4eq\r(6)，那么120°角所对边长是()A．4 B．12eq\r(3)C．4eq\r(3) D．12解析：由正弦定理可得所求边长为eq\f(4\r(6),sin45°)×sin120°＝12.答案：D3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A．a＝7，b＝14，A＝30° B．a＝30，b＝25，A＝150°C．a＝6，b＝9，A＝45° D．a＝30，b＝40，A＝30°解析：在A中，bsinA＝14sin30°＝7＝a，故△ABC只有一解，在B中，a＝30，b＝25，故a>b，又A＝150°，故△ABC只有一解，在C中，bsinA＝9sin45°＝eq\f(9\r(2),2)>6＝a，故△ABC无解，在D中，bsinA＝40sin30°＝20，因bsinA<a<b，故△ABC有两解．答案：D4．在△ABC中，已知a＝5eq\r(2)，c＝10，A＝30°，则B等于()A．105° B．60°C．15° D．105°或15°解析：由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得sinC＝eq\f(c·sinA,a)＝eq\f(10×sin30°,5\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∵a＜c，∴A＜C.∴C＝45°或135°，∴B＝105°或15°.答案：D二、填空题5．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2eq\r(2)，则c＝________.解析：根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝30°.根据正弦定理：c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(2\r(2)sin30°,sin45°)＝2.答案：26．(·北京高考)在△ABC中，若b＝5，∠B＝eq\f(π,4)，sinA＝eq\f(1,3)，则a＝________.解析：根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(5×\f(1,3),\f(\r(2),2))＝eq\f(5\r(2),3).答案：eq\f(5\r(2),3)7．(·泉州高二检测)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝4bsinA，则cosB＝________.解析：∵a＝4bsinA，由正弦定理得sinA＝4sinBsinA，∴sinB＝eq\f(1,4)，cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\r(1－\f(1,4)2)＝eq\f(\r(15),4).答案：eq\f(\r(15),4)8．在△ABC中，最大边长是最小边长的2倍，且2·＝||·||，则此三角形的形状是________．解析：∵2·＝||·||，∴cosA＝eq\f(1,2).∴A＝eq\f(π,3).∴a边不是最大边也不是最小边．不妨设b<c，则2b＝c，由正弦定理2sinB＝sinC，∴2sinB＝sin(eq\f(2π,3)－B)．∴2sinB＝eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB.∴tanB＝eq\f(\r(3),3).∴B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,2).∴此三角形为直角三角形．答案：直角三角形三、解答题9．已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝bcosA，,x1x2＝acosB.))∴bcosA＝acosB.由正弦定理得：sinBcosA＝sinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，sin(A－B)＝0.∵A、B为△ABC的内角，∴0<A<π，0<B<π，－π<A－B<π.∴A－B＝0，即A＝B.故△ABC为等腰三角形．10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2B＝A＋C，a＋eq\r(2)b＝2c，求sinC的值．解：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，A＋C＝120°，∴0°<A<120°，0°<C<120°且A＝120°－C.∵a＋eq\r(2)b＝2c，由正弦定理得sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，∴sin(120°－C)＋eq\f(\r(6),2)＝2sinC，即eq\f(\r(3),2)cosC＋eq\f(1,2)sinC＋eq\f(\r(6),2)＝2sinC，∴eq\f(3,2)sinC－eq\f(\r(3),2)cosC＝eq\f(\r(6),2).∴si