同济第六版《高等数学》曲线积分和曲面积分教学案

...wd......wd......wd...第十章曲线积分与曲面积分教学目的：理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。掌握计算两类曲线积分的方法。熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。知道散度与旋度的概念，并会计算。会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。教学重点:两类曲线积分的计算方法；格林公式及其应用；两类曲面积分的计算方法；高斯公式、斯托克斯公式；两类曲线积分与两类曲面积分的应用。教学难点：两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；应用格林公式计算对坐标的曲线积分；应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。§10.1对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上曲线形构件在点(xy)处的线密度为(xy)求曲线形构件的质量把曲线分成n小段s1s2sn(si也表示弧长)任取(ii)si得第i小段质量的近似值(ii)si整个物质曲线的质量近似为令max{s1s2sn}0则整个物质曲线的质量为这种和的极限在研究其它问题时也会遇到定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧函数f(xy)在L上有界在L上任意插入一点列M1M2Mn1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为si又(ii)为第i个小段上任意取定的一点作乘积f(ii)si(i12n)并作和如果当各小弧段的长度的最大值0这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作即其中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段设函数f(xy)定义在可求长度的曲线L上并且有界将L任意分成n个弧段s1s2sn并用si表示第i段的弧长在每一弧段si上任取一点(ii)作和令max{s1s2sn}如果当0时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作即其中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段曲线积分的存在性当f(xy)在光滑曲线弧L上连续时对弧长的曲线积分是存在的以后我们总假定f(xy)在L上是连续的根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分的值其中(xy)为线密度对弧长的曲线积分的推广如果L(或)是分段光滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2则规定闭曲线积分如果L是闭曲线那么函数f(xy)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作对弧长的曲线积分的性质性质1设c1、c2为常数则性质2假设积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2则性质3设在L上f(xy)g(xy)则特别地有二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件L的线密度为f(xy)则曲线形构件L的质量为另一方面假设曲线L的参数方程为x(t)y(t)(t)则质量元素为曲线的质量为即定理设f(xy)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为x(t)y(t)(t)其中(t)、(t)在[]上具有一阶连续导数且2(t)2(t)0则曲线积分存在且(<)证明〔略〕应注意的问题定积分的下限一定要小于上限讨论(1)假设曲线L的方程为y(x)(axb)则?提示L的参数方程为xxy(x)(axb)(2)假设曲线L的方程为x(y)(cyd)则?提示L的参数方程为x(y)yy(cyd)(3)假设曲的方程为x(t)y(t)z(t)(t)则?提示例1计算其中L是抛物线yx2上点O(00)与点B(11)之间的一段弧解曲线的方程为yx2(0x1)因此例2计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1)解取坐标系如以以下图则曲线L的参数方程为xRcosyRsin(<)于是R3(sincos)例3计算曲线积分其中为螺旋线xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧解在曲线上有x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2并且于是小结用曲线积分解决问题的步骤(1)建设曲线积分(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程)确定参数的变化范围(3)将曲线积分化为定积分(4)计算定积分§102对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功设一个质点在xOy面内在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B试求变力F(xy)所作的功用曲线L上的点AA0A1A2An1AnB把L分成n个小弧段设Ak(xkyk)有向线段的长度为sk它与x轴的夹角为k则(k012n1)显然变力F(xy)沿有向小弧段所作的功可以近似为于是变力F(xy)所作的功从而这里(xy){cossin}是曲线L在点(xy)处的与曲线方向一致的单位切向量把L分成n个小弧段L1L2Ln变力在Li上所作的功近似为F(ii)siP(ii)xiQ(ii)yi变力在L上所作的功近似为变力在L上所作的功的准确值其中是各小弧段长度的最大值提示用si{xiyi}表示从Li的起点到其终点的的向量用si表示si的模对坐标的曲线积分的定义定义设函数f(xy)在有向光滑曲线L上有界把L分成n个有向小弧段L1L2Ln小弧段Li的起点为(xi1yi1)终点为(xiyi)xixixi1yiyiyi1(i)为Li上任意一点为各小弧段长度的最大值如果极限总存在则称此极限为函数f(xy)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分记作即如果极限总存在则称此极限为函数f(xy)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分记作即设L为xOy面上一条光滑有向曲线{cossin}是与曲线方向一致的单位切向量函数P(xy)、Q(xy)在L上有定义如果以下二式右端的积分存在我们就定义前者称为函数P(xy)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分后者称为函数Q(xy)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分定义的推广设为空间内一条光滑有向曲线{coscoscos}是曲线在点(xyz)处的与曲线方向一致的单位切向量函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上有定义我们定义(假设各式右端的积分存在)对坐标的曲线积分的简写形式对坐标的曲线积分的性质(1)如果把L分成L1和L2则(2)设L是有向曲线弧L是与L方向相反的有向曲线弧则两类曲线积分之间的关系设{cosisini}为与si同向的单位向量我们注意到{xiyi}si所以xicosisiyisinisi即或其中A{PQ}t{cossin}为有向曲线弧L上点(xy)处单位切向量drtds{dxdy}类似地有或其中A{PQR}T{coscoscos}为有向曲线弧上点(xyz)处单们切向量drTds{dxdydz}At为向量A在向量t上的投影二、对坐标的曲线积分的计算定理设P(xy)、Q(xy)是定义在光滑有向曲线Lx(t)y(t)上的连续函数当参数t单调地由变到时点M(xy)从L的起点A沿L运动到终点B则讨论提示定理假设P(xy)是定义在光滑有向曲线Lx(t)y(t)(t)上的连续函数L的方向与t的增加方向一致则简要证明不妨设对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{(t)(t)}所以从而应注意的问题下限a对应于L的起点上限对应于L的终点不一定小于讨论假设空间曲线由参数方程xt)y=(t)z(t)给出那么曲线积分若何计算提示其中对应于的起点对应于的终点例题例1计算其中L为抛物线y2x上从点A(11)到点B(11)的一段弧解法一以x为参数L分为AO和OB两局部AO的方程为x从1变到0OB的方程为x从0变到1因此第二种方法以y为积分变量L的方程为xy2y从1变到1因此例2计算(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2(2)从点A(a0)沿x轴到点B(a0)的直线段解(1)L的参数方程为xacosyasin从0变到因此(2)L的方程为y0x从a变到a因此例3计算(1)抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧(2)抛物线xy2上从O(00)到B(11)的一段弧(3)从O(00)到A(10)再到R(11)的有向折线OAB解(1)Lyx2x从0变到1所以(2)Lxy2y从0变到1所以(3)OAy0x从0变到1ABx1y从0变到1011例4计算其中是从点A(321)到点B(000)的直线段解直线AB的参数方程为x3ty2txtt从1变到0所以所以例5设一个质点在M(xy)处受到力F的作用F的大小与M到原点O的距离成正比F的方向恒指向原点此质点由点A(a0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0b)求力F所作的功W例5一个质点在力F的作用下从点A(a0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0b)F的大小与质点到原点的距离成正比方向恒指向原点求力F所作的功W解椭圆的参数方程为xacostybsintt从0变到其中k>0是比例常数于是三、两类曲线积分之间的联系由定义得其中F{PQ}T{cossin}为有向曲线弧L上点(xy)处单位切向量drTds{dxdy}类似地有其中F{PQR}T{coscoscos}为有向曲线弧上点(xyz)处单们切向量drTds{dxdydz}§103格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通区域设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的局部都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域对平面区域D的边界曲线L我们规定L的正向如下当观察者沿L的这个方向行走时D内在他近处的那一局部总在他的左边区域D的边界曲线的方向定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数则有其中L是D的取正向的边界曲线简要证明仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进展证明设D{(xy)|1(x)y2(x)axb}因为连续所以由二重积分的计算法有另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有因此设D{(xy)|1(y)x2(y)cyd}类似地可证由于D即是X－型的又是Y－型的所以以上两式同时成立两式合并即得应注意的问题对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向设区域D的边界曲线为L取PyQx则由格林公式得或例1椭圆xacosybsin所围成图形的面积A分析只要就有解设D是由椭圆x=acosy=bsin所围成的区域令则于是由格林公式ab例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明证令P2xyQx2则因此由格林公式有(为什么二重积分前有“〞号)例3计算其中D是以O(00)A(11)B(01)为顶点的三角形闭区域分析要使只需P0解令P0则因此由格林公式有例4计算其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向解令则当x2y20时有记L所围成的闭区域为D当(00)D时由格林公式得当(00)D时在D内取一圆周lx2y2r2(r>0)由L及l围成了一个复连通区域D1应用格林公式得其中l的方向取逆时针方向于是2解记L所围成的闭区域为D当(00)D时由格林公式得当(00)D时在D内取一圆周lx2y2r2(r0)由L及l围成了一个复连通区域D1应用格林公式得即其中l的方向取顺时针方向于是2分析这里当x2y20时有二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2等式恒成立就说曲线积分在G内与路径无关否则说与路径有关设曲线积分在G内与路径无关L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线则有因为所以有以下结论曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零定理2设开区域G是一个单连通域函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数则曲线积分在G内与路径无关〔或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零〕的充分必要条件是等式在G内恒成立充分性易证假设则由格林公式对任意闭曲线L有必要性假设存在一点M0G使不妨设>0则由的连续性存在M0的一个邻域U(M0,)使在此邻域内有于是沿邻域U(M0,)边界l的闭曲线积分这与闭曲线积分为零相矛盾因此在G内应注意的问题定理要求区域G是单连通区域且函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点例5计算其中L为抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧解因为在整个xOy面内都成立所以在整个xOy面内积分与路径无关讨论设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问是否一定成立提示这里和在点(00)不连续因为当x2y20时所以如果(00)不在L所围成的区域内则结论成立而当(00)在L所围成的区域内时结论未必成立三、二元函数的全微分求积曲线积分在G内与路径无关说明曲线积分的值只与起点从点(x0y0)与终点(xy)有关如果与路径无关则把它记为即假设起点(x0y0)为G内的一定点终点(xy)为G内的动点则u(xy)为G内的的函数二元函数u(xy)的全微分为du(xy)ux(xy)dxuy(xy)dy表达式P(xy)dx+Q(xy)dy与函数的全微分有一样的构造但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P(xy)dx+Q(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全微分呢当这样的二元函数存在时若何求出这个二元函数呢定理3设开区域G是一个单连通域函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数则P(xy)dxQ(xy)dy在G内为某一函数u(xy)的全微分的充分必要条件是等式在G内恒成立简要证明必要性假设存在某一函数u(xy)使得duP(xy)dxQ(xy)dy则有因为、连续所以即充分性因为在G内所以积分在G内与路径无关在G内从点(x0y0)到点(xy)的曲线积分可表示为考虑函数u(xy)因为u(xy)所以类似地有从而duP(xy)dxQ(xy)dy即P(xy)dxQ(xy)dy是某一函数的全微分求原函数的公式例6验证在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分并求出一个这样的函数解这里因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数且有所以在右半平面内是某个函数的全微分取积分路线为从A(10)到B(x0)再到C(xy)的折线则所求函数为问为什么(x0y0)不取(00)?例6验证在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分并求出一个这样的函数解这里Pxy2Qx2y因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数且有所以在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分取积分路线为从O(00)到A(x0)再到B(xy)的折线则所求函数为思考与练习1在单连通区域G内如果P(xy)和Q(xy)具有一阶连续偏导数且恒有那么(1)在G内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G内的闭曲线积分是否为零?(3)在G内P(xy)dxQ(xy)dy是否是某一函数u(xy)的全微分?2在区域G内除M0点外如果P(xy)和Q(xy)具有一阶连续偏导数且恒有G1是G内不含M0的单连通区域那么(1)在G1内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G1内的闭曲线积分是否为零?(3)在G1内P(xy)dxQ(xy)dy是否是某一函数u(xy)的全微分?3在单连通区域G内如果P(xy)和Q(xy)具有一阶连续偏导数但非常简单那么(1)若何计算G内的闭曲线积分?(2)若何计算G内的非闭曲线积分?(3)计算其中L为逆时针方向的上半圆周(xa)2y2a2y0§104对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质物质曲面的质量问题设为面密度非均匀的物质曲面其面密度为(xyz)求其质量把曲面分成n个小块S1S2Sn(Si也代表曲面的面积)求质量的近似值((iii)是Si上任意一点)取极限求准确值(为各小块曲面直径的最大值)定义设曲面是光滑的函数f(xyz)在上有界把任意分成n小块S1S2Sn(Si也代表曲面的面积)在Si上任取一点(iii)如果当各小块曲面的直径的最大值0时极限总存在则称此极限为函数f(xyz)在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分记作即其中f(xyz)叫做被积函数叫做积分曲面对面积的曲面积分的存在性我们指出当f(xyz)在光滑曲面上连续时对面积的曲面积分是存在的今后总假定f(xyz)在上连续根据上述定义面密度为连续函数(xyz)的光滑曲面的质量M可表示为(xyz)在上对面积的曲面积分如果是分片光滑的我们规定函数在上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和例如设可分成两片光滑曲面1及2(记作12)就规定对面积的曲面积分的性质(1)设c1、c2为常数则(2)假设曲面可分成两片光滑曲面1及2则(3)设在曲面上f(xyz)g(xyz)则(4)其中A为曲面的面积二、对面积的曲面积分的计算面密度为f(xyz)的物质曲面的质量为另一方面如果由方程zz(xy)给出在xOy面上的投影区域为D那么曲面的面积元素为质量元素为根据元素法曲面的质量为因此化曲面积分为二重积分设曲面由方程zz(xy)给出在xOy面上的投影区域为Dxy函数zz(xy)在Dxy上具有连续偏导数被积函数f(xyz)在上连续则如果积分曲面的方程为yy(zx)Dzx为在zOx面上的投影区域则函数f(xyz)在上对面积的曲面积分为如果积分曲面的方程为xx(yz)Dyz为在yOz面上的投影区域则函数f(xyz)在上对面积的曲面积分为例1计算曲面积分其中是球面x2y2z2a2被平面zh(0ha)截出的顶部解的方程为Dxyx2y2a2h2因为所以提示例2计算其中是由平面x0y0z0及xyz1所围成的四面体的整个边界曲面解整个边界曲面在平面x0、y0、z0及xyz1上的局部依次记为1、2、3及4于是提示4z1xy§105对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程zz(xy)表示的曲面分为上侧与下侧设n(coscoscos)为曲面上的法向量在曲面的上侧cos0在曲面的下侧cos0闭曲面有内侧与外侧之分类似地如果曲面的方程为yy(zx)则曲面分为左侧与右侧在曲面的右侧cos0在曲面的左侧cos0如果曲面的方程为xx(yz)则曲面分为前侧与后侧在曲面的前侧cos0在曲面的后侧cos0设是有向曲面在上取一小块曲面S把S投影到xOy面上得一投影区域这投影区域的面积记为()xy假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有一样的符号(即cos都是正的或都是负的)我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为其中cos0也就是()xy0的情形类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz及(S)zx流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))给出是速度场中的一片有向曲面函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)都在上连续求在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v又设n为该平面的单位法向量那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体当(v^n)时这斜柱体的体积为A|v|cosAvn当(v^n)时显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量为零而Avn0,故Avn当(v^n)时Avn0这时我们仍把Avn称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量它表示流体通过闭区域A实际上流向n所指一侧且流向n所指一侧的流量为Avn因此不管(v^n)为何值流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Avn把曲面分成n小块S1S2Sn(Si同时也代表第i小块曲面的面积)在是光滑的和v是连续的前提下只要Si的直径很小我们就可以用Si上任一点(i,i,i)处的流速viv(i,i,i)P(i,i,i)iQ(i,i,i)jR(i,i,i)k代替Si上其它各点处的流速以该点(i,i,i)处曲面的单位法向量nicosiicosijcosik代替Si上其它各点处的单位法向量从而得到通过Si流向指定侧的流量的近似值为viniSi(i1,2,,n)于是通过流向指定侧的流量但cosiSi(Si)yzcosiSi(Si)zxcosiSi(Si)xy因此上式可以写成令0取上述和的极限就得到流量的准确值这样的极限还会在其它问题中遇到抽去它们的具体意义就得出以下对坐标的曲面积分的概念提示把Si看成是一小块平面其法线向量为ni则通过Si流向指定侧的流量近似地等于一个斜柱体的体积此斜柱体的斜高为|vi|高为|vi|cos(vi^ni)vini体积为viniSi因为nicosiicosijcosikviv(i,i,i)P(i,i,i)iQ(i,i,i)jR(i,i,i)kviniSi[P(i,i,i)cosiQ(i,i,i)cosiR(i,i,i)cosi]Si而cosiSi(Si)yzcosiSi(Si)zxcosiSi(Si)xy所以viniSiP(i,i,i)(Si)yzQ(i,i,i)(Si)zxR(i,i,i)(Si)xy对于上的一个小块显然在t时间内流过的是一个弯曲的柱体它的体积近似于以为底而高为(|V|t)cos(V^n)Vnt的柱体的体积VntS这里n(coscoscos)是上的单位法向量S表示的面积所以单位时间内流向指定侧的流体的质量近似于VnS(P(xyz)cosQ(xyz)cosR(xyz)cos)S如果把曲面分成n小块i(i12···n)单位时间内流向指定侧的流体的质量近似于按对面积的曲面积分的定义舍去流体这个具体的物理内容我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念定义设为光滑的有向曲面函数R(xyz)在上有界把任意分成n块小曲面Si(Si同时也代表第i小块曲面的面积)在xOy面上的投影为(Si)xy(i,i,i)是Si上任意取定的一点如果当各小块曲面的直径的最大值0时总存在则称此极限为函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分:记作即类似地有其中R(xyz)叫做被积函数叫做积分曲面定义设是空间内一个光滑的曲面n(coscoscos)是其上的单位法向量V(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))是确在上的向量场如果以下各式右端的积分存在我们定义并称为P在曲面上对坐标y、z的曲面积分为Q在曲面上对坐标z、x的曲面积分为R在曲面上对坐标y、z的曲面积分其中P、Q、R叫做被积函数叫做积分曲面以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分对坐标的曲面积分的存在性对坐标的曲面积分的简记形式在应用上出现较多的是流向指定侧的流量可表示为一个规定如果是分片光滑的有向曲面我们规定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质例如(1)如果把分成1和2则(2)设是有向曲面表示与取相反侧的有向曲面则这是因为如果n(coscoscos)是的单位法向量则上的单位法向量是n(coscoscos)二、对坐标的曲面积分的计算法将曲面积分化为二重积分设积分曲面由方程zz(xy)给出的在xOy面上的投影区域为Dxy函数zz(xy)在Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数R(xyz)在上连续则有其中当取上侧时积分前取“〞当取下侧时积分前取“〞这是因为按对坐标的曲面积分的定义有当取上侧时cos0所以(Si)xy(i)xy又因(i,i,i)是上的一点故iz(i,i)从而有令0取上式两端的极限就得到同理当取下侧时有因为当取上侧时cos0(Si)xy(i)xy当(i,i,i)时iz(i,i)从而有同理当取下侧时有这是因为n(coscoscos)类似地如果由xx(yz)给出则有如果由yy(zx)给出则有应注意的问题应注意符号确实定例1计算曲面积分其中是长方体的整个外表的外侧((xyz)|0xa0yb0zc)解把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和61zc(0xa0yb)的上侧2z0(0xa0yb)的下侧3xa(0yb0zc)的前侧4x0(0yb0zc)的后侧5y0(0xa0zc)的左侧6yb(0xa0zc)的右侧除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此a2bc类似地可得于是所求曲面积分为(abc)abc例2计算曲面积分其中是球面x2y2z21外侧在x0y0的局部解把有向曲面分成以下两局部(x0y0)的上侧(x0y0)的下侧1和2在xOy面上的投影区域都是Dxyx2y21(x0y0)于是三、两类曲面积分之间的联系设积分曲面由方程zz(xy)给出的在xOy面上的投影区域为Dxy函数zz(xy)在Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数R(xyz)在上连续如果取上侧则有另一方面因上述有向曲面的法向量的方向余弦为故由对面积的曲面积分计算公式有由此可见有如果取下侧则有但这时因此仍有类似地可推得综合起来有其中cos、cos、cos是有向曲面上点(xyz)处的法向量的方向余弦两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式或其中A(PQR)n(coscoscos)是有向曲面上点(xyz)处的单位法向量dSndS(dydzdzdxdxdy)称为有向曲面元An为向量A在向量n上的投影例3计算曲面积分其中是曲面介于平面z0及z2之间的局部的下侧解由两类曲面积分之间的关系可得在曲面上提示曲面上向下的法向量为(xy1))故8解由两类曲面积分之间的关系可得8提示§106高斯公式通量与散度一、高斯公式定理1设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数则有或简要证明设是一柱体上边界曲面为1zz2(x,y)下边界曲面为2zz1(x,y)侧面为柱面31取下侧2取上侧3取外侧根据三重积分的计算法有另一方面有以上三式相加得所以类似地有把以上三式两端分别相加即得高斯公式例1利用高斯公式计算曲面积分其中为柱面x2y21及平面z0z3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧解这里P(yz)xQ0Rxy由高斯公式有例2计算曲面积分其中为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之间的局部的下侧cos、cos、cos是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦解设1为zh(x2y2h2)的上侧则与1一起构成一个闭曲面记它们围成的空间闭区域为由高斯公式得提示而因此提示根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性例3设函数u(x,