简谐振动课件

简谐振动IntroductionVaryingforce:Aninfinitenumberofwaysinwhichaforcemayvary.PeriodicmotionVibration:arestoringforceparticularly四季的变化共振现象振动Inthischapter,wewillstudythemostimportantperiodicmotion-------SimpleHarmonicMotion(简谐振动),whichisbasetoinvestigate(研究）thecomplexperiodicmotion.简谐振动周期运动复杂运动波动、电磁波、电压电流等等§14-1SimpleHarmonicMotion 简谐振动1.Thesimpleharmonicmotion（abbreviate:SHM）Thesystem(black-spring)inFig.15-1iscalledasasimpleharmonicoscillator(谐振子）：Spring:不计质量。body:Equilibriumposition:pointo(和外力等于零）;物体：在平衡位置附近作周期性往复运动；坐标原点：通常取为平衡位置o；Spring:deformationx;Body:displacementx;force:(frictionless);acceleration:whichsolutionisThisequationiscalledtheharmonicequation.Summary:Ifthebodyissubjectto:Arestoringforcethatisproportionaltothedisplacementbutoppositeinsign();orTheaccelerationisproportionaltoitsdisplacementandofoppositesign();orThemotionequationis;Example14-1:provethesystemisasimpleharmonicoscillatorasshowninFig.15-2.Example14-2:InFig.15-3,provethesimplependulum(单摆）isasimpleharmonicoscillatorwhenissmall.Prove:(1)Displacement:(2)Restoringtorque(恢复力矩）:(3)Angular（角量）

acceleration:Note:(linear线量)2.ThevelocityandaccelerationofSHM:Itsvelocityisgivenby:anditsaccelerationisequalto:Note:(1)Maximalvalues:(2)Thecurvesof:oTtx、

、ax

2A

>0

<0<0>0a<0

<0

>0>0减速加速减速加速

AA-A-

A-

2A

a(3)看图：.3.Therotatingvectorrepresentation(旋转矢量表示法）ofSHMAvectorwithalengthAisrotatingaboutpointoatanangularvelocityinFig.15-4.TheprojectionPofthisrotatingvectorinx-axisisgivenbywhichisassameastheequationofSHM.Arotatingvectoronetoone一一对应SHM4.Remarks:Asimpleharmonicoscillatorhastohavetwoparts:(1)‘Spring’whichprovidesarestoringforce(thatisitstorethepotentialenergy);(2)‘Body’whichhasinertia(thatisitstorethekineticenergy).§14-2Amplitude(振幅)Period(周期)Frequency(頻率)andPhase(位相)ofSHM 1.IntroductionFromWecanseethat:(1)Thedisplacementisdeterminedbythreequantities:A,,;(2)isaperiodicfunctionoftimet.2.描述简谐振动的特征量振幅A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值（由初始条件决定）(代表系统总能量的多少）。周期T：完成一次全振动所需时间由系统的力学参数决定—固有周期Forblack-springsystem:andforsimplependulumsystem:角频率:2

秒内完成全振动的次数频率:单位时间完成全振动的次数固有频率相位：决定任意时刻

t

运动状态的物理量初相：决定初始时刻t=0运动状态的物理量2.振幅和初相的确定Initialconditions:

初始时刻的位置和速度可解出：or关键问题：决定

（1）由决定的两个可能值：；（2）由的正负选出正确的。关键：正确判断初始时刻的位置和速度的正负！！Example14-3:一个质量为10g的物体作简谐振动，周期为4s,t=0时坐标为24cm速度为零。计算：（1）t=0.5s时物体的位置；(2)t=0.5s时物体受到的力的大小和方向；(3)从初始位置运动到x=-12cm所需的最少时间；(4)x=12cm时物体速度的大小。解：本题已知物体作简谐振动。周期为4s,振幅为24cm,则：由初始条件：（1）当t=0.5s时：（2）当t=0.5s时，物体受力：与x轴正向相反。（3）从初始位置运动到x=-12cm的最少时间：24cm-12cm（4）x=-12cm物体的速度大小：注意：单位换算。Example14-4:如图14-5，为质点作谐振动的x随时间的变化曲线。求质点的振动方程和初速度。X(cm)t(s)2425o解：（1）由x-t曲线知：（2）设质点的振动方程为t=0时：所以：(IS)（2）当t=0时，速度等于：注意：（1）看图识‘量’；（2）正确写出初始条件；（3）

的选择。Example14-5:给出下列系统的等效弹性系数。Example14-6:在一轻弹簧下端悬挂m0=100g砝码时，弹簧伸长8cm,现在这弹簧下悬挂m=250g的物体，将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给予向上的21cm/s的初速度（此时t=0).选x轴向下，如图15-6，求振动方程的数值表达式。解：（1）由题可得（2）园频率：（3）设运动方程为：初始条件：可给出：则：（IS）Example14-7:一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm,现在这弹簧下悬挂m=4kg的物体，使其静止,再将物体从平衡位置向下拉动10cm由静止释放（此时t=0).如图15-7，求:(1)振动方程的数值表达式;(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力;(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上房5cm处所需要的最短时间。解：（1）由题可得:(2)选x轴向下为正:(3)设物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力f:负号‘-’表方向向上,为拉力.(4)分两步:第一次到达平衡位置的时间t1第一次到达平衡位置上方5cm的的时间t2§14-3TheEnergyofSHM简谐振动的能量Thepotentialenergyofthesystemis:anditskineticenergyisequaltoItcanbeprovedthatitstotalenergyisconstant:Youmightnowunderstandwhyanoscillating(振动)systemnormallycontainsanelementofspringinessandanelementinertia.①谐振动的总能量与振幅的平方成正比；②如图15-8,谐振动的动能和势能相互转化，总能量守恒.Conclusions:③关系:Example14-8:x为何值时谐振子系统的动能等于势能?解:设x=xP处则:Example14-9:如果谐振子的振动频率为.问其动能和势能的变化频率为多少?解:因为而所以动能和势能的变化频率为:2.§14-4DampedVibrationForcedVibrationandResonance(阻尼振动受迫振动共振)1.DampedVibration阻尼振动IntheairDragforceThemotiondiesouteventually!!InthewaterWhenthemotionofanoscillatorisreducedbyanexternalforce,theoscillatoranditsmotionaresaidtobedamped.DragforceInthewaterInthefollowing,taketheharmonicoscillatorasanexampleandconsideronlythefrictionsofsurroundingmedia.Forthecaseoflowspeed,thefrictionofmediacanbeexpressedaswhichhasthreesolutions:underdampedvibration,overdampedvibrationandcriticaldamping.Underdampedvibration（欠阻尼）:特征:

小,振动很多次;振幅逐渐减小;不是周期运动,但可引入周期.——阻尼系数,由阻力系数决定。Overdampedvibration（过阻尼）andcriticaldamping:特征:Criticaldamping:能回到平衡位置;Overdampedvibration:不能回到平衡位置(需无限长时间);Intheoil2.ForcedVibrationandResonance(受迫振动共振)IntheairDragforceThemotiondiesouteventually!!Provideenergy(forceitvibrate)Addanadditionalforcecalledasadrivingforcetoaharmonicoscillator.Thismotionisaforcedvibration.Example:agirl(child)sittingonaswing(秋千).Bygivingthegirlalittlepushonceeachcycle,youcanmaintainanearlyconstantamplitude.gentlyOK!Ingeneral,adrivingforceischosenasInthefollowing,thenatural(orintrinsic固有的)angularfrequencyofthesystemisdenotedby

0suchas.Therefore,wehave

Itssolutionconsistsoftwoparts:o特征:频率与驱动力的频率相同;振幅A与

、

0、

和F0有关，特别是

的函数。large

Small

0Resonance(共振):Fromthefollowingfigure,theamplitudeisgreatestwhenAconditioncalledResonance.dependingon.oApplications:(1)Allmechanicalstructureshaveoneormorenaturalangularfrequencies;(2)strengthenvibration(增强):(3)reducedvibration(减弱):AircraftdesignerEarthquake§14-5Thecompositionoftwoharmonicvibrationswiththesamedirectionandsamefrequency两个同方向同频