材料力学(第三版) 课件 第5章 弯曲应力

第5章弯曲应力5.1弯曲正应力5.2弯曲切应力简介5.3弯曲强度条件及其应用5.4提高梁弯曲强度的主要措施习题

5.1弯曲正应力

一般情况下，梁横截面上同时存在剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τdA才可能构成剪力，也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5-1(a)所示。因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ(见图5-1(b))。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为弯曲正应力与弯曲切应力。

图5-1

在图5-2(a)中，简支梁上的两个外力F对称地作用于梁的纵向对称面内，其剪力图、弯矩图如图5-2(b)、(c)所示。从图中可以看出，在AC、DB梁段内，横截面上既有剪力又有弯矩，因而既有切应力又有正应力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲；在CD段内梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，因而横截面上只有正应力而无切应力，这种弯曲称为纯弯曲。研究梁的弯曲正应力，必须从试验现象分析入手，综合考虑几何、物理与静力学三方面因素。

图5-2

5.1.1试验与假设

首先观察梁的变形。研究具有纵向对称截面的梁(如矩形截面梁)，在梁表面画出平行于轴线的纵线ab、cd以及垂直于轴线的横线11、22(见图5-3(a))，然后在梁纵向对称面内加载，使梁处于纯弯曲状态，其弯矩为M(见图5-3(b))，可观察到以下现象：

(1)梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是各横线作相对转动。

(2)纵线由直线弯成同心圆弧线，靠近梁底面的纵线伸长，靠近梁顶面的纵线缩短。

(3)原来的矩形截面，下部变窄，上部变宽。

图5-3

根据上述现象，提出以下假设：

(1)平面假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与变形后的轴线正交。在变形过程中，横截面只不过发生了“刚性”转动。

(2)单向受力假设：梁的纵向“纤维”仅发生轴向伸长或缩短，即只承受轴向拉力或压力。也就是说，纵向“纤维”之间无挤压作用。

根据平面假设，梁弯曲时上面部分纵向“纤维”缩短，下面部分纵向“纤维”伸长，由变形连续性假设可知，从伸长区到缩短区，其间必存在一层既不伸长也不缩短的过渡层，将这层长度不变的“纤维”层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴(见图5-4)。平面弯曲时，梁的变形对称于纵向对称面，故中性轴必然垂直于截面的纵向对称轴。

图5-4

5.1.2弯曲正应力的一般公式

1.几何关系

纯弯曲时梁的纵向“纤维”由直线变为圆弧，相距dx的两横截面1'1'和2'2'绕各自中性轴发生相对转动，如图5-5所示。横截面1'1'和2'2'的延长线相交于O点，O即为中性层的曲率中心。设中性层的曲率半径为ρ，此两横截面夹角为dθ，则距中性层为y处的纵向“纤维”原始长度为ab，变形后长度为a'b'。该纤维的正应变为

(a)式表明，任意点处纤维的线应变与该纤维列中性层距离成正比。

图5-5

2.物理关系

根据纵向纤维假设，各纵向“纤维”处于单向拉伸或压缩状态，因此，当正应力不超过材料的比例极限时，胡克定律成立，由此得横截面上距中性层y处的正应力为

式(b)表示了纯弯曲时梁横截面上的正应力分布规律。由此式可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y成正比，距中性轴等远的同一横线上各点处的正应力相等，中性轴上各点处的正应力均为零。正应力分布形式如图5-6(a)所示，一般可用图5-6(b)简便地表示。

图5-6

3.静力学关系

上面虽已得到正应力分布规律，但还不能用式(b)直接计算梁纯弯曲时横截面上的正应力。至此有两个问题尚未解决：

一是中性层的曲率半径ρ未知；

二是中性轴位置未知，故式(b)中的y还无法确定。要解决这两个问题，需从静平衡关系入手。

设横截面的纵向对称轴为y轴，中性轴为z轴，梁轴线为x轴，绕点(y，z)取一微面积dA，作用在其上的法向微内力为σdA(见图5-7)，横截面上各点的法向微内力σdA组成一空间平行力系，而且横截面上不存在轴力，仅存在位于x－y平面内的弯矩M，根据静平衡关系有

将式(b)代入式(c)得

式(e)中左边的积分代表横截面对z轴的静矩Sz(见附录A)。由附录A知，只有当z轴通过横截面形心时，静矩Sz才为零。由此可见，中性轴通过横截面的形心。

将式(b)代入式(d)，得

即

此式为用曲率表示的弯曲变形公式。式中

为横截面对z轴的惯性矩(见附录A)。EIz称为梁横截面的抗弯刚度。

将式(5-1)代入式(b)，可得纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式为

此式为弯曲正应力的一般公式。

5.1.3最大弯曲正应力

工程中最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面上距中性轴最远各点处的正应力。将y=ymax代入式(5-2)，可得

令

图5-8

5.1.4弯曲正应力公式的适用范围

弯曲正应力公式是在纯弯曲情况下推出的。当梁受到横向力作用时，一般横截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为横力弯曲。剪力会在横截面上引起切应力τ，从而存在切应变γ=τ/G。由于切应力沿梁截面高度变化(见下一节)，故切应变γ沿梁截面高度也是非均匀的。因此，横力弯曲时，梁的横截面不再保持平面而发生翘曲，如图5-9中的1－1截面变形后成为1'1'截面。既然如此，以平面假设为基础推导的弯曲正应力公式，在横力弯曲时就不能适用。

图5-9

例5-1图5-10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力偶Me作用，其中F=5kN，Me=7.5kN·m，试求梁上B点左邻面11上的最大弯曲正应力、该截面K点处的正应力及全梁的最大弯曲正应力。图5-10

解(1)内力分析。作出该梁的弯矩图如图5-10(b)所示，由弯矩图可知，截面1－1的弯矩为

全梁最大弯矩在梁固定端截面A处，即

(2)计算弯曲正应力。截面1－1上，图示K点弯曲正应力为

计算时，只取绝对值计算，由于该截面弯矩为负，中性轴以下部分受压，故K点为压应力。

截面1－1上最大弯曲正应力为

此梁为等截面直梁，故全梁最大弯曲正应力在最大弯矩所在截面上，其值为

σ1max、σmax均在各自截面上、下边缘处，因弯矩M1为负值，截面1－1的上边缘为拉应力，下边缘为压应力；而M

max为正值，固定端A截面的上边缘为压应力，下边缘为拉应力。

5.2弯曲切应力简介

5.2.1矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的任意横截面上，剪力FS皆与横截面的对称轴y重合(见图5-11(b))。设横截面的高度为h，宽度为b，现研究弯曲切应力在横截面上的分布规律。首先对弯曲切应力的分布作如下假定：(1)横截面各点处的切应力均平行于剪力或截面侧边。(2)切应力沿截面宽度方向均匀分布(见图5-11(b))。

图5-11

在截面高度h大于宽度b的情况下，以上述假设为基础得到的解，与精确解相比有足够的准确度。按照这两个假设，在距中性轴为y的横线pq上，各点的切应力τ都相等，且都平行于FS。再由切应力互等定理可知，在沿pq切出的平行于中性层的平面pr上，也必然有与τ相等的τ'(见图5-12)，而且τ'沿宽度b也是均匀分布的

图5-12

距中性轴为y处横线以下部分截面对中性轴z的静矩为

S*z(见图5-13)，其值为

将上式及Iz=bh3/12代入公式(5-9)，可得

上式表明：矩形截面梁的弯曲切应力沿截面高度按二次抛物线规律分布(见图5-13)。在截面上、下边缘切应力τ=0；在中性轴(y=0)处，弯曲切应力最大，其值为

式中A为横截面面积。图5-13

5.2.2圆形截面梁的弯曲切应力

由切应力互等定理可知，圆形截面梁任意横截面周边处的切应力必须与周边相切，故圆截面上切应力不可能与剪力FS平行。但圆截面梁最大弯曲切应力τmax仍在中性轴上，故

可假设中性轴上的切应力方向均平行于剪力FS，且中性轴上各点处切应力相等(见图5-14)。

仍可用式(5-9)来计算圆截面梁的最大弯曲切应力τmax，式中的宽度b此时应为圆的直径d，而S*z(ω)则为半圆截面对中性轴的静矩，其值为

圆截面梁的最大弯曲切应力为图5-14

5.2.3薄壁截面梁的弯曲切应力

工程中常采用工字形、薄壁圆环形及盒形等形状的薄壁截面梁。由于这类梁截面的壁厚比其他截面尺寸小得多，故可作如下假设：

(1)弯曲切应力平行于截面侧边。

(2)弯曲切应力沿厚度方向均匀分布。

在上述假设下，进一步可推得工字形截面梁弯曲切应力的一般公式为

最大弯曲切应力为

工字形截面梁的截面由上、下两翼缘和腹板组成(见图5-15(a))，剪力主要由腹板承担，当腹板厚度δ远小于翼缘宽度b时，腹板上的切应力可认为均匀分布，即

对于薄壁圆环形截面梁，横截面上的弯曲切应力方向沿圆环切线方向，由于壁厚δ远小于圆环平均半径R0，因此切应力沿厚度均匀分布，如图5-15(c)所示。最大弯曲切应力在截面中性轴上，其值约为

式中，A为梁横截面面积。

图5-15

5.2.4弯曲正应力与弯曲切应力的比较

现在对梁横截面上的弯曲正应力与弯曲切应力加以比较。

某矩形截面悬臂梁如图5-16所示。在自由端受集中力F作用，梁内的最大弯矩及最大剪力分别为

由式(5-5)、式(5-10)可知最大弯曲正应力与最大弯曲切应力分别为

两者的比值为

由上式可以看出，对于细长梁(l/h>5)，最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。更多的计算表明对于细长的(l/h>5)非薄壁截面梁(包括实心和厚壁截面梁)，弯曲正应力远大于弯曲切应力，强度计算时一般只考虑弯曲正应力，而不必考虑弯曲切应力的影响。图5-16

例5-2T字形梁横截面如图5-17所示，截面对中性轴z的惯性矩Iz=8.84×10-6m4，该截面上的剪力FS=15kN，平行于y轴。试计算该截面的最大弯曲切应力，以及腹板与翼缘交接处的弯曲切应力。图5-17

解(1)计算最大弯曲切应力。最大弯曲切应力发生在中

性轴z上，中性轴一侧(如下侧)部分截面对中性轴的静矩为

故最大弯曲切应力为

(2)计算腹板、翼缘交接处的弯曲切应力。由图5-17知，腹板和翼缘交接线一侧(如上侧)部分截面ω对中性轴z的静矩为

故该交接处的弯曲切应力为

5.3弯曲强度条件及其应用5.3.1弯曲正应力强度条件一般等截面直梁弯曲时，弯矩最大(包括最大正弯矩和最大负弯矩)的横截面均为梁的危险截面。如果梁的拉伸和压缩许用应力相等，则弯矩绝对值最大的截面为危险截面，最大弯曲正应力σmax发生在危险截面的上下边缘处。为了保证梁安全正常地工作，最大工作应力σmax不得超过材料的许用正应力[σ]，于是梁的弯曲正应力强度条件为

如果制成梁的材料是铸铁、陶瓷等脆性材料，其拉伸、压缩许用应力不等，则应分别求出最大正弯矩、最大负弯矩所在横截面上的最大拉应力、最大压应力，可写出抗拉强度

条件和抗压强度条件分别为

式中[σt]和[σc]分别为材料的许用拉应力和许用压应力。

进行弯曲正应力强度计算的一般步骤如下：

(1)根据梁约束的性质分析梁的受力，确定约束力。

(2)画出梁的弯矩图，确定可能的危险截面。

(3)确定可能的危险点。对于拉、压强度相同的塑性材料(如低碳钢等)，最大拉应力作用点与最大压应力作用点具有相同的危险性，通常不加区分；对于拉、压强度不同的脆性材料(如铸铁等)，最大拉应力作用点和最大压应力作用点都有可能是危险点。

(4)应用正应力强度条件进行强度计算。

5.3.2弯曲切应力强度条件

在某些特殊情形下，例如焊接或铆接的工字形等薄壁截面梁、短粗梁、支座附近有较大集中力作用的细长梁、各向异性材料制成的梁等，切应力也可能达到很大数值，致使结构发生强度失效，因而必须将梁内横截面上的最大切应力限制在许用的范围内，即

对于一般等截面直梁，τmax一般发生在FSmax作用面的中性轴上；[τ]为许用切应力。

例5-3煤气发生炉重W=500kN。炉子对称地放置在四根横梁上(见图5-18(a))。每根横梁承受载荷125kN，这四根横梁又各自搁在由两根No32a号槽钢组成的四根大梁上。大梁材料的许用弯曲正应力为[σ]=80MPa，试按弯曲正应力强度条件校核该大梁是否安全。

图5-18

例5-4图5-19(a)所示为造纸机上的实心阶梯形圆截面辊轴，中段BC受均布载荷作用。已知载荷集度q=1kN/mm，许用正应力[σ]=140MPa，试设计辊轴的截面直径。图5-19

例5-5-图5-20(a)所示梁截面为T字形，横截面对中性轴z的惯性矩Iz=26.1×106mm4，中性轴距截面上、下边缘的尺寸分别为y1=48mm，y2=142mm。梁由铸铁制成，许用拉应力[σt]=40MPa，许用压应力[σc]=110MPa，载荷及梁尺寸如图5-20(a)所示。试校核梁的强度。图5-20

解(1)计算约束力。由静平衡方程计算梁支座A、B的约束力分别为

(2)作弯矩图。绘出梁的弯矩图如图5-20(b)所示。由图可知，最大正弯矩在截面C，最大负弯矩在截面B。因为T字形截面梁不对称于中性轴z，且材料的许用拉应力与许用压应力不相等，所以B、C两截面均为危险截面，弯矩绝对值为

(3)校核强度。截面C与的弯曲正应力分布分别如图5-20(c)、(d)所示。截面C的a点与截面B的d点均为各自截面的最大压应力点；而截面C的b点与截面B的c点均为各自截面的最大拉应力点。

由于MB>MC，y2>y1，因此

即梁内最大弯曲压应力发生在截面B的d点处；而最大弯曲拉应力发生在b点处或c点处，须经计算后才能确定。所以，b、c、d三点均为危险点。

b、c、d三点处弯曲正应力的绝对值分别为

由此得

故梁满足强度要求。

例5-6图5-21(a)所示简易起重机梁，用单根工字钢制成，已知载荷F=20kN，并可沿梁轴移动(0<η<l)，梁跨度l=6m，材料许用正应力[σ]=100MPa，许用切应力[τ]=60MPa。试选择工字钢型号。图5-21

解(1)计算约束力。如图5-21(a)所示，截荷位置用坐标η表示，其支座A的约束力为

5.4提高梁弯曲强度的主要措施

梁横截面上的弯曲正应力沿高度方向呈线性分布，当距中性轴最远点处的正应力达到许用应力值时，中性轴附近各点处的正应力仍很小。因此，在距中性轴较远的位置，配置较多的材料，将提高材料的利用率。一般情况下，抗弯截面模量与截面高度的平方成正比，当截面面积A一定时，宜将较多的材料放置在距中性轴较远的位置，以增大抗弯截面模量Wz。

当截面面积一定时，圆形截面(见图5-22(a))的抗弯截面模量为

矩形截面(见图5-22(b))的抗弯截面模量为

因此从强度方面考虑，矩形截面比圆形截面更合理。图5-22

对于给定截面面积为A和高度为h的截面，最有利的情况是将材料的一半各分布在距中性轴h/2处(见图5-22(c))，其抗弯截面模量为

然而这种极限情况是不可能实现的，因为在梁中性轴附近，必须有一定的材料将两翼缘连接起来，如工字形截面就比较接近上述情况(见图5-22(d))。此外，由于弯曲切应力在中性轴附近达到最大值，腹板部分还起着抵抗剪切破坏的作用。因此，腹板必须有一定的厚度，否则会发生皱折(即局部失稳)而降低梁的承载能力。

对于许用拉应力、许用压应力不相等的脆性材料梁，采用T字形、槽形等只有一根对称轴的截面较为合理。在安装支承和施加外载荷时，应尽量使中性轴偏向截面受拉一侧，

如图5-23所示。

图5-23

2.改善梁的受力状况

提高梁强度的另一重要措施就是改善梁的受力状况，从而降低最大弯矩值。可以从两方面改善梁的受力情况，

一是改变加载方式，

二是调整梁的约束，这些都可以减小梁上的最大弯矩值。

图5-24

即后者的最大弯矩仅为前者的1/5。但是随着支座向梁的中点移动，梁中间截面上弯矩减小，而支座处截面上的弯矩却逐渐增大。支座最合理的位置是使梁中间截面上的弯矩正好等于支座处截面上的弯矩。有兴趣的读者不妨计算一下最合理的支座位置应在何处。

图5-25

例5-7为了改善载荷分布，在主梁AB上安置辅助梁CD。若主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为Wz1和Wz2，材料相同，试求a的合理长度。

解(1)画弯矩图。作主梁AB和辅助梁CD的弯矩图，分别如图5-26(a)、(b)所示。

图5-26

(2)求主梁和辅助梁中的最大正应力。

主梁的最大弯曲正应力为

辅助梁的最大弯曲正应力为

(3)求a的合理长度。最合理情况为主梁与辅助梁的最大弯曲正应力相等，即

3.采用等强度梁

通常情况下，梁内各横截面上的弯矩是不同的。在按最大弯矩所设计的等截面梁中，只有危险截面边缘处的应力达到了许用应力，而其他截面上的弯曲正应力都比许用应力小，材料未得到充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况将梁也相应设计成变截面。如果截面沿梁轴的变化，恰好使每个截面上的最大弯曲正应力均相等，且等于许用应力，则这样的变截面梁称为等强度梁。

在等强度梁中

由此可得

式中的M(x)、W(x)分别表示任意截面x的弯矩和抗弯截面模量。

根据弯矩沿梁截面的变化规律，由式(5-18)可设计出等强度梁的截面变化规律。图5-27中的汽车板簧即为近似的等强度梁。图5-27

习题题5-1图5-1题5-1图所示截面梁,弯矩位于纵向对称面(即x-y平面)内。试作出沿直线1-1与2-2的弯曲正应力分布图(C为截面形心,以下各题相同)。

5-2如题5-2图所示直径为d的金属丝绕在直径为D的轮缘上,已知材料弹性模量为E,试求金属丝中的最大弯曲正应力。题5-2图

5-3受均布载荷作用的简支梁如题5-3图所示,试计算:

(1)1-1截面上1、2两点处的弯曲正应力;

(2)此截面的最大弯曲正应力;

(3)全梁的最大弯曲正应力。题5-3图

5-4如题5-4图所示,某塔器高h=10m,塔底部用裙式支座支承。已知裙式支座的外径与塔的外径相同,而它的内径D=1000mm,壁厚t=8mm。假设塔所受均布风载荷q=468N/m。求裙式支座底部的最大弯矩和最大弯曲正应力。题5-4图

5-5-小型板框压滤机如题5-5-图所示,板、框、物料总重2.88kN,均匀分布于长600mm的范围内,由前后两根横梁AB承受。梁的直径d为57mm,梁的两端用螺栓连接,计算时可视为铰接。试求AB梁内的最大弯曲正应力。题5-5图

5-6外径为250mm、壁厚为10mm的铸铁管简支梁,跨度为12m,铸铁的密度为7.8×103kg/m3。若管中充满水,试求管内的最大弯曲正应力。

5-7梁截面如题5-7图所示,剪力FS=16kN,并位于x-z平面内。试计算该截面上的最大弯曲切应力及A点处的弯曲切应力。题5-7图

5-8圆截面外伸梁,其外伸部分是空心的,梁的受力及尺寸如题5-8图所示。已知F=10kN,q=5kN/m,许用应力[σ]=140MPa,试校核梁的强度。题5-8图

5-9双效蒸发器如题5-9图所示,每只重W=19.6kN,用四只耳式支座支承在梁上。AB、CD、AC、EG、FH和B