数列通项公式的求法

数列通项公式的求法集锦非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。累加法形如(n=2、3、4…...)且可求，则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。在数列{}中，=1，(n=2、3、4……)，求{}的通项公式。解：∵这n-1个等式累加得：=故且也满足该式∴().例2．在数列{}中，=1，(),求。解：n=1时,=1以上n-1个等式累加得==，故且也满足该式∴()。累乘法形如(n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例3．在数列{}中，=1，，求。解：由已知得，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，故且=1也适用该式∴().例4．已知数列{}满足=，，求。解：由已知得，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入上式得n-1个等式累乘，即=所以，又因为也满足该式，所以。三、构造等比数列法原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或=其中b、c为不相等的常数，为一次式。例5、（06福建理22）已知数列{}满足=1，=()，求数列{}的通项公式。解：构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列即=整理得：=使之满足=∴p=1即是首项为=2，q=2的等比数列∴==例6、（07全国理21）设数列{}的首项，=，n=2、3、4……（）求{}的通项公式。解：构造新数列，使之成为的等比数列即=整理得：=满足=得=∴p=-1即新数列首项为，的等比数列∴=故=+1例7、（07全国理22）已知数列{}中，=2，=（）求{}的通项公式。解：构造新数列，使之成为的等比数列=整理得：=+使之满足已知条件=+2∴解得∴是首项为的等比数列，由此得=∴=例8、已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含是变量，而不是常量了。故应构造新数列，其中为常数，使之为公比是的系数2的等比数列。解：构造数列，为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列即=整理得：=满足=得∴新数列是首项为=，q=2的等比数列∴=∴=例9、（07天津文20）在数列{}中，=2，=，求数列的通项。解：构造新数列，使之成为q=4的等比数列，则=整理得：=满足=，即得∴新数列的首项为，q=4的等比数列∴∴四、构造等差数列法数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出。例10．（07石家庄一模）数列{}满足且。求、、是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由。解：由==81得=33；又∵==33得=13；又∵==13，∴=5假设存在一个实数，使此数列为等差数列即===该数为常数∴=即为首项，d=1的等差数列∴=2+=n+1∴=例11、数列{}满足=()，首项为，求数列{}的通项公式。解：=两边同除以得=+1∴数列是首项为=1，d=1的等差数列∴=1+故=例12．数列{}中，=5，且（n=2、3、4……），试求数列{}的通项公式。解：构造一个新数列，为常数，使之成为等差数列，即整理得+3，让该式满足∴取，得，d=1，即是首项为，公差d=1的等差数列。故∴=例13、（07天津理21）在数列{}中，=2，且（）其中＞0，求数列{}的通项公式。解：的底数与的系数相同，则两边除以得即∴是首项为，公差d=1的等差数列。∴∴。取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。例14、已知数列{}，=，，求=？解：把原式变形得两边同除以得∴是首项为，d=的等差数列故∴。例15、（06江西理22）已知数列{}满足，且（）求数列{}的通项公式。解：把原式变形成两边同除以得即……⑴构造新数列，使其成为公比q=的等比数列即整理得：满足⑴式使∴∴数列是首项为，q=的等比数列∴∴。例16．（06江西文22）已知各项均为正数的数列{}满足：，且求数列{}的通项公式。解：把原式变形为两边同除以得移项得：所以新数列是首项为q=2的等比数列。故解关于的方程得。六．利用公式求通项有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。例17.(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{}的前n项和为满足＞1且6=n∈求{}的通项公式。解：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得=0∵＞0∴从而{}是首项为2，公差为3的等差数列，故{}的通项为=2+3(n-1)=3n-1.例18.(07陕西理22)已知各项全不为0的数列{}的前k项和为，且=(k∈)其中=1，求数列{}的通项公式。解：当k=1时，=及=1得=2；当k≥2时，由==得=2∵≠0∴=2从而=1+(m-1)2=2m-1=2+(m-1)2=2m(m∈)故=k(k∈).例19.(07福建文21)数列{}的前n项和为，=1，(n∈),求{}的通项公式。解：由=1，=2，当n≥2时==得=3，因此{}是首项为=2，q=3的等比数列。故=(n≥2),而=1不满足该式所以=。例20.(06全国Ⅰ理22)该数列{}的前n项和(n=1、2、3……)求{}的通项公式。解：由(n=1、2、3……)…①得=所以=2再=（n=2、3…）…②将①和②相减得：==整理得（n=2、3…）因而数列{}是首项为,q=4的等比数列。即==，因而。七．重新构造新方程组求通项法有时数列{}和{}的通项以方程组的形式给出，要想求出与必须得重新构造关于和的方程组，然后解新方程组求得和。例21.（07辽宁第21题）：已知数列{}，{}满足=2，=1且（）,求数列{}，{}的通项公式。解析：两式相加得则{}是首项为，d=2的等差数列，故=3+2(n-1)=2n+1…………(1)而两式相减得==则{}是首项为=1，q=的等比数列，故=…………(2)联立(1)、(2)得由此得，。分析该题条件新颖,给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列，从而再通过解方程组很顺利求出{}、{}的通项公式。若改变一下数据，又该怎样解决呢？下面给出一种通法。例22.在数列{}、{}中=2，=1，且（n∈）求数列{}和{}的通项公式。解析：显然再把与做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列{}其中为的常数。则==+=令得=2或=3则{}为首项，q=+2的等比数列。即=2时，{}是首项为4，q=4的等比数列，故=4×=；=3时，{}是首项为5，q=5的等比数列，故=5×=联立二式解得，。注：该法也可适用于例21，下面给出例21的该种解法解：构造新数列{}，则=++=令得=1或=即=1时，新数列{}中，=∴（）新数列{}是首项为，d=2的等差数列∴==………(1)当=时，新数列{}是首项为=1，q=的等比数列∴=………