全等三角形培优

...wd......wd......wd...2017年初中数学试卷一、综合题〔共32题；共413分〕1、如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB，AE〔AB＜AE〕在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE，DG．(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；(2)如图3，如果α=45°，AB=2，AE=3．①求BE的长；②求点A到BE的距离；(3)当点C落在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数．2、〔2015•恩施州〕矩形AOCD绕顶点A〔0，5〕逆时针方向旋转，当旋转到如以以下图的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4．(1)求AD的长；(2)求阴影局部的面积和直线AM的解析式；(3)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；(4)在抛物线上是否存在点P，使S△PAM=假设存在，求出P点坐标；假设不存在，请说明理由．3、〔2016•安徽〕如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．(1)求证：△PCE≌△EDQ；(2)延长PC，QD交于点R．①如图1，假设∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，假设△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．4、〔2016•成都〕如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．(1)求证：BD=AC；(2)将△BHD绕点H旋转，得到△EHF〔点B，D分别与点E，F对应〕，连接AE．①如图②，当点F落在AC上时，〔F不与C重合〕，假设BC=4，tanC=3，求AE的长；②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．5、〔2016•重庆〕在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．(1)假设AB=2，求BC的长；(2)如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG；(3)如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．6、〔2016•达州〕△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点〔点D不与B，C重合〕，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．(1)观察猜测如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：________．②BC，CD，CF之间的数量关系为：________；〔将结论直接写在横线上〕(2)数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立假设成立，请给予证明；假设不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．假设AB=2，CD=BC，请求出GE的长．7、〔2016•舟山〕我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形〞(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α〔0°＜∠α＜∠BAC〕得到Rt△AB′D′〔如图3〕，当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．8、〔2016•贵港〕如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②假设BE=2，DF=3，求AH的长．(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜测：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系并说明理由．9、〔2016•义乌〕对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2的单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P〔2，3〕经1次斜平移后的点的坐标为〔3，5〕，点A的坐标为〔1，0〕．(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C．①假设A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形请说明理由．②假设点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为〔7，6〕，求出点B的坐标及n的值．10、〔2016•衢州〕如图1，在直角坐标系xoy中，直线l：y=kx+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是〔2，2〕，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C，点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD或轴对称的△BC′D．(1)当∠CBD=15°时，求点C′的坐标．(2)当图1中的直线l经过点A，且k=﹣时〔如图2〕，求点D由C到O的运动过程中，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠局部的面积．(3)当图1中的直线l经过点D，C′时〔如图3〕，以DE为对称轴，作于△DOE或轴对称的△DO′E，连结O′C，O′O，问是否存在点D，使得△DO′E与△CO′O相似假设存在，求出k、b的值；假设不存在，请说明理由．11、〔2016•葫芦岛〕如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上〔且不与点A，C重合〕，在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．(1)请直接写出线段AF，AE的数量关系________；(2)将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；(3)在图②的根基上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断〔2〕问中的结论是否发生变化假设不变，结合图③写出证明过程；假设变化，请说明理由．12、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．(1)如图1，假设A，B两点的坐标分别是A〔0，4〕，B〔﹣2，0〕，求C点的坐标；(2)如图2，作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，过C点作CE⊥BD于点E，求证：CE=BD；(3)如图3，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，当点P运动时，点Q是否恒在射线BD上假设在，请证明；假设不在，请说明理由．13、如图，△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等(2)假设点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过________后，点P与点Q第一次在△ABC的________边上相遇〔在横线上直接写出答案，不必书写解题过程〕14、如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．〔提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角〕(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时〔与点B不重合〕，如图2，线段CF，BD所在直线的位置关系为________，线段CF，BD的数量关系为________；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；(2)如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足________条件时，CF⊥BC〔点C，F不重合〕，不用说明理由．15、如图，△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．(1)当A，B，C三点在同一直线上时〔如图1〕，求证：M为AN的中点；(2)将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时〔如图2〕，求证：△ACN为等腰直角三角形；(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，〔2〕中的结论是否仍成立假设成立，试证明之，假设不成立，请说明理由．16、：等腰△ABC中，AB=AC，点D是直线AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，∠CAE的角平分线所在的直线交BE于F，连结CF．(1)如图1，当点D在线段AC上时，求证：∠ABE=∠ACF；(2)如图2，当∠ABC=60°且点D在线段AC上时，求证：AF+EF=FB．〔提示：将线段FB拆分成两局部〕(3)①如图3，当∠ABC=45°其点D在线段AC上时，线段AF、EF、FB仍有〔2〕中的结论吗假设有，加以证明；假设没有，则有若何的数量关系，直接写出答案即可．②如图4，当∠ABC=45°且点D在CA的延长线时，请你按题意将图形补充完成．并直接写出线段AF、EF、FB的数量关系．17、〔2016•金华〕在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为〔﹣6，0〕．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．(1)如图2，假设α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．(2)假设α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．(3)当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1假设能，求点P的坐标；假设不能，试说明理由18、在图中，正方形AOBD的边AO，BO在坐标轴上，假设它的面积为16，点M从O点以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，当M到达B点时，运动停顿．连接AM，过M作AM⊥MF，且满足AM=MF，连接AF交BD于E点，过F作FN⊥x轴于N，连接ME．设点M运动时间为t〔s〕．(1)直接写出点D和M的坐标〔可用含t式子表示〕；(2)当△MNF面积为时，求t的值；(3)△AME能否为等腰三角形假设不能请说明理由；假设能，求出t的值．19、如以以下图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点〔不与点A、点D重合〕将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．(1)求证：∠APB=∠BPH；(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化并证明你的结论；(3)设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值假设存在，求出这个最小值；假设不存在，请说明理由．20、点P是Rt△ABC斜边AB上一动点〔不与A，B重合〕，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F．(1)如图1，当点P为AB的中点时，连接AF，BE．求证：四边形AEBF是平行四边形；(2)如图2，当点P不是AB的中点，取AB的中点Q，连接EQ，FQ．试判断△QEF的形状，并加以证明．21、图1是边长分别为4和2的两个等边三角形纸片ABC和OD′E′叠放在一起〔C与O重合〕．(1)操作：固定△ABC，将△ODE绕点C顺时针旋转30°，后得到△ODE，连接AD、BE、CE的延长线交AB于F〔图2〕：探究：在图2中，线段BE与AD之间有若何的大小关系试证明你的结论．(2)在〔1〕的条件下将△ODE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，当点P与点F重合时停顿运动〔图3〕．探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠局部的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．(3)将图1中△ODE固定，把△ABC沿着OE方向平移，使顶点C落在OE的中点G处，设为△ABG，然后奖△ABG绕点G顺时针旋转，边BG交边DE于点M，边AG交边DO于点N，设∠BGE=α〔30°＜α＜90°〕〔图4〕．探究：在图4中，线段ON•EM的值是否随α的变化而变化如果没有变化，请你求出ON•EM的值，如果有变化，请你说明．22、如图〔1〕，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是AD的中点，N是BC延长线上一点，连结PN，过点P作PN的垂线，交AB于点E，交CD的延长线于点F，连结EN，FN，设CN=x，AE=y．(1)求证：PE=PF；(2)当0＜x＜时，求y关于x的函数表达式；(3)假设将“矩形ABCD〞变为“菱形ABCD〞，如图〔2〕，AB=BC=4，∠B=60°，当0＜x＜3时，其它条件不变，求此时y关于x的函数表达式．23、分别以▱ABCD〔∠CDA≠90°〕的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．(1)如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系〔只写结论，不需证明〕；(2)如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，〔1〕中结论还成立吗假设成立，给出证明；假设不成立，说明理由．24、如图1，等边△ABC边长为6，AD是△ABC的中线，P为线段AD〔不包括端点A、D〕上一动点，以CP为一边且在CP左下方作如以以下图的等边△CPE，连结BE．(1)点P在运动过程中，线段BE与AP始终相等吗说说你的理由；(2)假设延长BE至F，使得CF=CE=5，如图2，问：①求出此时AP的长；②当点P在线段AD的延长线上时，判断EF的长是否为定值，假设是请直接写出EF的长；假设不是请简单说明理由．25、如图1，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．(1)试说明OE=OF；(2)如图2，假设点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF〞还成立吗如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由．26、如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A〔4，4〕(1)求B点坐标；(2)如图2，假设C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°连OD，求∠AOD的度数；(3)如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AM=FM+OF是否成立假设成立，请证明：假设不成立，说明理由．27、如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．(1)求证：AD=AG；(2)AD与AG的位置关系若何，请说明理由．28、如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．(1)求证：BD=AE；(2)如图2，假设M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．29、A〔0，2〕，B〔4，0〕．(1)如图1，连接AB，假设D〔0，﹣6〕，DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM=AB，连接AM，试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，在〔1〕的条件下，假设N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN=AP，连接PN交y轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，△MQH的面积是否为定值假设是，请求出这个值；假设不是，请说明理由．30、如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停顿运动，设运动时间为t．(1)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有S△AED=2S△DGC．(2)当t取何值时，△DFE与△DMG全等．31、如图，在平面直角坐标系中，A，B，C为坐标轴上的三点，且OA=OB=OC=4，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点G，△ABD的面积为8．过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．(1)求D点的坐标；(2)求证：OF=OG；(3)在第一象限内是否存在点P，使得△CFP为等腰直角三角形假设存在，请求出点P的坐标，假设不存在，请说明理由．32、在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停顿旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N〔如图〕．(1)旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；(2)试证明旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；(3)折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化假设发生变化，说明理由；假设不发生变化，请给予证明，并求出p的值．二、填空题〔共8题；共8分〕33、〔2015•贺州〕如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点〔不与B，C重合〕，∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是

________〔填入正确结论的序号〕.34、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE，BC的延长线相交于点F，假设AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是________

.35、〔2016•宜宾〕如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点〔不含B、C两点〕，将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有________〔写出所有正确结论的序号〕①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4﹣4．36、如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则以下结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是________．37、：如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B，D，E在同一直线上，AF⊥BE于点F，那么线段BE，CE，AF三者之间的数量关系是________．38、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，以下四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是________．39、如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图放置，顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，则△ABC的面积为________．40、如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，点F在线段AG上，延长DA至点E，使AE=AF，连接EG，CG，DF，假设EG=DF，点G在AC的垂直平分线上，则的值为________三、解答题〔共10题；共50分〕41、如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P是边BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，连结AP，作PFAP交DCE的平分线CF上一点F，连结AF交边CD于点G．〔1〕求证：AP=PF；〔2〕设点P到点B的距离为x，线段DG的长为y，试求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；〔3〕当点P是线段BC延长线上一动点，那么〔2〕式中y与x的函数关系式保持不变吗如改变，试直接写出函数关系式．42、〔2014•本溪〕如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．〔1〕如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；〔2〕当∠BAE≠90°时，〔1〕的结论是否成立请结合图②说明理由．43、〔2014•朝阳〕Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点〔1〕如图1，当=且PE⊥AC时，求证：=；〔2〕如图2，当=1时〔1〕的结论是否仍然成立为什么〔3〕在〔2〕的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF=α〔0°＜α＜90°〕．连结EF，当△CEF的周长等于2+时，请直接写出α的度数．44、〔2014•大连〕如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE．〔1〕图1中是否存在与∠BDE相等的角假设存在，请找出，并加以证明，假设不存在，说明理由；〔2〕求证：BE=EC；〔3〕假设将“点D在BA的延长线上，点E在BC上〞和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE〞分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上〞和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=kFE〞，其他条件不变〔如图2〕．当AB=1，∠ABC=a时，求BE的长〔用含k、a的式子表示〕．45、〔2014•丹东〕在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ〔0°＜θ＜90°〕，连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．〔1〕如图1，假设四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1．②请直接写出AC1与BD1的位置关系．〔2〕如图2，假设四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．〔3〕如图3，假设四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1．请直接写出k的值和AC12+〔kDD1〕2的值．46、〔2014•阜新〕，在矩形ABCD中，连接对角线AC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG，并将它沿直线AB向左平移，直线EG与BC交于点H，连接AH，CG．〔1〕如图①，当AB=BC，点F平移到线段BA上时，线段AH，CG有若何的数量关系和位置关系直接写出你的猜测；〔2〕如图②，当AB=BC，点F平移到线段BA的延长线上时，〔1〕中的结论是否成立，请说明理由；〔3〕如图③，当AB=nBC〔n≠1〕时，对矩形ABCD进展如同样的变换操作，线段AH，CG有若何的数量关系和位置关系直接写出你的猜测．47、〔2014•锦州〕〔1〕正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图①，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC′与CD交于点M，OB′与BC交于点N，请猜测线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜测．〔2〕如图②‚，将〔1〕中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′，连接AO′、DC′，请猜测线段AO′与DC′的数量关系，并证明你的猜测．〔3〕如图③ƒ，矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出的值〔用α的三角函数表示〕．48、〔2014•辽阳〕〔1〕如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜测直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜测．〔2〕假设将〔1〕中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．49、〔2014•盘锦〕，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上〔P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧〕，PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．〔1〕如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．①求证：DG=2PC；②求证：四边形PEFD是菱形；〔2〕如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜测四边形PEFD是若何的特殊四边形，并证明你的猜测．50、〔2014•铁岭〕如图，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为直线BD上的动点〔点E不与点B和点D重合〕，直线CE绕C点顺时针旋转60°与直线AD相交于点F，连接EF．〔1〕如图①，当点E在线段BD上时，∠CEF=度；〔2〕如图②，当点E在BD延长线上时，试判断∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系，并说明理由；〔3〕如图③，假设四边形ABCD为平行四边形，∠DBC=∠DCB=45°，E为直线BD上的动点〔点E不与点B和点D重合〕，射线CE绕C点顺时针旋转45°与直线AD相交于点F，连接EF，探究∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系．〔直接写出结果〕答案解析局部一、综合题1、【答案】〔1〕解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，又∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，∴∠BAE=∠DAG．在△ABE与△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG〔SAS〕，∴BE=DG〔2〕解：①如图1，作BN⊥AE于点N，∵∠BAN=45°，AB=2，∴AN=BN=．在△BEN中，∵BN=，NE=3﹣，∴BE=；②如图1，作AM⊥BE于点M，则S△ABE=AE•BN=×3×=．又∵S△ABE=BE•AM=××AM=，∴AM=，即点A到BE的距离〔3〕解：解：①如图2，连接AC，AF，CF，∵四边形ABCD与AEFG是正方形，∴∠ACD=∠AFE=45°，∵∠DCE=90°∴点A，C，E，F四点共圆，∵∠AEF是直角，∴AF是直径，∴∠ACF=90°，∵∠ACD=45°，∴∠FCD=45°②如图3，连接AC，AF，FG，CG由〔1〕知∵△ABE≌△ADG，∴∠ABE=∠ADG=90°，∴DG和CG在同一条直线上，∴∠AGD=∠AGC=∠BAG，∵四边形ABCD与AEFG是正方形，∴∠BAC=∠FAG=45°，∴∠BAG+∠GAC=45°，∠BAG+∠BAF=45°，∴∠AGD+∠GAC=45°，∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°，∴点A，C，G，F四点共圆，∵∠AGF是直角，∴AF是直径，∴∠ACF=90°，∴∠FCD=90°+45°=135°综上所述，∠FCD的度数为45°或135°．【考点】全等三角形的应用，旋转的性质【解析】【分析】〔1〕根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再根据余角的性质，可得∠BAE=∠DAG，然后利用“SAS〞证明△ABE≌△ADG，根据全等三角形对应边相等证明即可；〔2〕①作BN⊥AE于点N，根据勾股定理得出AN=BN=，在△BEN中，根据勾股定理即可得出结论；②作AM⊥BE于点M，根据S△ABE=AE•BN=BE•AM=3即可得出结论；〔3〕分两种情况：①E在BC的右边，连接AC，AF，CF，利用点A，C，E，F四点共圆求解，②E在BC的左边，连接AC，AF，FG，CG，首先确定DG和CG在同一条直线上，再利用点A，C，G，F四点共圆求解．2、【答案】〔1〕解：作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，∵矩形AOCD绕顶点A〔0，5〕逆时针方向旋转得到矩形ABEF，∴AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，∵∠PBQ=90°，∴∠ABP=∠MBQ，∴Rt△ABP∽Rt△MBQ，∴，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，BM=x+y﹣2，∴，∴PB•MQ=xy，∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，∴〔PB﹣MQ〕2=1，即PB2﹣2PB•MQ+MQ2=1，∴52﹣y2﹣2xy+〔x+y﹣2〕2﹣x2=1，解得x+y=7，∴BM=5，∴BE=BM+ME=5+2=7，∴AD=7；〔2〕解：∵AB=BM，∴Rt△ABP≌Rt△MBQ，∴BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，∵BQ2+MQ2=BM2，∴〔7﹣MQ〕2+MQ2=52，解得MQ=4〔舍去〕或MQ=3，∴BQ=7﹣3=4，∴S阴影局部=S梯形ABQD﹣S△BQM=×〔4+7〕×4﹣×4×3=16；设直线AM的解析式为y=kx+b，把A〔0，5〕，M〔7，4〕代入得，解得，∴直线AM的解析式为y=﹣x+5；〔3〕解：设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵AP=MQ=3，BP=DQ=4，∴B〔3，1〕，而A〔0，5〕，D〔7，5〕，∴，解得，∴经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=x2﹣x+5；〔4〕解：当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2设P〔x，﹣x+5〕，则K〔x，﹣x+5〕，则KP=﹣+x，根据三角形面积公式可得到•〔﹣x2+x〕•7=，解得x1=3，x2=，于是得到此时P点坐标为〔3，1〕、〔，〕；再求出过点〔3，1〕与〔，〕的直线l的解析式为y=﹣x+，则可得到直线l与y轴的交点A′的坐标为〔0，〕，所以AA′=，然后把直线AM向上平移个单位得到l′，直线l′与抛物线的交点即为P点，由于A″〔0，〕，则直线l′的解析式为y=﹣x+，再通过解方程组得P点坐标为(3,1)、〔〕、〔〕、〔〕．【考点】一次函数图象与几何变换，二次函数图象与几何变换【解析】【解答】〔1〕作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，根据旋转的性质得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可证明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，所以BM=x+y﹣2，利用比例性质得到PB•MQ=xy，而PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，利用完全平方公式和勾股定理得到52﹣y2﹣2xy+〔x+y﹣2〕2﹣x2=1，解得x+y=7，则BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7；〔2〕由AB=BM可判断Rt△ABP≌Rt△MBQ，则BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，利用勾股定理得到〔7﹣MQ〕2+MQ2=52，解得MQ=4〔舍去〕或MQ=3，则BQ=4，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影局部=S梯形ABQD﹣S△BQM进展计算即可；然后利用待定系数法求直线AM的解析式；〔3〕先确定B〔3，1〕，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；〔4〕当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2设P〔x，﹣x+5〕，则K〔x，﹣x+5〕，则KP=﹣+x，根据三角形面积公式得到•〔﹣x2+x〕•7=，解得x1=3，x2=，于是得到此时P点坐标为〔3，1〕、〔，〕；再求出过点〔3，1〕与〔，〕的直线l的解析式为y=﹣x+，则可得到直线l与y轴的交点A′的坐标为〔0，〕，所以AA′=，然后把直线AM向上平移个单位得到l′，直线l′与抛物线的交点即为P点，由于A″〔0，〕，则直线l′的解析式为y=﹣x+，再通过解方程组得P点坐标．【分析】此题考察了一次函数和二次函数与几何变换，涉及图形旋转，相似三角形，待定系数法求解析式等相关知识点。3、【答案】〔1〕证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，∴DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∴∠OCE=∠ODE，∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，∴∠PCO=∠QDO=90°，∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ，∵PC=AO=OC=ED，CE=OD=OB=DQ，在△PCE与△EDQ中，，∴△PCE≌△EDQ；〔2〕解：①如图2，连接RO，∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，∴AP=OR=RB，∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，∴∠CRD=30°，∴∠ARB=60°，∴△ARB是等边三角形；②由〔1〕得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°，∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB=∠PEQ=90°，∴∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD=∠ARB=45°，∴∠MON=135°，此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB=90°，∴AB=2PE=2×PQ=PQ，∴=【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】〔1〕根据三角形中位线的性质得到DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE=∠ODE，根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO=∠QDO=90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC=ED，CE=DQ，即可得到结论〔2〕①连接RO，由于PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，得到AP=OR=RB，由等腰三角形的性质得到∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，根据四边形的内角和得到∠CRD=30°，即可得到结论；②由〔1〕得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，推出∠PEQ=∠ACR=90°，证得△PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到ARB=∠PEQ=90°，根据四边形的内角和得到∠MON=135°，求得∠APB=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论．此题考察了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．4、【答案】〔1〕证明：在Rt△AHB中，∠ABC=45°，∴AH=BH，在△BHD和△AHC中，，∴△BHD≌△AHC，∴BD=AC，〔2〕解：①如图，在Rt△AHC中，∵tanC=3，∴=3，设CH=x，∴BH=AH=3x，∵BC=4，∴3x+x=4，∴x=1，∴AH=3，CH=1，由旋转知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，∴∠EHA=∠FHC，，∴△EHA≌△FHC，∴∠EAH=∠C，∴tan∠EAH=tanC=3，过点H作HP⊥AE，∴HP=3AP，AE=2AP，在Rt△AHP中，AP2+HP2=AH2，∴AP2+〔3AP〕2=9，∴AP=，∴AE=；②由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，∴∠GAH=∠HCG=90°，∴△AGQ∽△CHQ，∴，∴，∵∠AQC=∠GQE，∴△AQC∽△GQH，∴=sin30°=【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质【解析】【分析】〔1〕先判断出AH=BH，再判断出△BHD≌△AHC即可；〔2〕①先根据tanC=3，求出AH=3，CH=1，然后根据△EHA≌△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，最后用勾股定理即可；②先判断出△AGQ∽△CHQ，得到，然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可．此题是几何变换综合题，主要考察了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解此题的关键是相似三角形性质和判定的运用．5、【答案】〔1〕解：如图1中，过点A作AH⊥BC于H．∴∠AHB=∠AHC=90°，在RT△AHB中，∵AB=2，∠B=45°，∴BH=AB•cosB=2×=2，AH=AB•sinB=2，在RT△AHC中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=4，CH=AC•cosC=2，∴BC=BH+CH=2+2〔2〕证明：如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°，在△DAF和△GAE中，，∴△DAF≌△GAE，∴AD=AG，∴∠BAP=90°=∠DAG，∴∠BAD=∠PAG，∵∠B=∠APB=45°，∴AB=AP，在△ABD和△APG中，，∴△ABD≌△APG，∴BD=PG，∠B=∠APG=45°，∴∠GPB=∠GPC=90°，∵∠C=30°，∴PG=GC，∴BD=CG．〔3〕解：如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，在RT△AHC中，∵∠ACH=30°，∴AC=2AH，∴AH=AP，在RT△AHD和RT△APG中，，∴△AHD≌△APG，∴∠DAH=∠GAP，∵GM⊥AC，PA=PC，∴MA=MC，∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，∴∠DAM=∠GAM=45°，∴∠DAH=∠GAP=15°，∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°，作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=a，AD=2a，∴==，∵AG=CG=AD，∴=【考点】全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定【解析】【分析】〔1〕如图1中，过点A作AH⊥BC于H，分别在RT△ABH，RT△AHC中求出BH、HC即可．〔2〕如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，由△ABD≌△APG推出BD=PG，再利用30度角性质即可解决问题．〔3〕如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK=a，AD=2a，只要证明∠BAD=30°即可解决问题．此题考察相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，属于中考压轴题．6、【答案】〔1〕垂直；BC=CF+CD〔2〕证明：成立，∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，CF=BD∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD〔3〕解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AB=4，AH=BC=2，∴CD=BC=1，CH=BC=2，∴DH=3，由〔2〕证得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，在△ADH与△DEM中，，∴△ADH≌△DEM，∴EM=DH=3，DM=AH=2，∴CN=EM=3，EN=CM=3，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=1，∴EG==．【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质【解析】【解答】解：〔1〕①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；故答案为：垂直；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；故答案为：BC=CF+CD；【分析】〔1〕①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；〔2〕根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论〔3〕根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．此题考察了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．7、【答案】〔1〕矩形或正方形〔2〕解：AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB〔SAS〕，∴AC=BD；〔3〕解：分两种情况考虑：〔i〕当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3〔i〕所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，设EB=ED′=x，由勾股定理得：42+〔3+x〕2=〔4+x〕2，解得：x=4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴，即，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×〔3+4.5〕=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；〔ii〕当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3〔ii〕所示，∴四边形ECBD′是矩形，∴ED′=BC=3，在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE==，∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=〔4﹣〕×3=12﹣3，则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】〔1〕矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形〞条件；〔2〕AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；〔3〕分两种情况考虑：〔i〕当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3〔i〕所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；〔ii〕当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3〔ii〕所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．此题属于几何变换综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂直平分线定理，等腰三角形性质，以及矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解此题的关键．8、【答案】〔1〕解：①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即〔x﹣2〕2+〔x﹣3〕2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．〔2〕解：如以以下图：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM′，∴MN2=ND2+BM2．【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，旋转的性质【解析】【分析】此题主要考察的是四边形的综合应用，解答此题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．〔1〕①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来在证明∠GAE=∠FAE，然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可；②由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，接下来，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可；〔2〕将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′2=ND2+DM′2，接下来证明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′证明即可．9、【答案】〔1〕解：∵点P〔2，3〕经1次斜平移后的点的坐标为〔3，5〕，点A的坐标为〔1，0〕，∴点A经1次平移后得到的点的坐标为〔2，2〕，点A经2次平移后得到的点的坐标〔3，4〕〔2〕解：①连接CM，如图1：由中心对称可知，AM=BM，由轴对称可知：BM=CM，∴AM=CM=BM，∴∠MAC=∠ACM，∠MBC=∠MCB，∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°，∴∠ACM+∠MCB=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图2：∵A〔1，0〕，C〔7，6〕，∴AF=CF=6，∴△ACF是等腰直角三角形，由①得∠ACE=90°，∴∠AEC=45°，∴E点坐标为〔13，0〕，设直线BE的解析式为y=kx+b，∵C，E点在直线上，可得：，解得：，∴y=﹣x+13，∵点B由点A经n次斜平移得到，∴点B〔n+1，2n〕，由2n=﹣n﹣1+13，解得：n=4，∴B〔5，8〕．【考点】待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，中心对称及中心对称图形【解析】【分析】此题考察几何变换问题，关键是根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定分析，同时根据待定系数法得出直线的解析式解答．〔1〕根据平移的性质得出点A平移的坐标即可；〔2〕①连接CM，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可；②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．10、【答案】〔1〕解：∵△CBD≌△C′BD，∴∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，∴∠CBC′=30°，如图1，作C′H⊥BC于H，则C′H=1，HB=，∴CH=2﹣，∴点C′的坐标为：〔2﹣，1〕〔2〕解：如图2，∵A〔2，0〕，k=﹣，∴代入直线AF的解析式为：y=﹣x+b，∴b=，则直线AF的解析式为：y=﹣x+，∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，∵在点D由C到O的运动过程中，BC′扫过的图形是扇形，∴当D与O重合时，点C′与A重合，且BC′扫过的图形与△OAF重合局部是弓形，当C′在直线y=﹣x+上时，BC′=BC=AB，∴△ABC′是等边三角形，这时∠ABC′=60°，∴重叠局部的面积是：﹣×22=π﹣〔3〕解：如图3，设OO′与DE交于点M，则O′M=OM，OO′⊥DE，假设△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，在点D由C到O的运动过程中，△COO′中显然只能∠CO′O=90°，∴CO′∥DE，∴CD=OD=1，∴b=1，连接BE，由轴对称性可知C′D=CD，BC′=BC=BA，∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°，在Rt△BAE和Rt△BC′E中∵，∴Rt△BAE≌Rt△BC′E〔HL〕，∴AE=C′E，∴DE=DC′+C′E=DC+AE，设OE=x，则AE=2﹣x，∴DE=DC+AE=3﹣x，由勾股定理得：x2+1=〔3﹣x〕2，解得：x=，∵D〔0，1〕，E〔，0〕，∴k+1=0，解得：k=﹣，∴存在点D，使△DO′E与△COO′相似，这时k=﹣，b=1．【考点】待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似图形【解析】【分析】〔1〕利用翻折变换的性质得出∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，进而得出CH的长，进而得出答案；〔2〕首先求出直线AF的解析式，进而得出当D与O重合时，点C′与A重合，且BC′扫过的图形与△OAF重合局部是弓形，求出即可；〔3〕根据题意得出△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，进而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E〔HL〕，再利用勾股定理求出EO的长进而得出答案．11、【答案】〔1〕AF=AE〔2〕解：如图②中，结论：AF=AE．理由：连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE，∵∠DKC=∠C，∴DK=DC，∵DF=AB=AC，∴KF=AD，在△EKF和△EDA中，，∴△EKF≌△EDA，∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE〔3〕解：如图③中，结论不变，AF=AE．理由：连接EF，延长FD交AC于K．∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC，∠ACE=〔90°﹣∠KDC〕+∠DCE=135°﹣∠KDC，∴∠EDF=∠ACE，∵DF=AB，AB=AC，∴DF=AC在△EDF和△ECA中，，∴△EDF≌△ECA，∴EF=EA，∠FED=∠AEC，∴∠FEA=∠DEC=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：〔1〕如图①中，结论：AF=AE．理由：∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE．故答案为AF=AE．【分析】〔1〕如图①中，结论：AF=AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．〔2〕如图②中，结论：AF=AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．〔3〕如图③中，结论不变，AF=AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可．此题考察四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．12、【答案】〔1〕解：如图1中，作CM⊥OA垂足为M，∵∠AOB=∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAM=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠CAM，在△ABO和△CAM中，，∴△ABO≌△CAM，∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO﹣AM=2，∴点C坐标〔4，2〕〔2〕证明：如图2，延长CE，BA相交于点F，∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠EBF=∠ACF，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF〔ASA〕，∴BD=CF，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE〔ASA〕，∴CE=EF，∴CE=BD〔3〕解：结论：点Q恒在射线BD上，理由如下：如图3中作QE⊥PF，QG⊥FC，QH⊥PC，QM⊥BP，QN⊥BC，垂足分别为E、G、H、M、N．在四边形QMBN中，∵∠QMB=∠QNB=90°，∴∠MQN=180°﹣∠ABC=135°，同理可证：∠HQG=135°，∴∠MQN=∠HQG，∴∠MQH=∠GQN，∵PQ平分∠FPC，QF平分∠PFC，QE⊥PF，QH⊥PC，QG⊥FC，∴QE=QH=QG，∠QPH=∠CPF=22.5°，∵∠PMQ=∠PHQ=90°，∴M、H、Q、P四点共圆，∴∠HMP=∠HPQ=22.5°，同理∠QNG=22.5°，∴∠FMQ=∠QNG，在△MHQ和△NGQ中，，∴△MHQ≌△NGQ，∴QM=QN，∵QM⊥BP，QN⊥BC，∴BQ平分∠ABC，∴点Q恒在射线BD上【考点】全等三角形的性质【解析】【分析】〔1〕要求点C坐标，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性质求出OM、CM即可；〔2〕延长CE、BA相交于点F．可以证明Rt△ABD≌Rt△ACF，再证明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出结论；〔3〕点Q是否恒在射线BD上，只要证明QM=QN，只要证明△M，HQ≌△NGQ即可．13、【答案】〔1〕解：①全等，理由如下：∵t=1秒，∴BP=CQ=1×1=1厘米，∵AB=6cm，点D为AB的中点，∴BD=3cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm，∴PC=4﹣1=3cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP；②假设△BPD≌△CQP，∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，∴点P，点Q运动的时间t==2秒，∴vQ===1.5cm/s〔2〕24秒；AC【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：〔2〕设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1.5x=x+2×6，解得x=24，∴点P共运动了24s×1cm/s=24cm．∵24=2×12，∴点P、点Q在AC边上相遇，∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．【分析】〔1〕①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；〔2〕根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．14、【答案】〔1〕垂直；相等〔2〕45°【考点】全等三角形的性质，全等三角形的判定【解析】【解答】解：〔1〕①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是：如图2，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∴∠DAC+∠CAF=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，且∠B=∠ACB=45°，∴∠CAF=∠BAD，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即∠BCF=90°，∴BC⊥CF，即BD⊥CF；故答案为：垂直，相等；②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：如图3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=∠ABC=45°∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；〔2〕当∠BCA=45°时，CF⊥BD，理由是：如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，∵∠BCA=45°，∴∠AQC=45°，∴∠AQC=∠BCA，∴AC=AQ，∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°，∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，∴∠QAD=∠CAF，∴△QAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AQD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．【分析】〔1〕①证明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，则∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD与CF相等且垂直；②①的结论仍成立，同理证明△DAB≌△FAC，可得结论：垂直且相等；〔2〕当∠ACB满足45°时，CF⊥BC；如图4，作辅助线，证明△QAD≌△CAF，即可得出结论．15、【答案】〔1〕证明：如图1，∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵点M为DE的中点，∴DM=EM．在△ADM和△NEM中，∴．∴△ADM≌△NEM．∴AM=MN．∴M为AN的中点〔2〕证明：如图2，∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM〔已证〕，∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形〔3〕△ACN仍为等腰直角三角形．证明：如图3，延长AB交NE于点F，∵AD∥NE，M为中点，∴易得△ADM≌△NEM，∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．∵AD∥NE，∴AF⊥NE，在四边形BCEF中，∵∠BCE=∠BFE=90°∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°∵∠FBC+∠ABC=180°∴∠ABC=∠FEC在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，多边形内角与外角，等腰直角三角形【解析】【分析】〔1〕由EN∥AD和点M为DE的中点可以证到△ADM≌△NEM，从而证到M为AN的中点．〔2〕易证AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．〔3〕延长AB交NE于点F，易得△ADM≌△NEM，根据四边形BCEF内角和，可得∠ABC=∠FEC，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．16、【答案】〔1〕证明：如图1，∵AF平分∠CAE，∴∠EAF=∠CAF，∵AB=AC，AB=AE，∴AE=AC，在△ACF和△AEF中，，∴△ACF≌△AEF〔SAS〕，∴∠E=∠ACF，∵AB=AE，∴∠E=∠ABE，∴∠ABE=∠ACF〔2〕证明：在FB上截取BM=CF，连接AM，如图2，∵△ACF≌△AEF，∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，在△ABM和△ACF中，，∴△ABM≌△ACF〔SAS〕，∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，∵AM=AF，∴△AMF为等边三角形，∴AF=AM=MF，∴AF+EF=BM+MF=FB，即AF+EF=FB〔3〕证明：①线段AF、EF、FB不是〔2〕中的结论，线段AF、EF、FB的数量关系为AF+EF=FB，理由如下：在FB上截取BM=CF，连接AM，如图3，∵△ACF≌△AEF，∴EF=CF=BM，∠E=∠ACF=∠ABM，在△ABM和△ACF中，，∴△ABM≌△ACF〔SAS〕，∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，∵AB=AC，∠ABC=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=90°，∵AM=AF，∴△AMF为等腰直角三角形，∴MF=AF，∴FB=BM+MF=EF+AF，即AF+EF=FB；②如图4，在CF上截取CG=BF，连接AG，在△AFE和△AFC中，，∴△AFE≌△AFC〔SAS〕，∴FE=FC，∠FEA=∠FCA，∵AB=AE，∴∠ABF=∠AEF=∠ACF，在△ABF和△ACG中，，∴△ABF≌△ACG〔SAS〕，∴AG=AF，∠FAB=∠GAC，∵AB=AC，∠ABC=45°，∴∠BAC=90°，∴FAG=90°，∴△AFG是等腰直角三角形，∴FG=AF，∵CF=CG+GF，∴CF=BF+AF，∴EF=BF+AF【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质【解析】【分析】〔1〕证△EAF≌△CAF，推出EF=CF，∠E=∠ACF，根据等腰三角形性质推出∠E=∠ABE，即可得出答案；〔2〕在FB上截取BM=CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等边三角形，推出MF=AF，即可得出答案；〔3〕①在FB上截取BM=CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等腰直角三角形，推出MF=AF，即可得出答案；②只需在CF上截取CG=BF，先证△AFE≌△AFC，得出CF=EF，再证△ABF≌△ACG，得出△AFG是等腰直角三角形，然后结论显然．17、【答案】〔1〕解：如图1，过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．∵OE=OA，α=60°，∴△AEO为正三角形，∴OH=3，EH==3．∴E〔﹣3，3〕．∵∠AOM=90°，∴∠EOM=30°．在Rt△EOM中，∵cos∠EOM=，即=，∴OM=4．∴M〔0，4〕．设直线EF的函数表达式为y=kx+4，∵该直线过点E〔﹣3，3〕，∴﹣3k+4=3，解得k=，所以，直线EF的函数表达式为y=x+4〔2〕解：如图2，射线OQ与OA的夹角为α〔α为锐角，tanα〕．无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．在Rt△AOE中，设AE=a，则OE=2a，∴a2+〔2a〕2=62，解得a1=，a2=﹣〔舍去〕，∴OE=2a=，∴S正方形OEFG=OE2=

〔3〕解：设正方形边长为m．当点F落在y轴正半轴时．如图3，当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有=或=．在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，∴点P1的坐标为〔0，6〕．在图3的根基上，