2025届新高考数学冲刺复习 二次函数、幂函数

2025届新高考数学冲刺复习二次函数、幂函数目录考点清单题型清单考点1二次函数考点2幂函数题型1一元二次方程根的分布题型2幂函数的图象及性质考点1二次函数二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)图象

定义域RR值域

单调性在

上单调递减;在

上单调递增在

上单调递增;在

上单调递减奇偶性当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数顶点坐标

对称性函数的图象关于直线x=-

对称考点2幂函数1.幂函数的定义一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.2.几个常用幂函数的图象和性质函数y=xy=x2y=x3y=

y=x-1图象

定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R上单调递增在(-∞,0)上单

调递减,在(0,+∞)上单调递增在R上单调递增在[0,+∞)上单

调递增在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减即练即清1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)(1)函数y=2

是幂函数.

(

)(2)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.

(

)(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)不可能是偶函数.

(

)2.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点

,则k+α=

.3.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是

.×√×(-∞,-3)题型1一元二次方程根的分布研究一元二次方程根的分布,需要从四个方面考虑:(1)对应二次函数图象开口方向;(2)

一元二次方程根的判别式;(3)对应二次函数在所给区间端点处函数值的正负;(4)对应

二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系.设x1、x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两实根,f(x)=ax2+bx+c,则x1、x2的分

布范围与一元二次方程系数之间的关系如表所示.图象满足条件

f(m)<0

或f(m)f(n)<0或

或

例1方程mx2-(m-1)x+1=0在区间(0,1)内有两个不同的根,则m的取值范围为

.

解析

令f(x)=mx2-(m-1)x+1,其图象恒过点(0,1).(1)当m=0时,方程仅有一个根x=-1,不合题意,舍去.(2)当m<0时,mx2-(m-1)x+1=0的两根之积

<0,不合题意,舍去.(3)当m>0时,若使方程mx2-(m-1)x+1=0的两个不同的根在区间(0,1)内,则需满足

⇒

解得m>3+2

.

答案

(3+2

,+∞)即练即清1.(2023湖南长沙麓山国际实验学校期中,15)若方程x2-(2-a)x+5-a=0的两根都大于2,则

实数a的取值范围是

.答案

(-5,-4]题型2幂函数的图象及性质1.幂函数y=xα的图象及性质,只与α的取值有关,根据参数α的取值研究其定义域、奇偶

性、单调性.2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比

较,准确掌握幂函数的图象和性质是解题的关键.例2

(多选)(2024届山西临汾月考,9)已知函数f(x)=(m2-m-1)

是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足

>0.若a,b∈R,且f(a)+f(b)的值为负值,则下列结论可能成立的有

(

)A.a+b>0,ab<0

B.a+b<0,ab>0C.a+b<0,ab<0

D.a+b>0,ab>0

解析

∵函数f(x)=(m2-m-1)

为幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=-1时,f(x)=

,当m=2时,f(x)=x3.∵对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足

>0,∴函数y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,故f(x)=x3.易得f(-x)=-f(x),从而函数f(x)=x3是定义在R上的单调递增的奇函数.又因为f(a)+f(b)<0,即f(a)<-f(b)=f(-b),得a<-b,所以a+b<0,排除A,D.①当a=0时,b<0,故ab=0;②当a>0时,0<a<-b,故b<0,故ab<0;③当a<0时,由a<-b知,b<-a,故b<0或b=0或b>0,即ab>0或ab=0或ab<0.综上可知,a+b<0,且ab>0或ab=