2023年北京高考数学真题实战复习(三年高考+一年模拟)专题13-概率统计综合题(解析版)

专题13概率统计综合题1．（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，．（Ⅲ）丙获得冠军的概率估计值最大．2．（2021•北京）在核酸检测中，“合1”混采核酸检测是指：先将个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．（Ⅰ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为．设是检测的总次数，求的分布列与数学期望．（Ⅱ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设是检测的总次数，试判断数学期望与（Ⅰ）中的大小．（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）（ⅰ）若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，因此一共需要检查20次．（ⅱ）由题意可得：，30．，．可得分布列：2030．（Ⅱ）由题意可得：，30．，．可得分布列：2530．．另解：设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为，“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为，则，此时有；而，．3．（2020•北京）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为．假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）设“该校男生支持方案一”为事件，“该校女生支持方案一”为事件，则；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件，则；（Ⅲ）．理由如下：，设该校总人数为，则该校支持方案二的人数约为，由表可知，男生支持方案二的概率为，女生支持方案二的概率为，所以一年级支持方案二的人数约为，故除一年级外其他年级支持方案二的概率为．4．（2022•东城区一模）根据市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到如下表所示：受教育程度性别未上学小学初中高中大学专科大学本科硕士研究生博士研究生男0.000.030.140.110.070.110.030.01女0.010.040.110.110.080.120.030.00合计0.010.070.250.220.150.230.060.01（Ⅰ）已知市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；（Ⅱ）从市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系．（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）因为在该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为硕士研究生的人口所占比例为0.06，则估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；（Ⅱ）该市15岁及以上常住人口中，受教育程度为大学本科及以上的人口所占比例为，的可能取值为0，1，2，则，，，故的分布列为：0120.490.420.09；（Ⅲ）．5．（2022•朝阳区一模）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；（Ⅱ）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在，中的人数，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的3人中，用表示其成绩在，的人数，试判断方差与的大小．（直接写结果）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）由直方图可得第二组的频率为，全校学生的平均成绩为：；（Ⅱ）由题可知成绩在80分及以上的学生共有人，其中，中的人数为5，所以可取0，1，2，3，则，，故的分布列为：0123；（Ⅲ）由题意可知随机变量服从超几何分布，故，同理，，，故．6．（2022•东城区二模）某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级年）到高中三年级年）每年的视力平均值，如图所示．（1）从2011年到2021年中随机选取1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；（2）从2010年到2021年这12年中随机选取2年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值，求的分布列和数学期望，（3）由图判断，这200名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（1）由折线图可知：从2011年到2021年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有3个，所求概率；（2）从2010年到2021年这12年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有4个，所有可能的取值为0，1，2，；则的分布列为：012的数学期望；（3）由折线图知：自2017年开始的连续三年男女生视力平均值接近且连续三年数据相差不大，自2017年开始的连续三年，200名学生的视力平均值波动幅度最小，则自2017年开始的连续三年，200名学生的视力平均值方差最小．7．（2022•房山区一模）良好的生态环境是最普惠的民生福祉．北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破．下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计．月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177（Ⅰ）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；（Ⅱ）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量表示选出的3天中空气质量优良的天数，求的分布列；（Ⅲ）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为，空气质量污染天数的方差为．试判断，的大小关系．（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）记事件为“从2021年中任选1天，这一天空气质量优良”，由统计数据可知；（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，方法1：记事件为“从4月任选1天，这一天空气质量优良”，事件为“从6月任选1天，这一天空气质量优良”，事件为“从9月任选1天，这一天空气质量优良”，由题意知，事件，，相互独立，且，所以，，，，所以的分布列为：0123方法，，，，所以的分布列为：0123（Ⅲ）．8．（2022•丰台区一模）为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了如表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为当为何值时，最小．（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为．由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为．用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为．随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．所以，，，，所以的分布列为：0123．易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以．9．（2022•石景山区一模）某学校高中三个年级共有300名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的课后学习时间，数据如表（单位：小时）高一年级77.588.59高二年级78910111213高三年级66.578.51113.51718.5（1）试估计该校高三年级的学生人数；（2）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率：（3）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，9，10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小．（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（1）抽出的20名学生中，来自高三的有8名，根据分层抽样方法，估计高二的学生人数为：（人．（2）设事件表示“高一年级的第名学生”，，2，3，4，5，事件表示“乙是高二年级的第名学生”，，2，3，4，5，6，7，由题意，，，设事件表示“该周甲的课后学习时间大于乙的课后学习时间”，由题意，该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率为：．（3），，，三组总平均值，加入的三个数8，9，10的平均数为9，比小，拉低了平均值，．10．（2022•西城区二模）2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布．义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分．其中过程性考核40分，现场考试30分．该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开．现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容．某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和，选考1分钟跳绳的比例分别为和．假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立．（Ⅰ）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；（Ⅱ）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；（Ⅲ）已知乒乓球考试满分8分．在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为，其中男生的乒乓球平均分的估计值为，试比较与的大小．（结论不需要证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）样本中男生的人数为人，样本中女生的人数为人，设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件，则该学生选考乒乓球的概率；（Ⅱ）设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件，从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件，由题意（B），（C），则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为；（Ⅲ），，所以．11．（2022•西城区一模）2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营．地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）下车站上车站牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫合计牡丹园5642724积水潭1220137860牛街5738124草桥13991638新发地410162335新宫2554319合计363656262125200（Ⅰ）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；（Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；（Ⅲ）为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，“”表示下车．相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客60人，对应乘客在牛街站下车的20人，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；（Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，可得取值为0，1，2，3，．，，，．的分布列为：0123．（Ⅲ）．12．（2022•丰台区二模）某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．（Ⅰ）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；（Ⅱ）记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）解：记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字”为事件，则，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率为；（Ⅱ）解：依题意随机变量的所有可能取值为0、5、10，则，，，所以的分布列为：0510所以；（Ⅲ）解：记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则，所以，所以我不愿意再次参加该项抽奖活动．13．（2022•昌平区二模）某产业园生产的一种产品的成本为50元件．销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元．为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如表所示．产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量（件30506060（Ⅰ）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；（Ⅱ）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅲ）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，，比较，的大小．（请直接写出结论）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）在样本空间中，随机抽取一件产品为优等品的频率为，故若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率为；（Ⅱ）由题意得，样本空间中单件产品利润大于20元的频率为，故，，，，，故的分布列为01230.2160.4320.2880.064；（Ⅲ）每件产品的销售价格均降低了5元，产品的平均销售价格也降低了5元，故由方差的定义知，降价前后这200件样本产品的利润的方差不变，即．14．（2022•门头沟区一模）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约2.7万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服务．（Ⅰ）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？（Ⅱ）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望．（Ⅲ）2.7万名志愿者中，岁人群占比达到，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：岁人群其它人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）由已知共12类志愿服务，甲被分配到对外联络服务，且甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，故乙可被分配的志愿服务共11，所以乙被分配到场馆运行服务的概率为（Ⅱ）由已知可得随机变量的可能取值为0，1，2，故，，，分布列如下：012期望；（Ⅲ）由已知得志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，故．15．（2022•通州区一模）某单位有，两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如表：选择餐厅情况（午餐，晚餐）甲员工30天20天40天10天乙员工20天25天15天40天假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（Ⅰ）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择餐厅就餐的概率；（Ⅱ）记为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断甲、乙员工在晚餐选择餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择餐厅就餐，并说明理由．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）设事件“一天中甲员工午餐和晚餐都选择餐厅就餐”，事件“一天中乙员工午餐和晚餐都选择餐厅就餐”．由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的天数为40，所以，；（Ⅱ）甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为0.1；乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为0.2．的所有可能取值为1，2．，．的分布列为120.10.9．（Ⅲ）设“甲员工晚餐选择餐厅就餐”，“乙员工晚餐选择餐厅就餐”，“甲员工在午餐时选择餐厅就餐”，“乙员工在午餐时选择餐厅就餐”，则，．因为，所以在已知晚餐选择餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择餐厅就餐．16．（2022•海淀区校级一模）某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按，，，，，，，，，分组，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数；（Ⅱ）现从年龄在，，，的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示参与座谈的居民的年龄在，的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有名市民的年龄在，的概率为，1，2，，，当最大时，写出的值．（不用说明理由）【答案】见解析【详解】由频率分布直方图可知，，解得，故的值为0.02，设该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数为，则，解得．年龄在，内的人数为，年龄在，内的人数为，根据分层抽样，可知年龄在，内的抽取6人，年龄在，内的抽取2人，所有可能取值为0，1，2，，，，故的分布列为：012数学期望．设在抽取的20名市民中，年龄在，内的人数为，则服从二项分布，由频率分布直方图得年龄在，内的频率为，故，，1，2，，，设，当时，，，当时，，，当时，最大，故当最大时，．17．（2022•西城区校级模拟）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取100个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．寿命（天频数频率，20.02，18，350.35，0.20，250.25合计1001（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出，的值．（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了2个，求2个灯泡中恰有一个是优等品的概率．（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）由频率分布表的数据可知：，．（Ⅱ）由表中数据可知，从灯泡样品中随机抽取一个优等品的概率为0.25，故2个灯泡中恰有1个是优等品的概率是．（Ⅲ）的所有取值为0，1，2，3，由题意，够买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为，从这次批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，，，，．所以随机变量的分布列为：01230.5120.3840.0960.008．18．（2022•顺义区模拟）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测．经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）（Ⅰ）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；（Ⅱ）若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；（Ⅲ）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀，2，，．写出方差，，，的大小关系（不必写出证明过程）．【答案】见解析【详解】抽取的80人中，身体素质监测成绩达到优秀的有人，故从高一年级学生中任意抽测1人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率．由散点图可知，高一（4）班的10名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的有4人，所有可能取值为0，1，2，，，，故的分布列为：012故．，，则，，，则，，，则，，，则，故．19．（2022•海淀区二模）值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势．如图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业值趋势图．将每连续3个月的值作为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测．（Ⅰ）现从制造业的10个观测组中任取一组，（ⅰ）求组内三个值至少有一个低于50.0的概率；（ⅱ）若当月的值大于上一个月的值，则称该月的经济向好．设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的值低于去年12月份的值），求的分布列与数学期望；（Ⅱ）用，2，，表示第月非制造业所对应的值，表示非制造业12个月值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）从制造业的10个观测组中任取一组的基本事件有：，50.6，，，51.9，，，51.1，，，51，，，50.9，，，50.4，，，50.1，，，49.6，，，49.2，，，50.1，，共有10个，设“组内三个值至少有一个低于50.0”为事件，则事件包含的结果有：，50.1，，，49.6，，，49.2，，，50.1，共4个，由古典概型的计算公式，得；的可能取值为0，1，2，，的分布列为：012所以随机变量的数学期望；（Ⅱ）8月份，理由如下：由某年12个月的非制造业值趋势图中的数据，得，根据某年12个月的非制造业值趋势图，可知当时，取得最大值为．20．（2022•房山区二模）北京2022年冬奥会、向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：时间人数类别，，，，，，100性别男51213898女69101064学段初中10高中1312754（Ⅰ）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在，的概率；（Ⅱ）从参加体育实践活动时间在，和，的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，，当满足什么条件时，．（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）方法一：女生共有人，记事件为“从所有调査学生中随机抽取1人，女生被抽到”，事件为“从所有调査学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在，“，由题意可知，，因此，所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在，的概率为；方法二：女生共有人，记事件为“从所有调査学生中随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在，“，由题意知，从所有调査学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，抽到女生且参加体育活动时间在，所包含的基本事件共9个，所以，所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在，的概率为；（Ⅱ）方法一：的所有可能值为0，1，2，时间在，的学生有人，活动时间在，的初中学生有人，记事件为“从参加体育活动时间在，的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，事件为“从参加体育活动时间在，的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，由题意知，事件，相互独立，且，所以，，，所以的分布列为：012故的数学期望；方法二：的所有可能值为0，1，2，因为从参加体育活动时间在，和，的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为，故，所以，，，所以的分布列为：012故的数学期望；（Ⅲ）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：时间人数类别，，，，，，100性别男51213898女69101064学段初中81111108高中1312754，内初中生的总运动时间，，内高中生的总运动时间，则由题，，2，，又，，由可得，当，时成立，故的取值范围．21．（2022•平谷区模拟）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297（Ⅰ）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；（Ⅱ）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀分）的学生人数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．（只需写出结论）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩“为事件，由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合，其中男生成绩高于女生，，，，，，，，，，，，，，，，，所以事件有17种组合，因此；（Ⅱ）由数据知，在抽取的12名学生中，成结为优秀分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为，因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绎优秀人数可取0，1，2，3且，，，，，所以随机变量的分布列为：0123数学期望．（Ⅲ）男生的平均成绩为，则；女生的平均成绩为，则；由于从参加活动的男生中抽取成绩为86分的学生组成新的男生样本，所以，则；所以．22．（2022•房山区校级模拟）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：汽车型号ⅠⅡⅢⅣⅤ回访客户（人数）250100200700350满意率0.50.50.60.30.2满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．（Ⅰ）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；（Ⅱ）若以样本的频率估计概率，从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；（Ⅲ）用“”，“”，“”，“”，“”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ型号汽车让客户满意，“”，“”，“”，“”，“”分别表示不满意．写出方差，，，，的大小关系．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）设“从所有的回访客户中随机抽1人，这个客户满意”为事件．由题意知，样本中的回访客户的总数是，满意的客户人数是，故所求概率为．（Ⅱ），1，2．设“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件，“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件．根据题意，（A）估计为0.5，（B）估计为0.2，与相互独立．所以；；（A）（B）．所以的分布列为：0120.40.50.1所以的期望．（Ⅲ）用“”，“”，“”，“”，“”分别表示，，，，型号汽车让客户满意，“”，“”，“”，“”，“”分别表示，，，，型号汽车让客户不满意．则，，，，．方差，，，，的大小关系为：．23．（2022•朝阳区二模）为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售．根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况各年的平均每亩产量频率0.250.75（注：各年的平均每亩纯收入各年的平均每亩产量批发价格各年的平均每亩种植成本）（Ⅰ）以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；（Ⅱ）设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为元，以频率估计概率，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知该地区某农民有一块土地共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）该地区此品种中药材各年的平均每亩产量的概率为0.75，此品种中药材的国内市场批发价格为25元的概率为0.6，该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率．（Ⅱ），，，，则的所有可能取值为3000，5000，7500，，，，的分布列为：3000500075000.10.450.45．（Ⅲ），该农民下一年应该选择在这块土地种植此品种中药材．24．（2022•海淀区校级模拟）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝、分析、鉴定、研发，周而复始、反复对比．对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的调味品让他品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，称这个过程为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设，分别以，，，表示第一次排序为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述（如：若第二次排序的序号为1，3，2，4，则．（1）假设，，，的排列等可能为1，2，3，4的各种排列，求随机变量的分布列和数学期望；（2）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有，则：①假设各轮测试相互独立，试按（1）的结果，计算出现这种情况的概率；②请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何，并说明理由．【答案】见解析【详解】（1）的可能取值为0，2，4，6，8．由1，2，3，4的全排列为4！个，一一列出可得：，，，，的排列只能为1，2，3，4．，，，，的排列只能为1，2，4，3；1，3，2，4；2，1，3，4．同理可得：，，．可得分布列：02468．（2）①由（1）可得：．进行的三轮测试中都有的概率记做，由假设各轮测试相互独立，可得：．②由是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试中，都有的结果可能性很小，所以我们认为品评师的品味鉴别能力很强，不是靠随机猜测．25．（2022•密云区一模）从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”．十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域．2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000多人．中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照，，，，，，，，，分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数．并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值．（Ⅱ）若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，求的分布列并求数学期望．（Ⅲ）用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在，的数据组成新样本组，其方差记为，把时间段在，的数据组成新样本组，其方差记为，原来600个样本数据的方差记为，试比较，，的大小（结论不要求证明）．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）平均数等于，前3组频率和，加上第4组得，所以75百分位数：；（Ⅱ）由题可知“预期合格”的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，则服从二项分布，，，，，的分布列为：01230.0080.0960.3840.512；（Ⅲ）由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更集中一些，所以，而这两组数据相比整体数据都要集中一些，所以．26．（2022•东城区校级三模）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表：男生818486868891女生728084889297（1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；（2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀分）的学生人数为，求的分布列和数学期望；（3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取学生，成绩为89分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．（只需写出结论）【答案】见解析【详解】（1）设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件，由表格可得，从抽出的12名学生中男女生个随机抽取1人，共种组合，其中男生成绩高于女生，，，，，，，，，，，，，，，，，所以事件有17种组合，故（A）．（2）由数据可知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为，因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数可取0，1，2，3且，，，，，故随机变量的分布列为：0123故．（3）男生的平均成绩为，则，女生的平均成绩为，则，由于从参加活动的男生中抽取成绩为89分的学生组成形的男生样本，所以，则，故．27．（2022•海淀区校级模拟）某家电专卖店试销、、三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周型数量（台111015型数量（台14913型数量（台61112（Ⅰ）从前三周随机选一周，若型空调销售量比型空调多，求型空调销售量比型空调多的概率；（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中型空调台数的分布列和数学期望；（Ⅲ）直接写出一组，，的值，使得表中每行数据的方差