高考数学一轮总复习6.4基本不等式练习

第四节基本不等式时间:45分钟分值:100分eq\x(基)eq\x(础)eq\x(必)eq\x(做)一、选择题1.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是()A.a＋b≥2

B.

＋

≥2C.

≥2 D.a2＋b2>2ab解析当a,b都是负数时,A不成立,当a,b一正一负时,B不成立,当a＝b时,D不成立,因此只有C是正确的．答案C2.设a,b∈R,已知命题p:a2＋b2≤2ab；命题q:

2≤

,则p是q成立的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析命题p：(a－b)2≤0⇔a＝b；命题q：(a－b)2≥0.显然,由p可得q成立,但由q不能推出p成立,故p是q的充分不必要条件．答案B3.下列不等式:①a2＋1>2a；②

≤2；③x2＋

≥1,其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析①②不正确,③正确,x2＋

＝(x2＋1)＋

－1≥2－1＝1.答案B4.已知a＋b＝t(a>0,b>0),t为常数,且ab的最大值为2,则t的值为()A.2 B.4C.2

D.2

解析当a>0,b>0时,有ab≤

＝

,当且仅当a＝b＝

时取等号．∵ab的最大值为2,∴

＝2,t2＝8,∴t＝

＝2

.答案C5.(2015·湖北黄冈月考)设a>1,b>0,若a＋b＝2,则

＋

的最小值为()A.3＋2

B.6C.4

D.2

解析由a＋b＝2可得,(a－1)＋b＝1.因为a>1,b>0,所以

＋

＝

(a－1＋b)＝

＋

＋3≥2

＋3.当且仅当

＝

,即a＝

,b＝2－

时取等号．答案A6.(2014·湖北八校联考)若x,y∈(0,2]且xy＝2,使不等式a(2x＋y)≥(2－x)(4－y)恒成立,则实数a的取值范围为()A.a≤

B.a≤2C.a≥2 D.a≥

解析由x,y∈(0,2]且xy＝2,得a≥

＝

＝

－2.又由2x＋y≥2

＝4,∴a≥

.答案D二、填空题7.已知函数f(x)＝4x＋

(x>0,a>0)在x＝3时取得最小值,则a＝________.解析由于x>0,a>0,f(x)＝4x＋

≥4

.此时当4x＝

时,f(x)取得最小值4

,即a＝4x2.∴a＝4×32＝36.答案368.(2014·福建卷)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元.解析设容器的底长x米,宽y米,则xy＝4.所以y＝

,则总造价为：f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋eq\f(80,x)＋20x＝20

＋80,x∈(0,＋∞).所以f(x)≥20×2

＋80＝160,当且仅当x＝

,即x＝2时,等号成立．所以最低总造价是160元.答案1609.(2014·陕西卷)设a,b,m,n∈R,且a2＋b2＝5,ma＋nb＝5,则

的最小值为________.解析由柯西不等式,可得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2,所以5(m2＋n2)≥25.所以m2＋n2≥5,即

≥

,当且仅当an＝bm时,等号成立．故eq\r(m2＋n2)的最小值为eq\r(5).答案eq\r(5)三、解答题10.(1)求函数y＝x(a－2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值；(2)已知x>0,y>0,lgx＋lgy＝1,求z＝

＋

的最小值.解(1)∵x>0,a>2x,∴y＝x(a－2x)＝

×2x(a－2x)≤

×

2＝

,当且仅当x＝

时取等号,故函数的最大值为

.(2)由已知条件lgx＋lgy＝1,可得xy＝10.则eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)＝eq\f(2y＋5x,10)≥eq\f(2\r(10xy),10)＝2.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(5,y)))min＝2.当且仅当2y＝5x,即x＝2,y＝5时等号成立.11．(2014·新课标全国卷Ⅰ)若a>0,b>0,且

＋

＝

.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a,b,使得2a＋3b＝6？并说明理由.解(1)由

＝

＋

≥

,得ab≥2,且当a＝b＝

时等号成立.故a3＋b3≥2

≥4

,且当a＝b＝

时等号成立.所以a3＋b3的最小值为4

.(2)由(1)知,2a＋3b≥2

≥4

.由于4

>6,从而不存在a,b,使得2a＋3b＝6.eq\x(培)eq\x(优)eq\x(演)eq\x(练)1.若正数a,b满足

＋

＝1,则

＋

的最小值为()A.1 B.6C.9 D.16解析方法一：因为

＋

＝1,所以a＋b＝ab⇒(a－1)(b－1)＝1,所以

＋

≥2eq\r(\f(1,a－1)×\f(9,b－1))＝2×3＝6.方法二:因为

＋

＝1,所以a＋b＝ab,所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝eq\f(b－1＋9a－9,ab－a－b＋1)＝b＋9a－10＝(b＋9a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))－10≥16－10＝6.方法三:因为

＋

＝1,所以a－1＝

,所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝(b－1)＋eq\f(9,b－1)≥2eq\r(9)＝2×3＝6.答案B2.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质:(1)对任意a∈R,a*0＝a；(2)对任意a,b∈R,a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．则函数f(x)＝(ex)*eq\f(1,ex)的最小值为()A.2 B.3C.6 D.8解析依题意可得f(x)＝(ex)*

＝ex·

＋ex＋

＝ex＋

＋1≥2

＋1＝3,当且仅当x＝0时“＝”成立,所以函数f(x)＝(ex)*

的最小值为3,选B.答案B3.(2015·山东淄博期末)若实数a,b,c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c,则c的最大值是________.解析由基本不等式得2a＋2b≥2

＝2×2

,即2a＋b≥2×2

,所以2a＋b≥4.令t＝2a＋b,由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c可得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c,所以2c＝

＝1＋

,由t≥4,得1<

≤

,即1<2c≤

,所以0<c≤log2

＝2－log23,故答案为2－log23.答案2－log234.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批社会用100万元购得一块土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高20元.已知建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为800元.(1)若建筑第x层楼时,该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出y＝f(x)的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元,建筑第1层楼房建筑费用为720×1000＝720000(元)＝72(万元),楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高20×1000＝20000(元)＝2(万元),建筑第x层楼房的建筑费用为72＋(x－1)×2＝2x＋70(万元),建筑第x层楼时,该楼房综合费用为y＝f(x