高中数学第二章平面向量2-3-2-2-3-3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算课件新人教A版必修4

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算必备知识·自主学习导思(1)在平面内,规定e1,e2为基底,那么一个向量关于e1,e2的分解是唯一的吗?(2)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,任作一向量=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?如果向量也用(x,y)表示,那么这种向量与实数对(x,y)之间是否一一对应?(3)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何求a+b,a-b,λa的坐标?若A(x1,y1),B(x2,y2),你能求出的坐标吗?1.平面向量坐标的相关概念【思考】

(1)正交分解与平面向量基本定理有何联系?提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时).(2)向量的坐标就是其终点的坐标吗?提示:不一定,以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同.2.平面向量的坐标运算若a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则:(1)a+b=____________,(2)a-b=____________,(3)λa=___________.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差,数乘向量的积的坐标等于数乘向量的相应坐标.(4)向量坐标的几何意义:如图所示,在平面直角坐标系中,若A(x1,y1),则=(x1,y1),若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).【思考】(1)平面向量的加法坐标运算法则若写成“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(y1+y2,x1+x2)”可以吗?提示:不可以,两向量的横坐标之和作为和向量的横坐标,纵坐标之和作为和向量的纵坐标.(2)“若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1-x2,y1-y2)”对吗?提示:不对,应该用终点坐标减去始点坐标.【思考】(1)平面向量的加法坐标运算法则若写成“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(y1+y2,x1+x2)”可以吗?提示:不可以,两向量的横坐标之和作为和向量的横坐标,纵坐标之和作为和向量的纵坐标.(2)“若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1-x2,y1-y2)”对吗?提示:不对,应该用终点坐标减去始点坐标.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同. (

)(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标. (

)(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关. (

)(4)点的坐标与向量的坐标相同. (

)提示:(1)×.两个终点不同的向量可能是相等向量,它们的坐标相同.(2)√.根据向量的坐标表示,当始点在原点时,终点与始点坐标之差等于终点坐标.(3)×.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关.(4)×.当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标等于(终)点的坐标.2.若3x-2(x-a)=0,则向量x等于 (

)

A.2a B.-2a C.a D.-a【解析】选B.由题知3x-2x+2a=0所以x=-2a.3.(教材二次开发:练习改编)已知A(3,1),B(2,-1),则的坐标是 (

)A.(-2,-1) B.(2,1)C.(1,2) D.(-1,-2)【解析】选C.=(3,1)-(2,-1)=(1,2).【解析】选C.=(3,1)-(2,-1)=(1,2).关键能力·合作学习类型一向量的坐标表示(数学运算、直观想象)【题组训练】1.(2020·青岛高一检测)已知=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为 (

)A.(1,8) B.(-1,8) C.(3,2) D.(-3,2)2.如图所示,在正方形ABCD中,O为中心,且=(-1,-1),则=________;=________;=________.

3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.【解析】1.选B.设B的坐标为(x,y),=(x,y)-(-2,5)=(x+2,y-5)=(1,3),所以解得所以点B的坐标为(-1,8).2.如题干图,=-(-1,-1)=(1,1),由正方形的对称性可知,B(1,-1),所以=(1,-1),同理=(-1,1).答案:(1,-1)

(1,1)

(-1,1)3.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则a1=|a|cos45°=a2=|a|sin45°=b1=|b|cos120°=b2=|b|sin120°=c1=|c|cos(-30°)=c2=|c|sin(-30°)=4×=-2.因此a=(,),c=(2,-2).【解题策略】求向量坐标的方法(1)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.(2)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.【补偿训练】1.已知O是坐标原点,点A在第二象限,||=6,∠xOA=150°,向量的坐标为________.

【解析】设点A(x,y),则x=||cos150°=6cos150°=-3,y=||sin150°=6sin150°=3,即A(-3,3),所以=(-3,3).答案:(-3,3)2.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量,,,的坐标.

【解析】如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos60°,2sin60°),所以C(1,),所以=(2,0),=(1,),3.如图,已知在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.如图,求点B和点D的坐标和与的坐标.【解析】由题意知B,D分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点.设B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函数的定义,得x1=cos30°=,y1=sin30°=,所以B.x2=cos120°=-,y2=sin120°=,所以D所以类型二向量的坐标运算(直观想象、数学运算)【题组训练】1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-3,-3),则向量(

)

A.(3,2) B.(-3,-2)C.(-1,-2) D.(1,2)2.已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标.3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且求M,N及的坐标.【解析】1.选B.因为A(0,1),B(3,2),所以=(3,1),所以2.a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7),3a=3(-1,2)=(-3,6),2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(7,-11).3.方法一:由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),所以=3(1,8)=(3,24),=2(6,3)=(12,6).设M(x1,y1),N(x2,y2),则=(x1+3,y1+4)=(3,24),x1=0,y1=20;=(x2+3,y2+4)=(12,6),x2=9,y2=2,所以M(0,20),N(9,2),=(9,2)-(0,20)=(9,-18).方法二:设点O为坐标原点,则由可得从而所以=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),即点M(0,20),N(9,2),故=(9,2)-(0,20)=(9,-18).【解题策略】平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.【补偿训练】1.已知M(3,-2),N(-5,-1),则P点坐标为________.

【解析】设P(x,y),=(x-3,y+2),=(-8,1).所以

答案:

2.若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求的坐标.【解析】因为=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以+2=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18).-=(-8,4)-(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).类型三向量坐标运算的应用(数学运算、逻辑推理)角度1利用坐标运算表示向量

【典例】如图,已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用向量a,b表示向量c.【思路导引】建立直角坐标系,由所给条件结合三角函数定义写出点A,B,C的坐标.结合坐标运算公式可用待定系数法求得向量c.【解析】如图,以O为原点、为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,由三角函数的定义,得B(cos150°,sin150°),C(3cos240°,3sin240°).即又因为A(2,0),故a=(2,0),b=,c=设c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R).所以c=-3a-3b.【变式探究】

本例条件不变，试用向量a，c表示向量b【解析】如图,以O为原点、为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,由三角函数的定义,得B(cos150°,sin150°),C(3cos240°,3sin240°).即又因为A(2,0),故a=(2,0),b=

设b=λ1a+λ2c(λ1,λ2∈R).所以角度2利用坐标运算求参数

【典例】已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,|OC|=2,且∠AOC=.设(λ∈R),则λ=________.

【思路导引】由题意画出图形,根据向量线性运算法则对条件“”适当转化,再应用向量坐标运算解决.【解析】如图,过C作CE⊥x轴于点E,由∠AOC=知,|OE|=|CE|=2,所以所以(-2,0)=λ(-3,0),故λ=.答案:

【解题策略】(1)由向量的坐标定义知,两向量相等的充要条件是它们的坐标相等,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b⇔x1=x2且y1=y2.(2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.(3)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出相应系数.【题组训练】1.(2020·济宁高一检测)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若

(λ∈R),试求λ为何值时,(1)点P在一、三象限角平分线上.(2)点P在第三象限内.【解析】设点P的坐标为(x,y),则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).因为

(1)若P在一、三象限角平分线上,则5+5λ=4+7λ,所以λ=,所以λ=时,点P在一、三象限角平分线上.(2)若P在第三象限内,则所以λ<-1.当λ<-1时,点P在第三象限内.2.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及是否存在t值,使四边形OABP为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.【解析】因为=(1,2),=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t).所以=(3-3t,3-3t).若四边形OABP为平行四边形,则,所以该方程组无解.故不存在t值使四边形OABP成为平行四边形.【拓展延伸】线段定比分点坐标公式如图所示,若点P是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)的点,且满足=λ,即=λ,则点P的坐标为【拓展训练】证明上述命题的正确性.【证明】设点P(x,y),由=λ,得(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),

当λ≠-1时,则P点坐标为特别地,①当λ=1时,点P坐标为,这就是线段P1P2的中点坐标公式;②若λ<0,则点P在P1P2的延长线或其反向延长线上,点P的坐标不变.【补偿训练】已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,求P点分的比λ的值.【解析】设P(x,y),则由=λ及定比分点坐标公式得:(x,y)=,又因为P点在直线l上,所以所以λ=-.1.(2020·包头高一检测)下列说法正确的有 (

)①向量的坐标即此向量终点的坐标.②位置不同的向量其坐标可能相同.③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的始点坐标.④相等的向量坐标一定相同.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个课堂检测·素养达标【解析】选C.向量的坐标是其终点坐标减去起点对应坐标,故①错误;②正确;③正确;④正确.2.已知=a,且则λa等于(

)【解析】选A.因为3.(教材二次开发:练习改编)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则2a-3b等于 (

)A.(0,7) B.(12,7) C.(-1,7) D.(12,3)【解析】选B.2a-3b=(6,10)-(-6,3)=(12,7).4.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则=________.

【解析】因为A(2,-1),B(4,2),C(1,5),所以=(2,3),=(-3,3).所以=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).答案:(-4,9)5.如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,求的坐标.【解析】设A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧长为2,半径为1,∠ABP==2.设P(x,y),则x=2-1×cos=2-sin2,y=1+1×sin=1-cos2,所以的坐标为(2-sin2,1-cos2).Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholda