高中数学第二章数列2-4-2等比数列的性质同步课件新人教A版必修5

第2课时等比数列的性质

主题等比数列的性质1.在等差数列中有an=am+(n-m)d,类比此结论,在等比数列{an}中an与am满足什么关系式呢?提示:an=am·qn-m.证明如下:因为=qn-m,所以an=amqn-m.2.在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),类比此性质,在等比数列{an}中有什么性质呢?并证明.提示:在等比数列{an}中,若m+n=p+λ(m,n,p,λ∈N*),则am·an=ap·aλ.证明如下因为am·an=a1qm-1·a1qn-1=qm+n-2,ap·aλ=a1qp-1·a1qλ-1=qp+λ-2,又m+n=p+λ,故am·an=ap·aλ.3.观察下面几个等比数列中项的变化趋势,指出它们的单调性.(1)-1,…(2)9,3,1,…(3)-1,-2,-4,-8,-16,…

(4)1,…(5)2,2,2,2,2,…提示:(1)项是增加的,且a1<0,0<q<1,是单调递增数列.(2)项是减小的,且a1>0,0<q<1,是单调递减数列.(3)项是减小的,且a1<0,q>1,是单调递减数列.(4)项是摆动的,a1>0,q<0,不是单调数列.(5)项是不变的,a1>0,q=1,是常数列.提示:(1)项是增加的,且a1<0,0<q<1,是单调递增数列.(2)项是减小的,且a1>0,0<q<1,是单调递减数列.(3)项是减小的,且a1<0,q>1,是单调递减数列.(4)项是摆动的,a1>0,q<0,不是单调数列.(5)项是不变的,a1>0,q=1,是常数列.结论:1.等比数列的常用性质设等比数列{an}的公比为q,则(1)an=amqn-m(m,n∈N*).(2)若m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则____________.am·an=ak·al2.等比数列的单调性(1)当a1>0,____或a1<0,______时,{an}为递增数列.(2)当____,0<q<1或a1<0,____时,{an}为递减数列.(3)当____时,{an}为常数列.q>10<q<1a1>0q>1q=1【对点训练】1.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是

(

)

A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列【解析】选D.由于公比q=-<0,所以数列{an}是摆动数列.2.若数列{an}为等比数列,则下列式子一定成立的是 (

)

A.a2+a5=a1+a6 B.a1a9=a10C.a1a9=a3a7 D.a1a2a7=a4a6【解析】选C.由等比数列{an}的性质知a1a9=a3a7.2.若数列{an}为等比数列,则下列式子一定成立的是 (

)

A.a2+a5=a1+a6 B.a1a9=a10C.a1a9=a3a7 D.a1a2a7=a4a6【解析】选C.由等比数列{an}的性质知a1a9=a3a7.3.在等比数列{an}中,若a2,a9是方程x2-x-6=0的两根,则a5·a6的值为 (

)A.6 B.-6 C.-1 D.1【解析】选B.因为a2,a9是方程x2-x-6=0的两根,所以,a2·a9=-6,因为数列{an}是等比数列,所以a5·a6=a2·a9=-6.类型一利用等比数列的性质求解基本量【典例1】(1)(2019·定州高一检测)在递增的等比数列{an}中,a4,a6是方程x2-10x+16=0的两个根,则数列{an}的公比q= (

)

A.2 B.±2 C. D.或2(2)(2019·南昌高一检测)在等比数列{an}中,a6·a12=6,a4+a14=5,则= (

)A.或 B.C.或 D.或

【解题指南】(1)由根与系数的关系得关于a4,a6的方程组,求得a4,a6再由{an}为递增数列,从而求出q的值.(2)根据等比数列的性质,得a6·a12=a4·a14=6,又由a4+a14=5,联立方程组,解得a4,a14的值,分类讨论求解,即可得到答案.【解析】(1)选A.因为a4,a6是方程x2-10x+16=0的两个根,所以解得或又因为等比数列{an}是递增的,所以且q>1,则q==2.(2)选A.由题意,根据等比数列的性质,可得a6·a12=a4·a14=6,又由a4+a14=5,联立方程组,解得当时,q10=,此时当时,q10=,此时【方法总结】巧用等比数列的性质解题(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法①基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解;②优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.(2)利用等比数列的性质解题①基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题;②优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.【跟踪训练】在等比数列{an}中,已知a3=9,a6=243,求a5.【解析】方法一:由已知a3=a1q2=9,a6=a1q5=243,所以q3==27,则q=3,a1=1,所以a5=a1q4=1×34=81.方法二:因为a6=a3q3,所以q3==27,q=3,所以a5=a3q2=9×32=81.类型二等比数列性质的应用【典例2】(1)计算机的价格不断降低,若每件计算机的价格每年降低,现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降为 (

)A.300元 B.900元C.2400元 D.3600元(2)三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.【解题指南】(1)建立等比数列模型,运用等比数列的性质求解.(2)巧妙设未知量,根据等比数列、等差数列的性质列出方程组,求解.【解析】(1)选C.降低后的价格构成以为公比的等比数列.则现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降为8100×=2400(元).(2)设三个数依次为,a,aq,因为·a·aq=512,所以a=8.因为+(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=,所以这三个数为4,8,16或16,8,4.【方法总结】解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.(2)对于解答题注意基本量及方程思想.(3)注意问题的转化,利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列,以便利用公式和性质解题.(4)当题中出现多个数列时,既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系,又要横向考查各数列之间的内在联系.【拓展延伸】“子数列”的概念与性质对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为q;若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk.例如k=3,取出所有3的倍数项,即a3,a6,a9,…,则首项为a3,公比为q3.【延伸探究】已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列…,,…为等比数列,其中b1=1,b2=5,b3=17.求数列{bn}的通项公式.【解题指南】根据成等比数列,得出等差数列{an}的首项与公差的关系,从而求出数列{}的通项,再根据为等差数列{an}中的第bn项,求出数列{bn}的通项.【解析】依题意=a1a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d),所以a1d=2d2,因为d≠0,所以a1=2d,数列{}的公比q==3,所以

=a13n-1,①又=a1+(bn-1)d=

,②由①②得a1·3n-1=·a1.因为a1=2d≠0,所以bn=2·3n-1-1.【跟踪训练】已知等比数列{an},{bn},{cn}的公比分别为2,A,B,记bn=a4(n-1)+1+a4(n-1)+2+a4(n-1)+3+a4(n-1)+4,cn=a4(n-1)+1·a4(n-1)+2·a4(n-1)+3·a4(n-1)+4(n∈N*),则=________.

【解析】根据题意,等比数列{an},{bn},{cn}公比分别为2,A,B,又由bn=a4(n-1)+1+a4(n-1)+2+a4(n-1)+3+a4(n-1)+4,则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,则有A==24,cn=a4(n-1)+1·a4(n-1)+2·a4(n-1)+3·a4(n-1)+4,则cn+1=a4n+1·a4n+2·a4n+3·a4n+4,则有B==216,则

答案:

【知识思维导图】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏cn=a4(n-1)+1·a4(n-1)+2·a4(n-1)+3·a4(n-1)+4,则cn+1=a4n+1·a4n+