高中数学第二章推理与证明2-1-2演绎推理课件新人教A版选修1-2

2.1.2演绎推理

必备知识·自主学习导思1.什么是演绎推理?2.如何利用演绎推理证明简单命题?1.演绎推理(1)含义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.(2)特点:演绎推理是由___________的推理.一般到特殊【思考】(1)合情推理与演绎推理有什么区别?提示:合情推理是由特殊到一般或由特殊到特殊的推理,而演绎推理是由一般到特殊.(2)演绎推理的前提和结论一般是什么?提示:演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴含于前提之中.2.三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况_____结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断S是PS是M【思考】三段论中的推理形式错误有哪些?提示:只要是两类:一是大小前提中的M不相同,二是小前提不能写成“S是M”的形式,导致不能满足三段论的逻辑关系.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的. (

)(2)“三段论”就是演绎推理. (

)(3)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确. (

)提示:(1)√.因为大前提是错误的,所以结论错误.(2)×.三段论是演绎推理的一种重要形式.(3)×.只要大前提或小前提有一个错误,即使符合演绎推理的形式,结论也不正确.2.下面几种推理过程是演绎推理的是 (

)A.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数超过50人B.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质D.在数列{an}中,a1=1,an=

(n≥2),通过计算a2,a3,a4由此归纳出{an}的通项公式2.下面几种推理过程是演绎推理的是 (

)A.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数超过50人B.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质D.在数列{an}中,a1=1,an=

(n≥2),通过计算a2,a3,a4由此归纳出{an}的通项公式【解析】选B.A选项“高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数超过50人”是归纳推理,故不符合题意;B选项是演绎推理,大前提是“两条直线平行,同旁内角互补”,小前提是“∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角”,结论是“∠A+∠B=180°”,故符合题意;C选项“由平面三角形的性质,推出空间四边形的性质”是类比推理,故不符合题意;D选项“在数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),通过计算a2,a3,a4,由此归纳出{an}的通项公式”是归纳推理,故不符合题意.3.“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理属于 (

)A.演绎推理 B.类比推理C.合情推理 D.归纳推理【解析】选A.“所有金属都能导电”是大前提,“铁是金属”是小前提,“铁能导电”是结论,满足三段论的形式,是演绎推理.关键能力·合作学习类型一用三段论的形式表示演绎推理(逻辑推理)【题组训练】1.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是 (

)A.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π是无理数;结论:π是无限不循环小数B.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π是无限不循环小数;结论:π是无理数C.大前提:π是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:π是无理数D.大前提:π是无限不循环小数;小前提:π是无理数;结论:无限不循环小数是无理数2.将下列推理写成“三段论”的形式:(1)向量是既有大小又有方向的量,故零向量也有大小和方向;(2)

是有理数;(3)y=sinx(x∈R)是周期函数.【解析】1.选B.对于A,小前提和结论颠倒,不符合演绎推理三段论形式;对于B,符合演绎推理三段论形式且推理正确;对于C,大、小前提颠倒,不符合演绎推理三段论形式;对于D,大、小前提及结论颠倒,不符合演绎推理三段论形式.【解析】1.选B.对于A,小前提和结论颠倒,不符合演绎推理三段论形式;对于B,符合演绎推理三段论形式且推理正确;对于C,大、小前提颠倒,不符合演绎推理三段论形式;对于D,大、小前提及结论颠倒,不符合演绎推理三段论形式.2.(1)大前提:向量是既有大小又有方向的量.小前提:零向量是向量.结论:零向量也有大小和方向.(2)大前提:所有的循环小数都是有理数.小前提:是循环小数.结论:是有理数.(3)大前提:三角函数是周期函数.小前提:y=sinx(x∈R)是三角函数.结论:y=sinx(x∈R)是周期函数.【解题策略】把演绎推理写成“三段论”的一般方法(1)用“三段论”写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中大前提提供了一个一般性原理,小前提提供了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.(2)在寻找大前提时,要保证推理的正确性,可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.【补偿训练】将下列演绎推理写成三段论的形式.①平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分;②等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B是等腰三角形的底角,则∠A=∠B;③通项公式为an=2n+3的数列{an}为等差数列.【解析】①大前提:平行四边形的对角线互相平分,小前提:菱形是平行四边形,结论:菱形的对角线互相平分.②大前提:等腰三角形的两底角相等,小前提:∠A,∠B是等腰三角形的底角,结论:∠A=∠B.③大前提:数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为常数,则{an}为等差数列,小前提:通项公式为an=2n+3时,若n≥2,则an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数),结论:通项公式为an=2n+3的数列{an}为等差数列.类型二用三段论证明几何问题(逻辑推理、直观想象)【典例】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:ED=AF,写出三段论形式的演绎推理.【思路导引】利用“同位角相等,两直线平行”和“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”及“平行四边形对边相等”完成证明.【解析】因为同位角相等,两直线平行, ........大前提∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A, ........小前提所以FD∥AE. ........结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,..............大前提DE∥BA,且FD∥AE,........................................小前提所以四边形AFDE为平行四边形.................................结论因为平行四边形的对边相等

................................大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边,

...........................小前提所以ED=AF.

................................................结论【变式探究】1.若增加条件“∠C=∠A”,证明:∠BFD=∠BDF.【证明】因为同位角相等,两直线平行,................大前提∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,..................小前提所以FD∥AE.........................................结论因为两直线平行,同位角相等,........................大前提FD∥AE,且∠BDF与∠C是同位角, ......................小前提所以∠BDF=∠C. ......................................结论又因为∠C=∠A,∠BFD=∠A...........................小前提所以∠BFD=∠BDF.....................................结论2.将典例中“∠BFD=∠A”改为“∠BFD=∠DEC”,如何证明结论?【证明】因为DE∥BA.所以∠DEC=∠A,又因为∠BFD=∠DEC,所以∠BFD=∠A.所以DF∥AC.又因为DE∥BA,所以四边形AEDF为平行四边形.所以ED=AF.【解题策略】1.用“三段论”证明命题的格式2.用“三段论”证明命题的步骤(1)理清证明命题的一般思路.(2)找出每一个结论得出的原因.(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.【跟踪训练】已知:在空间四边形ABCD中,点E,F分别是AB,AD的中点,如图所示,求证:EF∥平面BCD.【证明】因为三角形的中位线平行于底边,........................大前提点E,F分别是AB,AD的中点,.....................................小前提所以EF∥BD.....................................................结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线,则直线与此平面平行,.....大前提EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,EF∥BD, ......................................................小前提所以EF∥平面BCD................................................结论类型三用三段论证明代数问题(逻辑推理)【典例】设函数f(x)=

其中a为实数,若f(x)的定义域为R,证明实数a的取值范围为0<a<4.【思路导引】若函数f(x)的定义域为R,则其分母对应的方程没有实数根,再由判别式小于零可求实数a的取值范围.【证明】若函数定义域为R,则函数对任意实数恒有意义,.............................................................大前提因为f(x)的定义域为R,.........................................小前提所以x2+ax+a≠0恒成立...........................................结论所以Δ=a2-4a<0,所以0<a<4.即当0<a<4时,f(x)的定义域为R【解题策略】五类代数问题中的三段论(1)函数类问题:比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.(2)导数的应用:利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和最值,证明与函数有关的不等式等.(3)三角函数问题:利用三角函数公式进行三角恒等变换,证明三角恒等式.(4)数列问题:数列的通项公式,前n项和公式的应用,证明等差数列和等比数列.(5)不等式类问题:如不等式恒成立问题,线性规划以及基本不等式的应用问题.【跟踪训练】1.设a>0,b>0,a+b=1,求证:

≥8.【证明】因为a>0,b>0,a+b=1,所以1=a+b≥2,即所以当且仅当a=b=时等号成立,所以≥8.2.求证:函数f(x)=

是定义域上的增函数.【证明】函数定义域为R.任取x1,x2∈R且x1<x2.则f(x1)-f(x2)=因为x1<x2,所以所以<0,又因为+1>0,+1>0,所以(+1)(+1)>0.所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2).故f(x)为R上的增函数.课堂检测·素养达标1.平行于同一直线的两直线平行,因为a∥b,b∥c,所以a∥c,这个推理称为(

)A.合情推理 B.归纳推理C.类比推理 D.演绎推理【解析】选D.本题的推理模式是三段论,故该推理是演绎推理.2.①y=2x+5是一次函数;②y=2x+5的图象是一条直线;③一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理,则作为大前提、小前提和结论的分别是 (

)

A.②①③ B.③②① C.①②③ D.③①②【解析】选D.三段论:①y=2x+5是一次函数;②y=2x+5的图象是一条直线;③一次函数的图象是一条直线;大前提是③,小前提是①,结论是②.故排列的次序应为:③①②.3.有一段三段论形式的推理是这样的:对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点,因为f(x)=x3在x=0处的导数值为0,所以x=0是f(x)=x3的极值点,以上推理 (

)A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.结论正确【解析】选A.大前提是“对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,且满足在x0附近左右两侧导函数值异号,那么x=x0才是函数f(x)的极值点,所以大前提错误.4.“有些指数函数是减函数,y=2x是指数函数,所以y=2x是减函数”,上述推理(

)A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.以上都不是【解析】选C.因为大前提的形式:“有些指数函数是减函数”,不是全称命题,所以不符合三段论推理形式,所以推理形式错误.5.设a,b,c为正实数,求证:

【证明】因为a,b,c为正实数,由基本不等式可得即当且仅当a=b=c时取等号,所以+abc.而当且仅当=abc,即a=b=c=时取等号.所以当且仅当a=b=c=时取等号.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏4.“有些指数函数是减函数,y=2x是指数函数,所以y=2x是减函数”,上述推理(

)A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.以上都不是【解析】选C.因为大前提的形式:“有些指数函数是减函数”,不是全称命题,所以不符合三段论推理形式,所以推理形式错误.2.①y=2x+5是一次函数;②y=2x+5的图象是一条直线;③一次函数的