高中数学第一章三角函数1-4-3正切函数的性质与图象课件新人教A版必修4

1.4.3正切函数的性质与图象必备知识·自主学习正切函数y=tanx的图象和性质解析式y=tanx图象

定义域

解析式y=tanx值域__周期π奇偶性奇函数对称中心_______,k∈Z单调性在开区间______________,

k∈Z内都是增函数R应用:①比较大小;②解三角不等式;③求单调区间;④求对称中心【思考】

(1)从正切曲线上观察,正切函数值是有界的吗?提示:不是,正切函数没有最大值和最小值,正切函数的值域为R.(2)正切函数在整个定义域上都是增函数吗?提示:不是.正切函数在每一个开区间上是增函数.但在整个定义域上不是增函数.(3)可以怎样快速作出正切函数的图象?提示:正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出,三点指的是两线为直线x=kπ+和直线x=kπ-,其中k∈Z.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数y=tanx在其定义域上是增函数. (

)(2)函数y=tanx的图象的对称中心是(kπ,0)(k∈Z). (

)(3)函数y=tan2x的周期为π. (

)提示:(1)×.y=tanx在区间(k∈Z)上是增函数,但在其定义域上不是增函数.(2)×.y=tanx图象的对称中心是(k∈Z).(3)×.y=tan2x的周期为提示:(1)×.y=tanx在区间(k∈Z)上是增函数,但在其定义域上不是增函数.(2)×.y=tanx图象的对称中心是(k∈Z).(3)×.y=tan2x的周期为2.函数f(x)=tan的单调递增区间为 (

)

【解析】选C.f(x)=tan令所以+kπ<x<+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为k∈Z.3.(教材二次开发:练习改编)函数f(x)=的最小正周期为________.

【解析】因为即所以f(x)=2tan的周期为2.答案:2关键能力·合作学习类型一正切函数的定义域、周期性、奇偶性(数学抽象)【题组训练】1.函数y=tan的定义域为 (

)

A.x≠

B.x≠kπ+,k∈ZC.x≠ D.x≠k∈Z2.函数f(x)=tan的最小正周期是 (

)A.π

B.2π

C. D.3.函数f(x)=sinx+tanx的奇偶性为 (

)A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数3.函数f(x)=sinx+tanx的奇偶性为 (

)A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数

【解析】1.选D.因为所以2.选C.因为即所以所以f(x)=tan的最小正周期是3.选A.定义域为关于原点对称,因为f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x),所以它是奇函数.【解题策略】(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tanx有意义即x≠+kπ,k∈Z.(2)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=常常利用此公式来求周期.(3)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.【补偿训练】1.(2020·灵宝高一检测)函数y=的定义域是 (

)【解析】选D.函数有意义,则解得x≠kπ+,据此可得函数y=tan的定义域是2.函数f(x)=与函数g(x)=的最小正周期相同,则ω= (

)A.±1

B.1

C.±2

D.2【解析】选A.因为函数f(x)=与函数g(x)=的最小正周期相同,因此所以ω=±1.类型二正切函数的单调性(逻辑推理)角度1求正切函数的单调区间

【典例】求函数y=tan的定义域、最小正周期,并判断它的单调性.【思路导引】函数的定义域根据公式3x-≠+kπ,k∈Z求解,正切函数的最小正周期T=,利用y=tanx的单调性,令-+kπ<3x-<+kπ,k∈Z,求解函数的单调区间【解析】由题意知,3x-≠+kπ,k∈Z,解得:x≠π+π,k∈Z,所以函数的定义域是函数的最小正周期T=;-+kπ<3x-<+kπ,k∈Z,解得:-+<x<+,k∈Z,所以函数的单调递增区间是角度2利用正切函数的性质比较大小

【典例】已知a=sin,b=cos,c=tan,则a,b,c的大小关系为 (

)A.b<c<a

B.b<a<cC.c<b<a D.c<a<b【思路导引】将a=sin利用诱导公式化为a=sin,利用角的范围判断a>0>b>-1,而c<-1.大小关系即可确定.【解析】选C.a=sin=sinπ;因为<<π,所以sinπ>0>cosπ>-1,即-1<b<0.又正切函数在上单调递增,因为<,所以tan>tan=1,所以c=tan=-tan<-1,所以a>0>b>-1>c.【解题策略】1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0,由于y=tanx在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+φ<kπ+(k∈Z),求得x的范围即可.(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.2.比较正切值的大小第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上;第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.【题组训练】1.比较大小:(1)tan32°________tan215°.

(2)tan________tan

【解析】(1)tan215°=tan(180°+35°)=tan35°,因为y=tanx在上单调递增,32°<35°,所以tan32°<tan35°=tan215°.(2)tan

因为y=tanx在上单调递增,且

所以

答案:(1)<

(2)<2.将tan1,tan2,tan3按大小排列为________.(用“<”连接)

【解析】tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π),因为-<2-π<3-π<1<,且y=tanx在上单调递增,所以tan(2-π)<tan(3-π)<tan1,即tan2<tan3<tan1.答案:tan2<tan3<tan1类型三求函数的值域、最值(数学运算)【典例】求函数y=-tan2x+4tanx+1,x∈的值域.【思路导引】换元,把三角函数变为二次函数,根据二次函数的性质求函数的值域【解析】因为-≤x≤,所以-1≤tanx≤1.令tanx=t,则t∈[-1,1].所以f(t)=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.开口向下,对称轴为t=2,又因为f(t)在t∈[-1,1]时为增函数,所以当t=-1,即x=-时,ymin=-4,当t=1,即x=时,ymax=4,故所求函数的值域为[-4,4].【解题策略】求与正切函数相关的值域的方法(1)对于y=tanx在不同区间上的值域,可以结合图象,利用单调性求值域.(2)对于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域.(3)对于与y=tanx相关的二次函数,可以把tanx看成整体,利用配方法求值域.【跟踪训练】1.函数y=tanx的值域是________.

【解析】因为函数y=tanx在区间上为增函数,所以当x=-时有最小值为-1,当x=时有最大值为,所以其值域为[-1,].答案:

2.函数f(x)=sinx+tanx,x∈的值域是________.

【解析】由题意,根据正弦函数和正切函数的性质,可得函数y=sinx与y=tanx在区间上都是增函数,所以函数f(x)在区间上是增函数,所以所以函数f(x)=sinx+tanx的值域为答案:

备选类型正切函数图象、性质的综合应用(直观想象)【典例】1.函数f(x)=在区间[-π,π]内的大致图象是下列图中的 (

)

2.关于函数y=下列说法正确的是 (

)A.是奇函数B.在区间上单调递增C.为其图象的一个对称中心D.最小正周期为π【思路导引】1.根据绝对值的意义,先对|cosx|化简,然后根据化简结果判断图象.2.对每一选项逐一判断,得出正确选项.【解析】1.选C.在上,cosx>0,f(x)=tanx,所以在上其图象与y=tanx的图象相同,在上,cosx<0,f(x)=-tanx,所以在这两段上其图象是y=tanx的图象关于x轴的对称图形,故选C.2.选C.因为所以是函数y=图象的一个对称中心.【解题策略】1.形如y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx+φ=,k∈Z求出.2.作出函数y=|f(x)|的图象一般利用图象变换方法,具体步骤是:(1)保留函数y=f(x)图象在x轴上方的部分.(2)将函数y=f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.3.作出函数y=f(|x|)的图象一般利用图象变换方法,具体步骤是:(1)保留函数y=f(x)图象在y轴右侧的部分.(2)将函数y=f(x)图象在y轴左侧部分去掉,右侧部分对称过去.【跟踪训练】1.已知函数y=则该函数图象的对称中心坐标为________.

【解析】由

(k∈Z)得(k∈Z),所以图象的对称中心坐标为答案:

2.画出函数y=|tanx|+tanx的图象,并根据图象求出函数的值域、周期和单调区间.【解析】由y=|tanx|+tanx知y=其图象如图所示.所以值域:[0,+∞);周期性:T=π;单调增区间为,k∈Z.1.下列说法正确的是 (

)A.正切函数的定义域为RB.正切函数在整个定义域内是减函数C.函数y=3tan的图象关于y轴对称D.若x是第一象限角,则y=tanx是增函数【解析】选C.正切函数的定义域为故A错误;由增减函数的概念知B错误;对D,390°和60°均为第一象限角,且390°>60°,但tan390°<tan60°,故D错误,综上可知C正确.课堂检测·素养达标2.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点,则φ可以是 (

)A.-

B.

C.-

D.【解析】选A.因为函数的图象过点,所以tan=0,所以+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z,令k=0,则φ=-.3.函数f(x)=的定义域为________.

【解析】要使函数y=的解析式有意义,自变量x须满足:2x-≠kπ+,k∈Z,解得x≠+π,k∈Z,故函数y=的定义域为答案:

4.(教材二次开发:例题改编)已知函数y=则它的单调递减区间是________.

【解析】

由kπ-<x-<kπ+(k∈Z),得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,所以函数y=的单调递减区间是答案:

5.已知函数f(x)=x+tanx+1,若f(a)=2,则f(-a)=________.

【解析】设g(x)=x+tanx,显然g(x)为奇函数.因为f(a)=g(a)+1=2,所以g(a)=1,所以f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=0.答案:0Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应