新教材高中数学9-1-2余弦定理课件新人教B版必修第四册

9.1.2余弦定理基础预习初探1.回顾勾股定理及其逆定理:(1)在Rt△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果C=90°,那么a,b,c的关系是________.

(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果c2=a2+b2,那么角C的度数为________.

提示:(1)c2=a2+b2

(2)90°2.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果a=3,b=4,C=60°,如何计算c的值?提示:方法一:如图,作AH⊥CB,垂足为H,在Rt△AHC中,AC=4,C=60°,∠CAH=30°,得CH=2,HB=1,AH=2,由勾股定理,得c=AB=.方法二:在△ABC中,所以

,得=cos60°=9+16-2×3×4×=13,所以c=.方法三:在△ABC中,a=3,b=4,C=60°,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=9+16-2×3×4×=13,所以c=.【概念生成】1.余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的_________减去这两边与它们夹角的余弦的积的____.即a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC.平方的和2倍2.变形公式由余弦定理,可以得到如下推论(变形公式):cosA=

;cosB=

;cosC=

.核心互动探究探究点一利用余弦定理计算边长【典例1】1.在△ABC中,若a=2,b=

,C=

,则c=(

)

A.1 B.2 C.3 D.

2.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________,∠ADB=________.

【思维导引】1.利用余弦定理计算.2.利用三角形内角和定理以及余弦定理计算.核心互动探究探究点一利用余弦定理计算边长【典例1】1.在△ABC中,若a=2,b=

,C=

,则c=(

)

A.1 B.2 C.3 D.

2.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________,∠ADB=________.

【思维导引】1.利用余弦定理计算.2.利用三角形内角和定理以及余弦定理计算.【解析】1.选D.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=4+3-2×2×cos=13,所以c=.2.由△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,且A+B+C=π,可得B=.AB=1,BC=4,则BD=2,由余弦定理,得AD=在△ABD中,因为AB2+AD2=BD2,所以∠BAD=,∠ADB=.答案:

【类题通法】利用余弦定理计算的注意事项1.如果已知三角形的两边和夹角(即SAS)解三角形,那么通常运用余弦定理计算.2.注意三角形内角和定理(即A+B+C=π)在解三角形中的应用.【定向训练】1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中,cos

,BC=1,AC=5,则AB= (

)

A.4

B.

C.

D.2

【解析】选A.cosC=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,得AB2=25+1-2×5×1×=32,所以AB=4.2.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2

x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数.(2)求AB的长.【解题指南】(1)根据诱导公式可求角C的度数.(2)用余弦定理可求得AB的长.【解析】(1)由2cos(A+B)=1,得cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-.且0°<C<180°,所以C=120°.(2)因为a,b是方程x2-2x+2=0的两根,所以a+b=2,ab=2,所以AB2=a2+b2-2abcos120°=(a+b)2-ab=10,得AB=.【解析】(1)由2cos(A+B)=1,得cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-.且0°<C<180°,所以C=120°.(2)因为a,b是方程x2-2x+2=0的两根,所以a+b=2,ab=2,所以AB2=a2+b2-2abcos120°=(a+b)2-ab=10,得AB=.探究点二利用余弦定理计算角【典例2】1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为 (

)

2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A.(2)若

a+b=2c,求sinC.【思维导引】1.设等腰三角形的底边和腰,利用余弦定理计算.2.(1)利用正弦定理得到b2+c2-a2=bc,利用余弦定理求cosA再计算A.(2)利用正弦定理将三边的等式转化为三角函数关系式,利用整体角代换法及和差角的正弦公式计算sinC=【解析】1.选D.设等腰三角形ABC的底边长为a,腰为b,则周长为a+2b,依题意得a+2b=5a,所以b=2a,那么等腰三角形的顶角A的余弦值为cosA=2.(1)由(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由a+b=2c及正弦定理得sinA+sin(120°－C)=2sinC,即cosC+sinC=2sinC,可得

sinC-cosC=,即

所以cos(C+60°)=-.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=,故sinC=sin(C+60°－60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=【类题通法】由余弦定理求角的方法技巧1.如果已知三角形的三边(即SSS)解三角形,那么通常运用余弦定理的变形公式计算.2.由余弦定理的变形公式cosC=

,容易得到下列常用的结论:C=90°⇔c2=a2+b2,C<90°⇔c2<a2+b2,C>90°⇔c2>a2+b2.提醒:若C是三角形的最大的角,则C≥60°,若C是三角形的最小的角,则C≤60°.【定向训练】1.已知三角形的三边满足条件

=1,则A=(

)A.30° B.45° C.60° D.120°【解析】选C.由题得a2-b2-c2+2bc=bc,所以b2+c2-a2=bc,所以2bccosA=bc,所以cosA=,因为0<A<π,所以A=.2.(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.【解析】(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC,所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=AC·AB,所以cosA=因为A∈(0,π),所以A=(2)由(1)知A=,又BC=3,所以由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=AC2+AB2+AC·AB=9,即(AC+AB)2-AC·AB=9.因为AC·AB≤(当且仅当AC=AB时取等号),所以9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-解得:AC+AB≤2(当且仅当AC=AB时取等号),所以△ABC的周长=AC+AB+BC≤3+2,所以△ABC周长的最大值为3+2.【补偿训练】在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长.(2)求sin2C的值.【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理可知,BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cosA,即BC2=32+22-2×3×2×cos60°,解得BC=.(2)由正弦定理可知,即,解得sinC=,由余弦定理可得,cosC=所以sin2C=2sinCcosC=2×探究点三由余弦定理判断三角形的形状【典例3】在△ABC中,如果三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状为 (

)

A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.以上均有可能【思维导引】利用a3+b3=c3得到=1,且c为最大的边,通过不等式的性质转化为>1,再利用余弦定理的变形公式确定角C的取值范围判断.【解析】选A.依题意知c边最大.因为a3+b3=c3,所以=1,所以0<<1,0<<1,所以所以>1,即a2+b2-c2>0,cosC=>0,所以0<C<,所以△ABC为锐角三角形.【类题通法】判断三角形形状的方法技巧判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形:(1)一个方向是转化为角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理进行边化角.(2)另一个方向是转化为边,走代数变形之路,通常是正弦定理、余弦定理结合使用.【定向训练】1.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=2bcosC,则△ABC的形状为 (

)A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰或直角三角形【解题指南】利用余弦定理的变形公式转化为三边关系判断.也可以用正弦定理,转化为三角形的内角的三角函数关系判断.【解析】选A.方法一:在△ABC中,a=2bcosC,由正弦定理得2RsinA=4RsinBcosC,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,得sinBcosC-cosBsinC=0,所以sin(B-C)=0,得B-C=0,B=C,所以b=c,即△ABC为等腰三角形.方法二:在△ABC中,由余弦定理得cosC=所以a=2bcosC=2b·,得a2=a2+b2-c2,所以b=c,△ABC的形状为等腰三角形.2.(1)已知在△ABC中,,试判断三角形的形状.(2)已知在△ABC中,,试判断三角形的形状.【解析】(1)方法一:利用正弦定理将边转化为角.因为,所以bcosA=acosB,又b=2RsinB,a=2RsinA,所以2RsinBcosA=2RsinAcosB,所以sinAcosB-cosAsinB=0,所以sin(A-B)=0.因为0<A<π,0<B<π,所以-π<A-B<π,所以A-B=0,即A=B,故三角形是等腰三角形.方法二:利用余弦定理将角化为边.因为由题意得bcosA=acosB,所以b·

所以b2+c2-a2=a2+c2-b2,所以a2=b2,所以a=b.故此三角形是等腰三角形.(2)方法一:由已知及正弦定理得所以sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法二:由已知,得bcosB=acosA,所以

所以b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2),所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2⇔C=90°.故此三角形是等腰三角形或直角三角形.【课堂小结】课堂素养达标1.在△ABC中,三边长a,b,c的对角分别为A,B,C,已知a=2,b=3,cosC=

,则c的值为 (

)

A.2 B.3 C.

D.

【解析】选B.因为c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×=9,所以c=3.2.若a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2的值 (

)A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定【解析】选C.cosB=所以a2+c2-b2=-ac,即a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.3.已知三角形的三边长度分别为6,3

,3

,则三角形的最大内角的度数为 (

)A.90° B.120° C.135° D.150°【解析】选C.因为三角形的三边长度6,3,3中,3是最大的边,则三角形的最大内角θ满足cosθ=所以θ=135°.4.在△ABC中,A=60°,最大边和最小边是方程x2-9x+8=0的两个正实数根,则边BC=________.

【解析】因为A=60°,所以最大边和最小边所夹的角为A,AB,AC为x2-9x+8=0的两个正实数根,则AB+AC=9,AB×AC=8,所以BC2=AB2+AC2-2×AC×AB×cosA=(AB+AC)2-2×AC×AB×(1+cosA)=92-2×8×=57.所以BC=.答案:

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,3

,则三角形的最大内角的度数为 (

)A.90° B.120° C.135° D.150°【解析】选C.因为三角形的三边长度6,3,3中,3是最大的边,则三角形的最大