高考数一轮复习 3.6 简单的三角恒等变换限时集训 理

限时集训(二十)简单的三角恒等变换(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(·济南模拟)函数y＝sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))的最小正周期是()A.eq\f(π,2) B．πC．2π D．4π2．(·沈阳四校联考)若eq\f(1＋cos2α,sin2α)＝eq\f(1,2)，则tan2α等于()A.eq\f(5,4) B．－eq\f(5,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)3．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝alogaeq\f(1,3)(a＞0，且a≠1)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋α))的值为()A.eq\f(\r(10),10) B．－eq\f(\r(10),10)C.eq\f(3\r(10),10) D．－eq\f(3\r(10),10)4．已知x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cos2x＝a，则cosx＝()A.eq\r(\f(1－a,2)) B．－eq\r(\f(1－a,2))C.eq\r(\f(1＋a,2)) D．－eq\r(\f(1＋a,2))5．计算eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))·cos2α,2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))的值为()A．－2 B．2C．－1 D．16．若eq\f(cos2α,sinα＋\f(7π,4))＝－eq\f(\r(2),2)，则sinα＋cosα的值为()A．－eq\f(\r(2),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(7),2)7．函数y＝sinxcosx＋eq\r(3)cos2x的图象的一个对称中心是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，－\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))8．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则eq\f(sin3α,cosα)＋eq\f(cos3α,sinα)的最小值为()A.eq\f(27,64) B.eq\f(3\r(2),5)C.eq\f(5\r(3),6) D．1二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(·温州模拟)化简sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sin2α的结果为________．10．若α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－eq\f(1,2)，cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，则tan(α－β)＝________.11．设α是第二象限角，tanα＝－eq\f(4,3)，且sineq\f(α,2)<coseq\f(α,2)，则coseq\f(α,2)＝________.12．(·青岛模拟)在△ABC中，若sinA＝eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(3,5)，则cosC＝________.13．(·江苏高考)设α为锐角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值为________．14．如图，圆O的内接“五角星”与圆O交于Ai(i＝1,2,3,4,5)点，记弧AiAi＋1在圆O中所对的圆心角为αi(i＝1,2,3,4)，弧A5A1所对的圆心角为α5，则cos3α1·cos(α3＋α5)－sin3α2sin2α4等于________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．(1)化简eq\f(4cos4x－2cos2x－1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))；(2)化简[2sin50°＋sin10°(1＋eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280°).16．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．17．已知函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜φ＜0))的最小正周期为π，且其图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0)).(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))，α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且g(α)＝1，g(β)＝eq\f(3\r(2),4)，求g(α－β)的值．答案[限时集训(二十)]1．B2.D3.B4.D5.D6.C7.D8.D9.eq\f(1,2)10.－eq\f(\r(7),3)11.－eq\f(\r(5),5)12.－eq\f(16,65)13.eq\f(17\r(2),50)14.115．解：(1)原式＝eq\f(1＋cos2x2－2cos2x－1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝eq\f(cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝eq\f(2cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x)))＝eq\f(2cos22x,cos2x)＝2cos2x.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin50°＋sin10°·\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)))·eq\r(2)sin80°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(2sin50°＋2sin10°·),\s\do5())\f(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°,\o(\s\up7(cos10°),\s\do5()))))·eq\r(2)cos10°＝2eq\r(2)[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝2eq\r(2)sin(50°＋10°)＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6).16．解：(1)由题意可知，f′(x)＝cosx－sinx＝－eq\r(2)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，所以y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1)).∴函数F(x)的值域为[0,1＋eq\r(2)]．17．解：(1)依题意函数的最小正周期T＝eq\f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝3cos(2x＋φ)．因为函数f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))，所以3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5π,12)＋φ))＝0，得到2×eq\f(5π,12)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即φ＝kπ－eq\f(π,3)，k∈Z.由－eq\f(π,2)＜φ＜0得φ＝－eq\f(π,3).故函数f(x)的解析式为f(x)＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).(2)依题意有g(x)＝3coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))－\f(π,3)))＝3cosx，由g(α)＝3cosα＝1，得cosα＝eq\f(1,3)，同理g(β)＝3cosβ＝eq\f(3\r(2),4)，得cosβ＝eq\f(\r(2),4).而α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinα＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq