2015届高考理科数学第二专题整合检测题49

选修4-1几何证明选讲eqA组(供高考题型为填空题的省份使用)1．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.解析∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8eq\r(2).又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(BE,CD)，∴BE＝eq\f(AB·CD,AD)＝eq\f(6×8\r(2),12)＝4eq\r(2).答案4eq\r(2)2．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．解析如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝eq\r(3)，OD＝BD＝1，∴DF＝eq\f(\r(3),3)，∴AF＝AD－DF＝eq\f(2\r(3),3).答案eq\f(2\r(3),3)3．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝eq\f(a,2)，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析连接DE，由于E是AB的中点，故BE＝eq\f(a,2).又CD＝eq\f(a,2)，AB∥DC，CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝eq\f(a,2).答案eq\f(a,2)4.如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.解析如图，连接OA，OB，∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠AOB＝120°.又P，A，O，B四点共圆，故∠APB＝60°.答案60°5．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.解析由切割线定理知，C2＝PA·PB，解得PC＝2eq\r(3).连接OC，又OC⊥PC，故CD＝eq\f(PC·OC,PO)＝eq\f(2\r(3)×2,4)＝eq\r(3).答案eq\r(3)6．如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，则线段AC的长为________．解析由切割线定理，得CD2＝BD·AD.因为CD＝6，AB＝5，则36＝BD(BD＋5)，即BD2＋5BD－36＝0，即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以BD＝4.因为∠A＝∠BCD，所以△ADC∽△CDB，于是eq\f(AC,CB)＝eq\f(CD,BD).所以AC＝eq\f(CD,BD)·BC＝eq\f(6,4)×3＝eq\f(9,2).答案eq\f(9,2)7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为______．解析由题意，得弦切角∠BCD＝∠A＝60°，∠ACB＝∠D＝90°，∴△ABC∽△CBD.∴eq\f(AB,CB)＝eq\f(AC,CD)，CD＝eq\f(CB·AC,AB)＝eq\f(20sin60°×20cos60°,20)＝5eq\r(3).又∵CD与圆相切，∴CD2＝DE·DB，则DE＝eq\f(CD2,DB)＝eq\f(5\r(3)2,CBsin60°)＝eq\f(25×3,20×sin60°×sin60°)＝5.答案58．如图，⊙O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB＝OA＝2，则PF＝________.解析由相交弦定理可得BF·AF＝DF·CF，由△COF∽△PDF可得eq\f(CF,PF)＝eq\f(OF,DF)，即得DF·CF＝PF·OF.∴BF·AF＝PF·OF，即(PF－2)·(6－PF)＝PF·(4－PF)，解得PF＝3.答案39．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2)，eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,3)，则eq\f(BC,AD)的值为________．解析∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD.∴eq\f(PB,PD)＝eq\f(PC,PA)＝eq\f(BC,AD).∵eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2)，eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(BC,AD)＝eq\f(\r(6),6).答案eq\f(\r(6),6)10．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.解析C为BD中点，且AC⊥BC，故△ABD为等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又eq\f(AE,AC)＝eq\f(AC,AD)⇒AC2＝AE·AD＝4×6＝24，AC＝2eq\r(6)，在△ABC中，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(36－24)＝2eq\r(3).答案2eq\r(3)11．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝________cm.解析如图，连接DC，则CD⊥AB，Rt△ADC∽Rt△ACB.故eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，即eq\f(AD,3)＝eq\f(3,5)，AD＝eq\f(9,5)(cm)，BD＝5－eq\f(9,5)＝eq\f(16,5)(cm)．答案eq\f(16,5)12．如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.解析∵直线PB与圆相切于点B，且∠PBA＝∠DBA，∴∠ACB＝∠ABP＝∠DBA，由此可得直线AB是△BCD外接圆的切线且B是切点，则由切割线定理得AB2＝AD·AC＝mn，即得AB＝eq\r(mn).答案eq\r(mn)13．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝eq\f(3,2)，则线段CD的长为________．解析由相交弦定理得AF·FB＝EF·FC，∴FC＝eq\f(AF·FB,EF)＝2.由△AFC∽△ABD，可知eq\f(FC,BD)＝eq\f(AF,AB)，∴BD＝eq\f(FC·AB,AF)＝eq\f(8,3).由切割线定理得DB2＝DC·DA，又DA＝4CD，∴4DC2＝DB2＝eq\f(64,9)，∴DC＝eq\f(4,3).答案eq\f(4,3)14．如图所示，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝eq\r(2)，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．解析设AF＝4k，BF＝2k，BE＝k，由DF·FC＝AF·BF，得2＝8k2，即k＝eq\f(1,2).所以AF＝2，BF＝1，BE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(7,2).由切割线定理，得CE2＝BE·EA＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)＝eq\f(7,4)，所以CE＝eq\f(\r(7),2).答案eq\f(\r(7),2)15．如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．解析当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DB＝DC＝2最大．答案2B组(供高考题型为解答题的省份使用)1．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝eq\f(1,2)AD·AE，求∠BAC的大小．(1)证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)解因为△ABE∽△ADC，所以eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC)，即AB·AC＝AD·AE.又S＝eq\f(1,2)AB·ACsin∠BAC，且S＝eq\f(1,2)AD·AE，故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.2．(2014·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA.所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.3．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.(1)证明：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即eq\f(ON,OP)＝eq\f(OM,OK).又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋eq\r(3)，求△ABC外接圆的面积．(1)证明如图，设F为AD延长线上一点．∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF.又∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE.(2)解设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋eq\f(\r(3),2)r＝2＋eq\r(3)，得r＝2，∴△ABC外接圆的面积为4π.5．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.(1)求证：AB2＝DE·BC；(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.∴△CDE∽△BCD.∴eq\f(DC,BC)＝eq\f(DE,DC).∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.(2)解由(1)知，DE＝eq\f(AB2,BC)＝eq\f(62,9)＝4，∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴eq\f(PD,PB)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(4,9).又∵PB－PD＝9，∴PD＝eq\f(36,5)，PB＝eq\f(81,5).∴PC2＝PD·PB＝eq\f(36,5)·eq\f(81,5)＝eq\f(542,52).∴PC＝eq\f(54,5).6．如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝eq\r(3)，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．(1)证明如图，连接DE，则∠DCB＝∠DEB，∵DB⊥BE，∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，∴DB＝DC.(2)解由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，∴∠BDE＝∠CDE，∴DE是BC的垂直平分线