《多元统计分析-基于R（第3版）》课件 第5章-多元线性模型

主编：费宇中国人民大学出版社5.1多元正态分布5.2多元线性模型5.3变量选择5.4回归诊断5.5回归预测第5章多元线性模型2主编：费宇2024/7/315.1.1多元正态分布的定义5.1多元正态分布2024/7/313主编：费宇5.1.1多元正态分布的定义5.1多元正态分布2024/7/314主编：费宇5.1.2多元正态分布的性质5.1多元正态分布2024/7/315主编：费宇5.1.2多元正态分布的性质5.1多元正态分布2024/7/316主编：费宇5.2多元线性模型5.2.1模型定义其中x1,…,xp是非随机的自变量,y是随机的因变量,β0是常数项,β1,…,βp是回归系数,ε是随机误差项.7主编：费宇2024/7/315.2.1.模型定义模型(5.1)的样本形式其中i=1,…,n,表示有n组观测值.8主编：费宇2024/7/315.2.1.模型定义模型(5.2)的矩阵形式其中9主编：费宇2024/7/31例5.1(数据文件为eg5.1)10主编：费宇表5-1抽样调查得到的36个学生的相关成绩2024/7/31yx1x2x3x4x5yx1x2x3x4x5858386909076456065608678909288879280768081758075787076738590888582868580807281829088828081868790………………………………928385908580627865608588788482739083878083857883模型（5.3）的参数的最小二乘估计的最小二乘估计

5.2.2模型的参数估计和检验2024/7/3111主编：费宇1.回归方程的显著性检验其中是回归平方和，而

是残差平方和，拒绝域为

5.2.2模型的参数估计和检验2024/7/3112主编：费宇5.2.2模型的参数估计和检验2024/7/3113主编：费宇例5.1续1(数据文件为eg5.1)14主编：费宇建立y关于x1、x2、x3、x4和x5的线性回归方程,并对方程和回归系数进行显著性检验.2024/7/31yx1x2x3x4x5yx1x2x3x4x5858386909076456065608678909288879280768081758075787076738590888582868580807281829088828081868790………………………………928385908580627865608588788482739083878083857883#例5.1回归分析：全变量回归setwd("C:/data")#设定工作路径d5.1<-read.csv("exam5.1.csv",header=T)#将exam5.1.csv数据读入到d5.1中lm.exam<-lm(y~x1+x2+x3+x4+x5,data=d5.1)#建立y关于x1,x2,x3,x4和x5的线性回归方程,数据为d5.1summary(lm.exam)#给出回归系数的估计和显著性检验等例5.1续1(数据文件为eg5.1)15主编：费宇R程序为:Call:lm(formula=y~x1+x2+x3+x4+x5,data=d5.1)Residuals:Min1QMedian3QMax-10.0696-1.7983-0.15352.93616.8726

Coefficients:EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|)(Intercept)-32.7353415.35701-2.1320.0413*x10.162710.150311.0820.2877x20.227840.138351.6470.1100x30.881160.111087.9337.46e-09***x4-0.051360.15476-0.3320.7423x50.168870.143761.1750.2494回归分析结果为2024/7/3116主编：费宇---Signif.codes:0‘***’0.001‘**’0.01‘*’0.05‘.’0.1‘’1

Residualstandarderror:4.021on30degreesoffreedomMultipleR-squared:0.8945,AdjustedR-squared:0.877F-statistic:50.89on5and30DF,p-value:9.359e-14例5.1续(数据文件为eg5.1)2024/7/3117主编：费宇回归方程的F值为50.89,相应的p值为9.359

10-14,说明回归方程是显著的;但t检验对应的p值则显示:常数项和x3是显著的,而x1、x2、x4和x5不显著.最优模型一般满足2个条件（1）模型反映了变量间的真实关系

（2）模型包含的变量尽量少例5.1（续2）建立y关于x1、x2、x3、x4和x5的线性回归方程,并对方程和回归系数进行显著性检验（逐步回归建立“最优方程”）.

5.3变量选择2024/7/3118主编：费宇>#例5.1回归分析：逐步回归>#假设exam5.1.xls中的数据已经读入到d5.1中>lm.exam<-lm(y~x1+x2+x3+x4+x5,data=d5.1)#建立全变量回归方程>lm.step<-step(lm.exam,direction="both")#进行逐步回归5.3变量选择2024/7/3119主编：费宇例5.1(续2)逐步回归程序Start:AIC=105.63y~x1+x2+x3+x4+x5

DfSumofSqRSSAIC-x411.78486.83103.76-x1118.95503.99105.01-x5122.31507.36105.25<none>485.05105.63-x2143.85528.90106.74-x311017.441502.49144.335.3变量选择2024/7/3120主编：费宇例5.1(续)回归结果Step:AIC=103.76y~x1+x2+x3+x5

DfSumofSqRSSAIC-x1117.91504.73103.06-x5120.57507.40103.25<none>486.83103.76-x2142.99529.81104.80+x411.78485.05105.63-x311112.961599.79144.595.3变量选择2024/7/3121主编：费宇Step:AIC=103.06y~x2+x3+x5

DfSumofSqRSSAIC-x5117.40522.14102.28<none>504.73103.06+x1117.91486.83103.76+x410.74503.99105.01-x2170.76575.50105.78-x311848.492353.23156.485.3变量选择2024/7/3122主编：费宇Step:AIC=102.28y~x2+x3

DfSumofSqRSSAIC<none>522.14102.28+x5117.40504.73103.06+x1114.74507.40103.25+x410.25521.89104.26-x2166.64588.78104.60-x311953.302475.43156.305.3变量选择2024/7/3123主编：费宇Call:lm(formula=y~x2+x3,data=d5.1)Residuals:Min1QMedian3QMax-10.4395-2.5508-0.44592.73677.2345

Coefficients:EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|)(Intercept)-18.842907.58902-2.4830.0183*x20.249230.121442.0520.0481*x30.968040.0871311.1111.09e-12***---Signif.codes:0‘***’0.001‘**’0.01‘*’0.05‘.’0.1‘’1

Residualstandarderror:3.978on33degreesoffreedomMultipleR-squared:0.8865,AdjustedR-squared:0.8796F-statistic:128.8on2and33DF,p-value:2.566e-16回归模型汇总信息:summary(lm.step)2024/7/3124主编：费宇5.4.1残差分析和异常点探测

残差向量e是模型中随机误差项

的估计，残差分析可以诊断模型的基本假定是否成立。

5.4

回归诊断2024/7/3125主编：费宇例5.2

计算例5.1得到的逐步回归模型lm.step的普通残差和标准化残差,判断可能存在的异常点,画出相应的残差散点图,并直观判断模型的基本假定是否成立.5.4

回归诊断2024/7/3126主编：费宇#例5.2#假设由例5.1已经得到逐步回归模型lm.stepy.res<-residuals(lm.exam)#计算模型lm.exam的普通残差y.rst<-rstandard(lm.step)#计算回归模型lm.step的标准化残差print(y.rst)#输出回归模型lm.step的标准化残差y.rsty.fit<-predict(lm.step)#计算回归模型lm.step的预测值plot(y.res~y.fit)#绘制以普通残差为纵坐标，预测值为横坐标的散点图plot(y.rst~y.fit)#绘制以标准化残差为纵坐标，预测值为横坐标的散点图5.4

回归诊断2024/7/3127主编：费宇分别采用residuals(),rstandard()和rstudent()来计算普通残差,标准化残差和学生化残差.123456-1.226479490.701233481.85465439-0.18487397-0.731575470.14591132789101112-0.651653781.37662024-0.28171298-0.96473838-0.798622470.81284419131415161718-0.48393343-1.176685880.913377160.564389020.658766891.49006874192021222324-2.871217390.527102680.81076269-0.668013511.20184149-1.040201892526272829300.32282704-0.04616114-0.159120010.21602487-0.21306706-0.23026109313233343536-0.24302334-2.03567204-0.33183300-0.073548931.804380090.737029325.4

回归诊断2024/7/3128主编：费宇回归模型lm.step的标准化残差y.rst如下第19号点是异常点2024/7/3129主编：费宇图5-1例5.2中的普通残差图(左)和标准化残差图(右)例5.3

通过方差稳定变换来更新例5.1得到的逐步回归模型lm.step,并计算更新后模型的标准化残差,画出相应的残差散点图,并直观判断模型的基本假定是否成立.5.4

回归诊断2024/7/3130主编：费宇#例5.3#假设由例5.1已经得到逐步回归模型lm.steplm.step_new<-update(lm.step,log(.)~.)#对模型进行对数变换y.rst<-rstandard(lm.step_new)#计算lm.step_new的标准化残差y.fit<-predict(lm.step_new)#计算lm.step_new的预测值plot(y.rst~y.fit)#绘制以标准化残差为纵坐标,预测值为横坐标的散点图（见图5-2）采用对数变换来解决方差非齐问题2024/7/3131主编：费宇对数变换后：第19号点是异常点2024/7/3132主编：费宇图5-2例5.3中的标准化残差图lm.exam<-lm(log(y)~x1+x2+x3+x4,data=d5.1[-c(19),])#去掉第19号观测值再建立全变量回归方程lm.step<-step(lm.exam,direction="both")#用一切子集回归法来进行逐步回归y.rst<-rstandard(lm.step)#计算回归模型lm.step的标准化残差y.fit<-predict(lm.step)#计算回归模型lm.step的预测值plot(y.rst~y.fit)#绘制以标准化残差为纵坐标，预测值为横坐标的散点图去掉19号观测值再回归2024/7/3133主编：费宇残差几乎全部落在[-2，2]区域内2024/7/3134主编：费宇图5-3例5.3中的标准化残差图:去掉19号观测值5.4.2回归诊断：一般的方法残差分析无法分析模型的影响点,即探测哪些点对模型的推断有重要影响,本节给出的回归诊断方法,可以诊断模型的基本假定是否成立,哪些值是异常点,哪些点是强影响点.在R中,函数plot()和influence.measures()可以用来绘制诊断图和计算诊断统计量.5.4

回归诊断2024/7/3135主编：费宇例5.4对例5.3得到的逐步回归模型lm.step_new进行回归诊断分析.5.4回归诊断2024/7/3136主编：费宇#例5.4#假定由例5.3已经获得模型lm.step_newpar(mfrow=c(2,2))#在一个2×2网格中创建4个绘图区plot(lm.step_new)#绘制模型诊断图influence.measures(lm.step_new)#计算各个观测值的诊断统计量运行上述程进行序可得回归诊断图(图5-4)和如下36个观测值对应的诊断统计量的值.第11，19和33号观测值被诊断为强影响点.2024/7/3137主编：费宇Influencemeasuresoflm(formula=log(y)~x2+x3，data=d5.1)：dfb.1_dfb.x2dfb.x3dffitcov.rcook.dhatinf10.172353-0.052013-1.36e-01-0.291711.0522.82e-020.06622-0.0789410.0622346.53e-030.110451.1604.17e-030.069130.196029-0.049262-1.17e-010.373080.8364.31e-020.0383…110.014319-0.1934602.46e-01-0.270291.3462.49e-020.2065*12-0.0378780.0103993.07e-