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文档简介

11.4

重积分的应用11.4.1几何应用1.求体积

由二重积分的几何意义,xOy面上的闭区域D为底的以连续曲面

曲顶柱体的体积为为顶,由三重积分的性质知,

占有空间区域

的立体的体积为axz

y0例1求圆柱面所围立体体积.Dy=0x

=0aaaaxoyDxz

y0解解例2

求区域与的公共部分的体积.由

由锥面和球面围成,采用球面坐标所求体积

(1)设光滑曲面Σ的方程为:设小区域作母线平行于z轴的小柱面,2.求曲面的面积它在xOy面上的投影区域为,——曲面Σ的面积元素曲面面积为则有而(3)设曲面Σ的方程为：曲面面积为(2)设曲面Σ的方程为：曲面面积为它在yOz面上的投影区域为

,它在xOz面上的投影区域为解于是

表面积

例3

求球面

的表面积.上半球面方程为

axz

y0解设圆柱面为考虑第一卦限例4两相同正圆柱面的轴互相直交,圆柱的底半径为a,求一柱面被另一柱面所割出部分的面积.Daaxz

y0aaxoyD则该质点系的重心的坐标为设有n个质点组成的一个平面质点系,它们分别质量分别为1.重心(质心)11.4.2物理应用其中为质点系的总质量.

类似地,空间质点系的重心坐标公式为当薄片是均匀的,重心称为D的形心.设有一平面薄片,为xOy面上的闭区域D,

在点(x,y)处的面密度为在D上连续,则平面薄片的重心坐标为其中S是闭区域D的面积其体质量密度为

类似地,若

是空间几何体,

的体积为V,则

的重心坐标为其中为体积的重量.

其中为物体的体积.

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