北京市西城区(北区)2011-2012学年高二下学期期末考试-数学(文科)试题

北京市西城区（北区）2011—2012学年度第二学期学业测试高二数学（文科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集，集合，那么集合的子集有（）A.6个B.7个C.8个D.9个2.是虚数单位，复数等于（）A.B.C.D.3.下列函数中，图象关于y轴对称，且在上单调递增的函数是（）A.B.C.D.4.若，则“”是“”的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件5.对于，函数满足，且在上单调递减，，那么使得成立的x的范围是（）A.B.C.D.6.在数列中，，其中。记的前n项和为，那么等于（）A.B.C.D.7.已知函数在区间上存在零点，那么实数a的取值范围是（）A.B.C.D.8.设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数.已知是函数的一个承托函数，那么实数a的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知命题：，，那么命题为____________________________.10.已知函数若，则实数_________.11.设，那么实数a,b,c的大小关系是_________.12.在等比数列中，，，则________.13.设函数，，则的最大值为____________，最小值为_________。14.如图，设是抛物线上一点，且在第一象限.过点作抛物线的切线，交轴于点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，此时就称确定了.依此类推，可由确定，.记，。给出下列三个结论：①；②数列是公比为的等比数列；③当时，.其中所有正确结论的序号为___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设，集合，.（Ⅰ）当a=3时，求集合；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.16.（本小题满分13分）已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求数列的前n项和.17.（本小题满分13分）已知函数，其中.（Ⅰ）若函数为奇函数，求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.18.（本小题满分13分）如图，要建一间体积为，墙高为的长方体形的简易仓库.已知仓库屋顶每平方米的造价为500元，墙壁每平方米的造价为400元，地面造价忽略不计.问怎样设计仓库地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少？19.（本小题满分14分）设函数，其中.（Ⅰ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，求实数的值；（Ⅱ）求函数的极值.20.（本小题满分14分）在数列中，对于任意，等式成立，其中常数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：数列为等比数列；（Ⅲ）如果关于n的不等式的解集为，求b和c的取值范围.

【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C；2.D；3.B；4.A；5.C；6.D；7.B；8.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.，；10.；11.；12.；13.；14.①、③。注：第13题第一个空2分，第二个空3分；第14题少选得2分，多选和错选均不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分）15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为集合或，…………2分集合，…4分所以或.……………7分（Ⅱ）解：因为，所以，………………11分解得.…………13分注：第（Ⅱ）问中没有等号扣分.16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，由题意，得，即，……2分所以，解得，或（舍），…………4分所以.………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得，……8分所以.则………………9分……11分，所以数列的前n项和.……13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为是奇函数．所以，其中且.…………2分即,其中且.所以.…………6分（Ⅱ）解：.…………8分因为在区间上单调递增,所以在上恒成立，………9分即在上恒成立，因为在上的最小值，所以．验证知当时，在区间上单调递增.…13分18.（本小题满分13分）解：设仓库地面的长为，宽为，则有，所以．…2分则仓库屋顶的面积为，墙壁的面积为．所以仓库的总造价，…5分将代入上式，整理得．……7分因为，所以，………10分且当，即时，W取得最小值36500．此时．………12分答：当仓库地面的长为，宽为时，仓库的总造价最低，最低造价为36500元.…………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：函数的定义域是.………………1分对求导数，得.…………3分由题意，得，且，解得.…………5分（Ⅱ）解：由，得方程，一元二次方程存在两解，，…………6分当时，即当时，随着x的变化，与的变化情况如下表： ↘极小值↗即函数在上单调递减，在上单调递增.所以函数在存在极小值；……………8分当时，即当时，随着x的变化，与的变化情况如下表： ↗极大值↘极小值↗即函数在，上单调递增，在上单调递减.所以函数在存在极小值，在存在极大值；…………10分当时，即当时，因为（当且仅当时等号成立），所以在上为增函数，故不存在极值；……………12分当时，即当时，随着x的变化，与的变化情况如下表： 极大值极小值即函数在，上单调递增，在上单调递减.所以函数在存在极大值，在存在极小值；综上，当时，函数存在极小值，不存在极大值；当时，函数存在极小值，存在极大值；当时，函数不存在极值；当时，函数存在极大值，存在极小值.…………14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为，所以，，解得，.…………3分（Ⅱ）证明：当时，由，①得，②将①，②两式相减，得,化简，得，其中.…5分因为，所以，其中.…………6分因为为常数，所以数列为等比数列.……8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，………9分所以，11分又因为，所以不等式化简为，当时，考察不等式的解，由题意，知不等式的解集为，因为函数在R上单调递增，所以只要求且即可，解得；……13分当时，考察不等式的解，由题意，要求不等式的解集为，因为，所以如果时不等式成立，那么时不等式也成立，这与题意不符，舍去.所以，.…………14分沁园春·雪<毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。望