九年级数学下册期末高效复习专题6直线与圆的位置关系含解析浙教版

PAGE专题6直线与圆的位置关系题型一直线与圆的位置关系例1[2017·余杭区一模]在平面直角坐标系xOy中，经过点(sin45°，cos30°)的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是(A)A．相交 B．相切C．相离 D．以上三者都有可能【解析】如答图，设直线经过的点为A，例1答图∵点A的坐标为(sin45°，cos30°)，∴OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，∵圆的半径为2，∴OA＜2，∴点A在圆内，∴直线和圆一定相交．变式跟进1．[2017·市北区二模]⊙O的半径r＝5cm，直线l到圆心O的距离d＝4，则l与⊙O的位置关系是(A．相离B．相切C．相交 D．重合【解析】∵⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，5＞4，即d＜r，∴直线l与⊙2．[2017·阳谷一模]已知等腰三角形的腰长为6cm，底边长4cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm为半径画圆，A．相离 B．相切C．相交 D．不能确定【解析】如答图，在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC于D，则BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝2，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(62－22)＝4eq\r(2)＞5，即d＞r，∴该圆与底边的位置关系是相离．第2题答图题型二切线的性质例2[2016·天津]在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．(1)如图1①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；(2)如图②，D为弧AC上一点，且OD经过AC的中点E，连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．图1解：(1)如答图，连结OC，∵⊙O与PC相切于点C，例2答图∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△COP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；(2)∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，由∠EAO＝10°，得∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝eq\f(1,2)∠AOD＝40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°.【点悟】已知切线，常常连结切点和圆心作半径．变式跟进3．已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连结AB，AO.(1)如图2①，求证：∠OAC＝∠DAB；(2)如图②，AD＝AC，若E是⊙O上一点，求∠E的大小．图2解：(1)证明：∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AO，∴∠DAO＝90°，∴∠DAB＋∠BAO＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAO＋∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠DAB；(2)∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C，∵AD＝AC，∴∠D＝∠C，∴∠OAC＝∠D，∵∠OAC＝∠DAB，∴∠DAB＝∠D，∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠D，∵∠D＝∠C，∴∠ABC＝2∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°，∴2∠C＋∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴∠E＝∠C＝30°.题型三切线的判定例3如图3，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连结OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G.(1)求证：点E是弧BD的中点；(2)求证：CD是⊙O的切线．图3例3答图证明：(1)如答图，连结OD，∵AD∥OC，∴∠1＝∠A，∠2＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠1＝∠2，∴eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，即点E是eq\o(BD,\s\up8(︵))的中点；(2)在△OCD和△OCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OD＝OB，,∠2＝∠1，,OC＝OC，))∴△OCD≌△OCB，∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．【点悟】证某直线为圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直”；如果不能确定某直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明它到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．变式跟进4．如图4，AB是⊙O的直径，C，D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，∠A＝60°.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想．图4第4题答图解：(1)证明：连结OD，如答图所示．∵∠A＝60°，OA＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠ADO＝∠AOD＝60°，∵CD∥AB，∴∠ODC＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°＝∠ADO，∴OC∥AE，∵CE⊥AE，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；(2)四边形AOCD是菱形．证明：由(1)得△OAD和△COD是等边三角形，∴OA＝AD＝CD＝OC，∴四边形AOCD是菱形．题型四切线长定理及三角形的内切圆例4[2017·邹平模拟]Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，内切圆半径为1，则三角形的周长为(B)A．15B．12C．13 D．14【解析】如答图，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，AD＝AE，BE＝BF，∴∠ODC＝∠OFC＝∠ACB＝90°，∵OD＝OF，∴四边形ODCF是正方形，∴CD＝OD＝OF＝CF＝1，∵AD＝AE，BF＝BE，且AE＋BE＝AB＝5，∴AD＋BF＝5，∴△ABC的周长是AC＋BC＋AB＝AD＋CD＋CF＋BF＋AB＝5＋1＋1＋5＝12.例4答图【点悟】(1)求证三角形内切圆的问题时，常用到面积法：S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，其中r为△ABC的内切圆半径，a，b，c为△ABC的三条边的长度；(2)已知直角三角形的三边长a，b，c(其中c为斜边)，则内切圆半径r＝eq\f(a＋b－c,2)；(3)解三角形与圆相切的问题时，常利用切线长定理及勾股定理等列方程(组)来求半径长．变式跟进5．在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，如图5所示，I是△ABC的内心，延长AI交△ABC的外接圆于点D，则∠ICD的度数是(C)A．50°B．55°C．60° D．65°图5【解析】∵△ABC中，∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝180°－50°－60°＝70°，又∵I是△ABC的内心，∴∠BCD＝∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝35°，∠BCI＝eq\f(1,2)∠ACB＝25°，∴∠BCD＋∠BCI＝35°＋25°＝60°，即∠ICD＝60°.6．如图6，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)当OA＝2时，求AB的长．图6第6题答图解：(1)∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP，∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°；(2)如答图，连结OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，∴OP＝4，由勾股定理得AP＝2eq\r(3)，∵AP＝BP，∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝AP＝2eq\r(3).过关训练1．同学们玩过滚铁环吗？铁环的半径是30cm，手柄长40cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为(CA．相离 B．相交C．相切 D．不能确定【解析】根据题意画出图形，如答图所示．第1题答图由已知得BC＝30cm，AC＝40cm，AB＝50cm，∵BC2＋AC2＝302＋402＝900＋1600＝2500，AB2＝50∴BC2＋AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∴AC为圆B的切线，即此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．2．[2017·临沂模拟]如图1，△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2eq\r(3)，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(C)图1A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2 D．3【解析】在Rt△BCM中，tan60°＝eq\r(3)＝eq\f(MB,BC)，得到BC＝eq\f(2\r(3),\r(3))＝2，∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线，又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.3．[2017·西湖区校级二模]如图2，用一把带有刻度的角尺：(1)可以画出两条平行的直线a与b，如图①；(2)可以画出∠AOB的平分线OP，如图②所示；(3)可以检验工件的凹面是否为半圆，如图③所示；(4)可以量出一个圆的半径，如图④所示．这四种说法中正确的个数有(D)图2A．1B．2C．3 D．4【解析】(1)根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，可知正确；(2)可以画出∠AOB的平分线OP，可知正确；(3)根据90°的圆周角所对的弦是直径，可知正确；(4)此作法正确．所以正确的有4个．4．[2017·金乡三模]已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列选项中⊙O半径为eq\f(a＋b－c,2)的是(A)ABCD【解析】 B．设AB切⊙O于F，圆的半径是y，连结OF，则△BCA∽△OFA，得出eq\f(OF,BC)＝eq\f(AO,AB)，代入求出y＝eq\f(ab,a＋c)；C.设AC，BC分别切⊙O于E，D，连结OE，OD，得到∠OEC＝∠ODC＝∠C＝90°，证出四边形OECD是正方形，设⊙O的半径是r，证△ODB∽△AEO，得出eq\f(OE,BD)＝eq\f(AE,OD)，代入即可求出r＝eq\f(ab,a＋b)；D.设⊙O的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，同样得到正方形OECD，根据a＋x＝c＋b－x，求出x＝eq\f(b＋c－a,2).5．[2017·溧水区一模]如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，则∠DEF的度数为__75°__．图3【解析】如答图，连结DO，FO，第5题答图∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵内切圆O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴∠ODA＝∠OFA＝90°，∴∠DOF＝150°，∴∠DEF的度数为75°.6．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)当∠B＝__45__°时，四边形ODEC是正方形．图4第6题答图解：(1)证明：如答图，连结DO，∵∠ACB＝90°，AC为直径，∴EC为⊙O的切线．又∵ED也为⊙O的切线，∴EC＝ED，又∵∠EDO＝90°，∴∠BDE＋∠ADO＝90°，∴∠BDE＋∠A＝90°，又∵∠B＋∠A＝90°，∴∠BDE＝∠B，∴EB＝ED，∴EB＝EC，即点E是边BC的中点；(2)当∠B＝45°时，四边形ODEC是正方形，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝45°，∴∠AOD＝90°，∴∠DOC＝90°，∵∠ODE＝90°，∴四边形ODEC是矩形，∵OD＝OC，∴矩形ODEC是正方形．7．如图5，⊙O的直径AB＝6，∠ABC＝30°，BC＝6eq\r(3)，D是线段BC的中点．(1)试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．图5第7题答图解：(1)点D与⊙O的位置关系是D在⊙O上，理由：设BC交⊙O于F，如答图，连结AF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵AB＝6，∠ABC＝30°，∴AF＝eq\f(1,2)AB＝3，由勾股定理得BF＝3eq\r(3)，∵BC＝6eq\r(3)，D为BC的中点，∴BD＝3eq\r(3)，即D，F互相重合，∴D在⊙O上；(2)证明：连结OD，∵D为BC的中点，AO＝BO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为半径，∴直线DE是⊙O的切线．8．如图6，已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D.(1)若PA＝6，求△PCD的周长；(2)若∠P＝50°，求∠DOC的大小．图6第8题答图解：(1)如答图，连结OE，∵PA，PB与⊙O相切，∴PA＝PB＝6，同理可得AC＝CE，BD＝DE，∴△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PA＋PB＝12；(2)∵PA，PB与⊙O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠P＝50°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OE，,OC＝OC，))∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)，∴∠AOC＝∠COE，同理：∠DOE＝∠BOD，∴∠DOC＝eq\f(1,2)∠AOB＝65°.9．[2017·曲靖模拟]如图7，C为以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)若CD＝3，AC＝3eq\r(5)，求⊙O的半径长．图7第9题答图解：(1)证明：如答图，连结OC，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∵CD切⊙O于C，∴CO⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO，∴AC平分∠BAD；(2)过点O作OE⊥AC于E，∵CD＝3，AC＝3eq\r(5)，在Rt△