辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题

辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在正项等比数列{an}中，已知a2=1A．1 B．2 C．4 D．82．如图，由观测数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的散点图可知，y与x的关系可以用模型A．17e12 B．12e12 3．图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME−7）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A．n2 B．n2 C．n24．下列说法中正确的有（）A．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的30%分位数可能等于原样本数据的30%分位数；B．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为rA=0．97,rBC．设随机变量X∼N(3,22D．某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为35．已知函数f(x)=x(m−ex)，曲线y=f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线y=xA．(1−e−2,C．(−e−2,6．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（）A．事件A与事件B互为对立事件 B．P(C)=C．P(BC)=16 D．事件B与事件7．设数列{an}的前nA．{aB．S3C．当且仅当n=17时，SnD．Sn≥0时，8．设函数f(x)=lnx−ax2−(a−2)x，若不等式f(x)>0A．[4+ln26,C．[6+ln312,二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列{an}的前nA．若{an}是等差数列，a15+B．若{an}是等比数列，SnC．若{anD．若an+4S10．甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部．记事件A为“恰有两名同学所看电影相同”，事件B为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（）A．四名同学看电影情况共有34B．“每部电影都有人看”的情况共有72种C．P(B∣A)=1D．“四名同学最终只看了两部电影”的概率是1411．已知函数f(x)=xA．函数g(x)存在唯一极值点x0，且B．令ℎ(x)=f(x)g(x)，则函数C．若g(x)+2>m恒成立，则m<2D．若a>0,b>0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11−a13．函数f(x)=x3−3x2+a,g(x)=xlnx．对于14．已知有A,B两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f(x)=(a−1)x+e（1）讨论函数y=f(x)的单调性；（2）设函数g(x)=f(x)−sinx，若函数y=g(x)在[0,+∞)上为增函数，求实数16．已知数列{an}为等差数列，a2=3,a14=3（1）求{an}（2）若cn=an⋅bn①求Tn②若Tn−n⋅3n<17．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如2×2下列联表：性别不经常锻炼经常锻炼合计男生7女生1630合计21注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．附：χα0.10.050.01x2.7063.8416.635（1）请完成上面2×2列联表，并依据小概率值α=0．1的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”．以样本频率估计概率．若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望E(X)和方差D(X)；（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．18．已知函数f(x)=x2−(a+2)x+alnx（1）当x=1时，函数f(x)取得极小值-2，求函数f(x)的极大值．（2）设定义在D上的函数y=ℎ(x)在点P(x0,ℎ(x0))处的切线方程为l:y=g(x)，当x≠x0时，若ℎ(x)−g(x)x−x①求函数f(x)在点(1,②求实数a的取值范围．19．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M−数列”．（1）已知等比数列{an}满足：a2a（2）已知各项为正数的数列{bn}满足：b1=1,S①求数列{b②设m为正整数，若存在“M-数列”{cn}（n∈N∗），对任意正整数k，当k≤m

答案解析部分1．【答案】B【知识点】等比数列的性质【解析】【解答】设等比数列{an∵a3+a4则a故答案为：B

【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比q=2，进而化简求值即可．2．【答案】C【知识点】散点图；回归分析【解析】【解答】解：因为i=16yi=18，所以所以z=回归方程y=bz+1必过样本中心点(z,y)故答案为：C.【分析】利用已知数据可求得样本中心点(2,3)，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出3．【答案】B【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的性质【解析】【解答】解：记OA1,由题意知，OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，且△OA故答案为：B．【分析】记OA1,  OA2,  …,  OAn的长度构成的数列为4．【答案】D【知识点】样本相关系数r及其数字特征；正态分布定义；正态分布的期望与方差；用样本估计总体的百分位数【解析】【解答】解：A、设原来30个样本数据从小到大排列为a1,a2,a3,⋯,a可得28×30%=8.4，所以30%分位数为a9，aB、若A,B两组成对数据的样本相关系数分别为rA可得|rA|<|rBC、设随机变量X∼N(3,22则E(1D、设得分为随机变量X，则X的可能取值为2,可得P(X=2)所以参加游戏得分的期望为E(X)=2×1故答案为：D.【分析】根据百分位数的计算方法即可判断A；根据相关系数的概念即可判断B；根据正态分布的定义和期望、方差的性质即可判断C；设得分为随机变量X，得到X的可能取值，求得相应的概率，结合期望公式，求得数学期望即可判断D.5．【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线平行的判定【解析】【解答】解：函数f(x)=x(m−ex)定义域为R令m−(x+1)ex=1设g(x)=(x+1)ex，当g'(x)>0时，x>−2；当g'则函数g(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,当x趋近于−∞时，g(x)趋近于0，当x趋近于+∞时，g(x)趋近于+∞，作出函数图象，

如图所示：由题意可知：m−1=(x+1)ex有两个不同的解，

即y=m−1与则−e−2<m−1<0令f'(x可知f(x即切点坐标为(x0,代入点(0,0)可得：−x且2∉(1−e−2,1)，则实数故答案为：A.【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，将问题转化为m−1=(x+1)e6．【答案】C【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，

设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，

事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；抛掷一枚质地均匀的骰子两次的样本点数共6×6=36种，事件B的样本点为(1，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，

事件C的样本点为(1，2)，事件BC的样本点为(2，所以P(BC)=6因为P(BC)=P(B)P(C)，所以事件B与事件C相互独立，D错误．故答案为：C.

【分析】根据列举法、对立事件的定义以及独立事件对各个选项进行判断即可.7．【答案】D【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等差数列的性质；数列的递推公式；通项与前n项和的关系【解析】【解答】解：因为Sn+1n+1−Sn所以Snn=32−当n≥2时，Sn−1则an因为a1=SA、因为an+1−an=34−2B、因为Sn=33n−n2，所以S3因为72−90=54−72=−18，所以S3,SC、Sn=33n−n因为n∈N∗，所以当n=16或n=17时，D、由Sn=33n−n2≥0，得0≤n≤33故答案为：D.【分析】由题意可得数列{Snn}是以−1为公差，32为首项的等差数列，求出Sn8．【答案】C【知识点】函数的图象；斜率的计算公式；恒过定点的直线【解析】【解答】解：函数f(x)=lnx−ax2−(a−2)x的定义域为(0，+∞)，

不等式f(x)>0两边除以x，可得lnxx>a(x+1)−2，易知直线l：y=a(x+1)−2恒过定点函数g(x)=lnxx图象上恰有两个横坐标为整数的点落在直线y=a(x+1)−2的上方，作出函数图象，如图所示：

由图象可知，点B(1,0)，C(2，ln22)，则直线l的斜率a的取值范围为故答案为：C.【分析】先求函数的定义域，将不等式转化为lnxx>a(x+1)−2，作出函数g(x)=lnx9．【答案】B,D【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质；数列的前n项和【解析】【解答】解：A、若数列{an}所以a1+a30>0,aB、若{an}是等比数列，S所以{an}是首项为a1=4，公比为5的等比数列，所以SC、若{an}D、若an+4S所以Sn−Sn−1=−4Sn−1所以数列{1Sn}是以故答案为：BD.【分析】由题意，根据等差数列，等比数列的性质与前n项和公式逐项分析判断即可.10．【答案】A,C,D【知识点】分步乘法计数原理；排列与组合的综合；条件概率【解析】【解答】解：A、由题可知每人均有3种选择，则四名同学看电影情况共有34B、将四名志愿者分组为2，1，1型，共有C42=6种分法，再将其分到三个活动中，共有A33C、P(A)=C42A3D、“四名同学最终只报了两个项目”的概率是C4故答案为：ACD.【分析】根据分步乘法计数原理即可判断A；将四名同学先分组，再分到三部电影即可判断B；由条件概率即可判断C；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项即可判断D.11．【答案】A,B,D【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理【解析】【解答】解：A、函数g(x)=ex−lnx−2定义域为0，+∞，g'(x)=ex−1xB、由A得，∃x0∈(12,1)g(x)在(0所以g(x)由f'(xℎ'(x)=2−2x=2(x−1)当0<x<1时，ℎ'(x)<0所以ℎ(x)≥ℎ(1)又x→0时，f(x)→0，所以f(x)C、由B得g(x)>0，由g(x)+2>m恒成立，得所以m−2≤0，即m≤2，故C错误；D、因为f(x)在(0,+∞)单调递增，又a>0所以f(a+b)整理得2ab+b不等式两边同除以2b得，a+b故答案为：ABD．【分析】由g'(x)在(0,+∞)单调递增，又g'(112．【答案】10【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质【解析】【解答】解：设等差数列{an}因为a11−a8=3，S11−S8=3，所以3d=3a9令an>0，即n−9>0，解得n>9，即n=10，故使an故答案为：10.【分析】设等差数列{an}的公差为d，由题意，列方程组求得首项、公差，得数列{an13．【答案】e+4,+∞​​​​​​​【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【解答】解：函数f(x)=x3−3x2当f'(x)<0时，0<x<2即函数f(x)在[0,2]上单调递减，在[2,函数g(x)=xlnx定义域为0，+∞，g'当g'(x)<0时，1即函数g(x)在[1e2,1e]上单调递减，在[对∀x1∈[0,3],∀x2∈[1e2,e]故答案为：e+4,+∞.【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，将问题转化为f(x)14．【答案】77【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】解：由题意，可知两次取球后，B盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；当第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为12第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球，B盒装有4个黑球和2个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为25则B盒中恰有7个球的概率为15当第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为12第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒装有3个黑球和3个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为35则B盒中恰有7个球的概率为310故B盒中恰有7个球的概率为875故答案为：77300【分析】确定出两次取球后B盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求解.15．【答案】（1）解：函数f(x)=(a−1)x+ex(a∈R)定义域为R当a≥1时，f'(x)=a−1+ex>0当a<1时，令f'(x)=a−1+ex>0，解得x>ln(1−a)则函数f(x)在(ln(1−a),+∞)上单调递增，在综上所述，当a≥1时，函数f(x)在R上单调递增；当a<1时，函数f(x)在(−∞,ln(1−a))上单调递减，在（2）解：因为函数y=g(x)在[0,+∞)上为增函数，所以g'即1−a≤ex−cosx令ℎ(x)=ex−cosx，当x∈[0所以ℎ(x)=ex−cosx在[0,+∞)上单调递增，ℎ则实数a的取值范围为[1,【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【分析】（1）求函数的定义域以及导函数，分a≥1、a<1讨论利用函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性即可；

（2）问题转化为g'(x)=a−1+ex−cosx≥0在[016．【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，因为a即a1+d=32a数列{bn}中的前n项和为Sn当n=1时，b1当n≥2时，2Sn−1②-①得：bn=3bn−1(n≥2)故bn（2）解：①数列{cn}则Tn3−2=−1+2⋅则Tn②由 (−1)n⋅m>当n为奇数时， (−1)当n为偶数时， (−1)综上：实数m的取值范围为m∈(−8,【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列的性质；通项与前n项和的关系【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意列式求解即可得an；利用bn与S（2）①由（1）可得cn，利用错位相减法求T②分n为奇数和n为偶数讨论，分离参数，根据数列单调性即可求m的取值范围.17．【答案】（1）解：根据题意可得2×2列联表如下；性别不经常锻炼经常锻炼合计男生72330女生141630合计213960零假设为H0根据列联表的数据计算可得χ2根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．（2）解：因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率P=560=故E(X)=20×112=（3）解：易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，则Y的所有可能取值为0,1,P(Y=0)=P(Y=2)=C故所求分布列为Y0123P17217可得E(Y)=0×1【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布；2×2列联表【解析】【分析】（1）根据题意完成2×2列联表，先零假设，再根据χ2计算公式求得χ（2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率为P=112，从而可得X~B(20,（3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，即可得到Y的分布列和期望值．18．【答案】（1）解：由题意，可得当x=1时，f(1)=1−(a+2)=−2，解得a=1，则f(x)=2x−3+令f'(x)=0，解得x=1或当0<x<12或x>1时，f'(x)>0；当则函数f(x)在(0,12)与故当x=12时，f(x)有极大值，极大值为（2）解：①因为f(x)=2x−(a+2)+所以f(1)=1−(a+2)=−a−1,所以函数f(x)在点(1,f(1))②若点(1,f(1))是函数令F(x)=f(x)−g(x)=x2−(a+2)x+alnx+a+1则当x∈(0,1)∪(1,又F(1)=0，且 令F'(x)=0，得x=1则当a=2时，因为F'(x)≥0,所以当x∈(0,1)时，当x∈(1,+∞)时，故当x≠1时，恒有F(x)x−1当a>2时，由F'(x)<0，得1<x<a2，所以F(x)在(1,a2当0<a<2时，由F'(x)<0，得a2<x<1，所以F(x)在(a2,综上可知，若点(1,f(1))是函数f(x)的“类优点”，则实数【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）根据函数的极小值为-2，求得a，再求函数f(（2）①利用导数的几何意义即可求切线方程；

②利用给定的定义可得当x∈(0,1)∪(1,19．【答案】（1）解：设等比数列{an}的公比为由a2a4=a因此数列{an}（2）解：①由b1=1,当n≥2时，由bn=S整理得bn+1所以数列{b因此，数列{bn}②由①知，bk因为数列{cn}为“M—数列”，设公比为q因为ck≤bk≤当k=1时，有q≥1；当k=2,3,设f(x)=lnxx(x>1)则当x∈(1,e)时，f'(x)>0，当故f(x)在(1,e)上单调递增，在因为ln22=ln8取q=33，当k=1,2,令g(x)=lnxx−1(x>1)令ℎ(x)=1−1x−lnx故ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减，则即g'(x)<0在(1,+∞)上恒成立，即则g(k)即lnq≤lnk因此所求m的最大值不小于5，若m≥6，分别取k=3,6，得3≤q3，且q5所以q不存在，因此所求m的最大值小于6，故m的最大值为5．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等比数列的性质；数列的递推公式；通项与前n项和的关系【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，求出首项和公比证明即可；（2）①根据bn=Sn−②根据题意有lnkk⩽lnq⩽

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）63.0(42.0%)主观题（占比）87.0(58.0%)题量分布客观题（占比）12(63.2%)主观题（占比）7(36.8%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．8(42.1%)40.0(26.7%)多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．3(15.8%)18.0(12.0%)解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5(26.3%)77.0(51.3%)填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．3(15.8%)15.0(10.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(73.7%)2容易(15.8%)3困难(10.5%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）