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1.5.3定积分的概念

(2)近似代替:任取xi

[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi),宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx

近似之;

(4)取极限:所求曲边梯形的面积S为

(3)求和:求n个小矩形面积的和Sn(为曲边梯形面积的近似值)；xiy=f(x)x

yObaxi+1xi

(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度△x复习回顾：求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的“四步曲”

一、定积分的定义如果当n

∞时，Sn无限的接近某个常数，这个常数称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.“读作函数f(x)从a到b的积分”定积分的定义：定积分的相关名称：

———叫做积分号，

f(x)——叫做被积函数，

f(x)dx—叫做被积式，

x———叫做积分变量，

a———叫做积分下限，

b———叫做积分上限，

[a,b]—叫做积分区间。被积函数被积式积分变量积分下限积分上限定积分的定义：积分符号[a,b]：叫做积分区间。定积分的定义：

说明：

(1)定积分是一个数值,

它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即òbaf(x)dx

=òbaf

(x)dx

-(3)(切记)例1:(书P47)利用定积分的定义,计算下列式子的值.

定积分的定义：如果当n

∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作思考：根据定积分的定义说说定积分的几何意义？二、定积分的几何意义：Ox

yab

y

f(x)

x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。òba

特别地，当a=b时，有f

(x)dx=0。

Ox

yab

y

f(x)

x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。Ox

yab

y

f(x)ab

y

f(x)Ox

y探究1:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?探究2:定积分可能是负值吗？结论：定积分可以为负值，当总有此时，为负值探究3：当f(x)

0时，定积分的几何意义：当f(x)

0时，由y

f(x)、x

a、x

b

与x

轴所围成的曲边梯形位于x

轴的下方，x

yOab

y

f(x)

y

-f(x)=-S几何意义：表示f(x)>0时曲边梯形面积的负值.三、定积分的计算性质性质1.性质2.定积分关于积分区间具有可加性性质3.思考：从定积分的几何意义解释性质⑶ab

y=f(x)cOx

y三、定

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